2024届内蒙古赤峰市高三年级下册4月模拟考试数学（文）试题（解析版）

2024届内蒙古赤峰市高三下学期4月模拟考试数学(文)试题

一、单选题

1.已如集合4={-1,0,1,2,3,4},集合2={尤k2_2彳_3叫，则4口3=(

A.{-1,0,1,2,3}B.{-1,0,1}

C.(0,1,2)D.{-1,0}

2.复数z=j的共轨复数为()

1-2

A.i+2B.i-2C.-2-iD.-2-i

3.下列函数最小值为4的是()

4c24

A.y=x+—B.y=x7

x无一

C.y=\x+4\D.y=(x+4)?

向量/+5与1-25共线；命题乙：r=-g，则甲是乙的

4.已知£,B是两个不共线的向量，命题甲:

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知VABC的两个顶点AB的坐标分别是(-1,0),(1,0),且AC,3c所在直线的斜率之积等于

,则()

A.当帆＜0时，顶点C的轨迹是焦点在X轴上的椭圆，并除去(-1,0),(1,0)两点

B.当租＜0时，顶点c的轨迹是焦点在y轴上的椭圆，并除去(-1,o),(i,o)两点

C.当加＞0时，顶点C的轨迹是焦点在X轴上的双曲线，并除去(-1,0),(1,0)两点

D.当机＞0时，顶点c的轨迹是焦点在y轴上的双曲线，并除去(-1,0),(1,0)两点

6.已知圆Ci：(x+l)2+(y+l)2=2,圆C2：/+y2-4x-4y=0,则两圆的公切线条数为()

A.4B.3C.2D.1

7.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖般，已知鳖IBP-ABC的三视图如

图所示(单位：cm),则该几何体的外接球的表面积为(单位：cn?)()

B.64兀

C.100兀D.256兀

8.函数/(x)=COSX-%2的图象大致为()

9.已知〃x)=2cos2x+百sin2x,x«0,2兀)，则/(%)的零点之和为()

41014

A.一兀B.—兀C.—兀D.1OTC

333

10.已知点0(0,0),A(TO),3(4,0),设点M满足41TMs|=4,且M为函数>=虚次二巨图象

上的点，则|。"|=()

A.叵口2病「2A/134713

D.-----n

5555

：In四二&，下列函数是奇函数的是()

11.已知函数/(尤)=

X

A./(%+1)+1B.〃龙-1)+1c.f(x-l)-lD.〃龙+1)-1

12.如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是：从第一个正三

角形(边长为1)P/开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形,

再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，称为科赫曲线.设P”的周长和面积分别

为L"、Sn,下列结论正确的是（）

▲Pl*PlP3P4

①尸5的边数为3x4a；

②—3x0；

③既不是等差数列，也不是等比数列;

@3N>0,Sn<N

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

二、填空题

13.若连续抛两次骰子得到的点数分别为a,b,则点P（a,6）在直线a+b=7上的概率为.

14.将函数y=sinx-cosx的图象向左平移相（0<根<兀）个单位后，所得图象关于y轴对称，贝!I实数

m的值为.

,、x+4,%<3,

15.已知函数/X=,0（a>0且"1）,若y=/（x）有最小值，则实数a的取值范

[log/x>3

围是■

16.在AABC中，角A、B、C的对边分别为。、b、c,已知C2=2,/+〃=10,BC,AC边上的

中线A",3N相交于点P,则直线A〃,BN的夹角为.

三、解答题

17.随着中国科技的迅猛发展和进步，中国民用无人机行业技术实力和国际竞争力不断提升，市场规

模持续增长.为了适应市场需求，我国某无人机制造公司研发了一种新型民用无人机，为测试其性能,

对其飞行距离与核心零件损坏数进行了统计，数据如下：

飞行距离X（千千米）5663717990102110117

核心零件损坏数y（个）617390105119136149163

（1）据关系建立y关于X的回归模型£=族+&求y关于X的回归方程（A精确到0.1,6精确到1）.

（2）为了检验核心零件报废是否与保养有关，该公司进行第二次测试，从所有同型号民用无人机中随

机选取100台进行等距离测试，对其中60台进行测试前核心零件保养，测试结束后，有20台无人机

核心零件报废，其中保养过的占比30%,请根据统计数据完成2x2列联表，并根据小概率值夕=0.01

的独立性检验，能否认为核心零件的报废与保养有关?

保养未保养合计

报废20

未报废

合计60100

2(%-秋片一了)

附：回归方程勺=a+&中斜率和截距的最小二乘原理估计公式百=「---------

Z(W_丁)2

Z=1

n^ad—bc)"

a=y-bx,K2=n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(Q+c)(b+d)，

2

P(K>k0)0.250.10.050.0250.010.001

上01.3232.7063.8415.0246.63510.828

88

参考数据：元=86,y=112,E=82743,£x,2=62680

Z=1i=l

18.已知数列｛%｝中，％=；，”"+i=(“e").

求证：工+1是等比数列，并求数列｛〃“｝的通项公式;

(1)

(2)已知数列他,｝满足6="(3二),,求数列他,｝的前〃项和却

20.已矢口XG(O,2),

(1)比较sinx,x的大小，并证明;

7J-Y

⑵求证：炉加＜丝.

2-x

23.已知xwy，

⑴化简

不一，

⑵用数学归纳法证明：X〃一y〃能被x—y整除.

2024届内蒙古赤峰市高三下学期4月模拟考试数学（文）试题

答案

1.【答案】A

【详解】由题意集合B={H（X_3）（X+1）VO}={H-1WXV3},

则AcB={-l,O,l,2,3}.

故选：A.

2.【答案】B

【详解】因为2==5=目5（后-2-i、）7”

所以共辗复数W=-2+i，BPz=i-2.

故选：B.

3.【答案】B

,4一

【详解】选项A,x<0时，）=%+-<0,取小值不是4,A错；

x

选项B,由基本不等式知y=V+324,当且仅当工=土应时等号成立，B正确;

X

选项CD中，当x=T时，函数最小值为0,CD均错.

故选：B.

4.【答案】C

【详解】对于命题甲，可设依+B=/L（H-25）,^ta+b=Aa-2Ab

\t=A-1

则I所以"2=-引

[1=-2Z2

对于命题乙，/=-；时，应+5=-g（万-25）,则有向量位+B与万-2B共线.

故甲是乙的充要条件.

故选：C.

5.【答案】C

2

【详解】由题意不妨设C（x,y）,则导.±=“7,即--匕=I,（XH±1）,

当机=-1时，顶点C的轨迹是以原点为圆心的单位圆，并除去(-1,0),(1,0)两点，故AB错误;

当机＞0时，顶点C的轨迹是焦点在x轴上的双曲线，并除去(-1,0),(1,0)两点，故C正确，D错误.

故选：C.

6.【答案】B

【详解】圆&标准方程为(x-2y+(y-2)2=8,

则已知两圆圆心分别为Cbl,-l)C(2,2),半径分别为我,2近，

圆心距为|C,C2|=J(2+Ip+(2+1)2=3夜=a+2及，

因此两圆外切，它们有三条公切线，

故选：B.

7.【答案】A

TT

【详解】如图，由三视图知尸。上面ABC,ZABC=-取AC中点，过H作"O//PC交相于。，

2f

TT

因为/A3C=—,所以H为Rt^ABC外接圆的圆心，又PC,面ABC,HOIIPC,

2

所以08_1面43(7,

由已知3c为直角三角形，以为其斜边，为直角三角形，上4为其斜边，

则。为三棱锥尸-ABC外接圆的圆心,

又AB=8,8C=6,PC=8,所以AC=+&；2=,64+36=10，

22

PA=VAC+PC=Vioo+64=Vi64=2^-外接圆的半径为R="T,

所以几何体的外接球的表面积为S=4TIR2=47ix41=1647r,

故选：A.

8.【答案】D

【详解】/(x)=cos尤-尤2,定义域为R,

/(-x)=cos(-x)-(-x)2=cos.r-x2=f(x),可知函数/(无)为偶函数，排除选项A；

/(x)=-sinx-2x,令h(x)=-sinx-2x,贝ljh(x)=-cosx—2<0，恒成立

故力(%)=-sinx-2x为R上单调递减函数，又/z(0)=-sin0-2x0=0

可知当了<0时，h{x}>0,gp/'(x)>0,函数/(%)=cosx—%2为递增函数,

当x>0时，A(x)<0,即/'(冗)<0,函数/(x)=cosx—%2为递减函数,

故选项BC判断错误；选项D判断正确.

故选：D

9.【答案】C

【详解】由/（%）=2cos2无+J§sin2x=0,

则2・l+c；2%+石5山2%=0,所以cos2%+而in2x=-1,

即sin12x+j,

'JI'/1JI

所以2xd■—=——+2E,左EZ或2x+—=——+2kji,keZ,

6666

jrTT

解得：x=—+E,左$2或兀=——+fal,GZ,

26

因为石（0,2兀），所以x=等或学，

2266

所以/（X）的零点之和为£+[+等+鸟=等，

22663

故选：C.

10.【答案】B

【详解】因为W洲―=

所以点〃是以A（T,0）,3（4,0）为焦点的双曲线的右支,

22

设双曲线的方程为左一方=1(尤2a)(a,b>0),

22

即2a=4,c=4na=2n〃=16-4=12n+q=l(xZ2),

故选：B

11.【答案】D

【详解】由于/(无)=ln运二9=l+ln£N,定义域为(-00)U(2,内)

XX

故/()+1)+1=1,+[+2,定义域为(_8,—1)U(1,+8),

—Y—1Y-I-1Y-1

/(-x+l)+l=ln-----+2=In——+2=-ln——+2^-/(%+1)-1,

I)-x+1x-1x+1

即/(x+l)+l不是奇函数，A错误；

丫一3

/(尤-l)+l=ln=+2,定义域为(-81)U(3,+8),不关于原点对称,

即，(尤-1)+1不是奇函数，B错误；

/(x-l)-l=ln^4,定义域为(F,DU(3,E),不关于原点对称，

x—1

即/•(尤-1)-1不是奇函数，C错误；

/(x+l)-l=ln^—定义域为(_8,-1)u(1,+co),

“T+l)-l=lnW4=ln==Tn==T/(x+l)-l],

即〃尤+1)-l=ln£为奇函数，D正确，

故选：D

12.【答案】D

23

【详解】设每个图形的边数为。“，由题意可得%=3,%=3X4,O3=3X4,«4=3X4,

%=3x4",…=3?4'一，故①正确；

444

L5=3X4X(1)=3X(1),故②正确；

4=3布尸，

第一个图形的面积即正三角形的面积品=/，

从第1个图形到第2个图形，边数增加了，同时每条边上多了一个小三角形，这个小三角形的面积是

原图形的(，

所以邑=4+3x4。x(g)2£,S3=邑+3x4'xg)2*2冏，

以此类推，第n个图形的面积为S„=S„_,+3x4-2x(；)2g).R,

2

依次迭代，则J=耳+3x4°x(1)-51+3x4'x(；产4+…+3x4Tx(|产).工

=S'{1+1口弋尸］}再邛,

所以

S"=,+亲口-(：)”-]＜罕，故mN=竿，Sn＜N,故④正确.

4,可得｛圣｝既不是等差数列，也不是等比数列，故③正确

S,A/3+3\/34

4209

故选：D.

13.【答案】y

O

【详解】样本空间中所有样本点个数为6x6=36,

其中在直线。+6=7上的样本点有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)共6个，

所以所求概率为尸=三=，.

366

故答案为：~~.

o

14.【答案】37r手弓3万

44

【详解】in-

将函数＞=sin尤-cosx的图象向左平移〃7(0＜根＜兀)个单位后，

解析为y=+而y=J5sin]尤+根一：1的图象关于y轴对称，

所以函数y=3sin[x+*：]为偶函数，

因止匕有一:=防t+g■(keZ)=＞"/=A7r+弓(左eZ),

3兀

因为0＜加＜兀，所以k=0,即加=—,

4

故答案为：斗3兀

4

15.【答案】l＜a?3

【详解】V=-x+4是减函数，在x43时最小值是》=-3+4=1,

若0＜a＜l,则y=log“x是减函数，x＞3时，y=log“尤＜0,没有最小值，不合题意，

。＞1时，y=10g“X是增函数，因此要使得Ax)取得最小值，则log〃3»l,解得lva?3,

故答案为：l＜a?3.

JT

16.【答案】-/90°

2

【详解】vc2=2,a2+b2=10,

/.c2=a2+b2—2abcosC,

.•.2=10—2abeosC,

abcosC=4,

/.CA-CB=|CA|-|CB|cosC=tecosC=4,

因为丽7=两■一瓦■国一方,

BN=CN-CB=-CA-CB,

2

AMBN=\-CB---C4-C=-CACB--CB--CA+CACB

（22422

:.AM即AM_L3N.

TT

故答案为：—

17.【答案】Q)》=L6x-26；

(2)表格见解析，核心零件是否报废与是否保养有关.

88

E（々-元X%-歹）£-Sxy

82743-8x86x112

【详解】（1）依题意，i>=『--------T-------

2262680-8x86?

E（x;-x）Jx；-8x

i=li=l

a=y—bx=112-1.6x86-26，

所以y关于x的线性回归方程为£=L6X-26.

(2)依题意，报废机核心零件中保养过的有20x30%=6台，未保养的有20-6=14台,

贝U2x2歹！J联表如下:

保养未保养合计

报废61420

未报废542680

合计6040100

零假设”。：核心零件是否报废与保养无关，

则R=K）（M6x26T4*5疗=9375>6.635，根据小概率值a=0.01的独立性检验，

20x40x60x80

推断名不成立，即认为核心零件报废与是否保养有关，此推断的错误概率不大于0.01.

18.【答案】（1）an=-^—证明见解析；（2）2-等

3—12

【详解】（1）由己知可得：

X+i=Z5L±2+i=3f—+i\而，+i=3wo

%anVan）4

所以数列］［+1］是以3为首项，3为公比的等比数列,

所以'+1=3"

所以

3—1

（2）由⑴得%专,

123n

,,H------

2n

m11111n.1n〃+2

两式相减，得：~T=_+73_+7^__|-----=1~_=_

2n22222222n+1

：.T=2~—

n"2"

【答案】（1）证明见解析

⑵逑

3

【详解】（1）连接4C,设ACcCQ=O,连接4G

因为三棱台436-43。所以4弓//&。

又。3=：4。=2,所以四边形46。6为平行四边形

所以CO=OA.

又AB//平面GG/f,A8u平面ABC,平面CBAm平面C[GH=HO,

/.AlB//HO

•.•四边形AGCG是正方形，。是AC的中点,

.,.点H是3c的中点.

（2）因为ZACCi=/BCCi=90°,贝UCQ±AC,CC；1BC,

又ACc3C=C,AC,_BCu平面ABC

CCX±平面ABC,

由（I）知AG//CG，且CG=AG=2,

△A5C是边长为4的等边三角形，

「•S^ABC=：x4x4x9=4后

TH为5C中点，

*.*S=—S=—x4A/3=25/3,

2AABOC2V"

^B-AiAH=J—ABH

^-ABH~4S^ABHX4G=；X2百x2=4f

JJJ

18.【答案】⑴证明见解析

⑵地

3

【详解】（I）连接AC,设ACcGG=o,连接“0、AG

因为三棱台ABG-ABC,所以AG//AC

又CG=；AC=2,所以四边形ACCG为平行四边形

所以co=oa.

又AB〃平面GGH,A8u平面ABC,平面CB4n平面GG//=HO,

/.AlB//HO

•.•四边形AGCG是正方形，。是AC的中点,

.,.点H是3c的中点.

(2)因为ZACCi=/BCCi=90°,贝ijCQ±AC,CC；1BC,

又ACc3C=C,AC,_BCu平面ABC

CC11平面ABC,

由(I)知AG//CG，且CG=AG=2,

△A5C是边长为4的等边三角形，

「•S^ABC=：x4x4x9=4后

TH为5C中点，

*.*S=—SABC=—x4A/3=25/3,

2AAOC2V"

^B-AiAH=J—ABH

^-ABH~WAABHx4G=；x2百x2=4f

JJJ

20.【答案】(l)x>sinx,证明见解析

(2)证明见解析

【详解】(1)x>sinx,xe(0,2).证明如下：

令g(%)=%-sin%,%£(0,2),

g'(x)=1—cosx>0,

g(x)在(0,2)上单调递增，g{x}>g(0)=0,

即xe(0,2)时，x>sinx.

sinx"

(2)由Cl)得xe(0,2)时，e<e,

因此要证xe(0,2),e，加<上^,只要证即证e为2—x)-(2+x)<0,

2x2x

令/(x)=ex(2-x)—(2+x),xG(0,2).

r(x)=er(l-x)-l.

令g(x)=e'(l-x)-l.

g,（A：）=-xe',Vxe（0,2）,/.g,（x）＜0,

所以g（x）在（0,2）单调递减,所以g（x）＜g（0）=0,即/（无）＜0,

所以，（无）在（0,2）上单调递减；

所以/（x）＜/（0）=0,

所以ex（2-x）-（2+x）＜0,

O_i_丫

所以当xe（0,2）时，e皿〈如土.

1-x

【答案】（1）2y21

X—y=1

⑵（i）证明见解析；（ii）证明见解析

【详解】（1）圆C:（x-2y+y2=4的圆心为C（2,0）,半径厂=2,

因为线段外的垂直平分线交直线尸C于点则

.•.||M4|-|MC||=||MP|-|MC||=|PC|=2＜|AC|=4,

...点M的轨迹为以A、C为焦点的双曲线，

22

设双曲线方程为十/=1（。＞0,6＞。），则2a=2,c=2,所以b=F^=6,

2

所以点M的轨迹方程为“：/-匕=1.

3

（2）（i）设M（x0,y0）,T（X,,J2）,

若%=。，则毛=±1,即直线/的方程为x=±l,显然满足直线/与曲线H有且仅有一个交点;

若外20,显然阳）40,由题可知|MS|=pWT|,则为+X2=2%，%+%=2%,

因为双曲线的渐近线方程为y=±75x，不妨令必=岛，y2=-y/3x2,

所以％+以=百（占-々），%-%=6（西+%），

,M+%=6（x「xj即必+%=3（--%）

用（尤1+%2）%-%’占+々%一%’

..再=3（…2）,即L=也，

尤oyt-y2%

...直线ST的方程为y-%=詈（%-%）,即3x（）x-%y=3x；-y；,

又,点M在H上，，3x：-y；=3,则3%x-%y=3,

即直线/的方程为3尤2-%》=3,

2V2

九2_J_1

将方程联立T",得（尤-3君卜2+6%尤_3-必=0,

3xox-yoy=3

2

:.-3x+6x0x-3x1=0,由A=36x；-36无;=0,可知方程有且仅有一个解,

；./与H有且仅有一个交点;

（ii）由（i）联立【尸，可得占=，

〔3%无一%y=3V3x0-y0

同理可得无2=^^一，

%+%

.'.|OS|-|Or|=旧+yj-Jx；+y；=|=4x=4,

所以|。斗|。刀是定值.

【答案】⑴俨=x+l,xe[-l,l]

(2)a=更

2

x=sin26

【详解】（1）当上1时，曲线C1的参数方程为

y=sin®+cos®'

可得俨=i+2sinecos6=l+sin2e=l+x,

又九=sin26,所以产=x+l,xG[-1,1]；

x=sin26

（2）当仁4时,曲线G的参数方程为

y=sin40+cos%

211

可得y=卜足2。+cos?。）-2sin26cos2。=1--sin22^=l--x2,

又*=$也26,所以y=l-^x2,x&[-1,]],

由已知tan6=；可得C3的方程为了=（尤，

11

y=—xxr=y

G,c的交点满足方程组,1，解得1（另一解舍去），a与。2在第一象限的交点

2y=—”

为4]

\x-acost,c,”c

由已知1.。为参数），所以/+（丁_1）2=/①

[y=l+asmt,'7

将点A坐标代入①可得a=—.

2

20.【答案】（1）2/1

x-T=1

（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析

【详解】（1）圆C:（尤一2）2+寸=4的圆心为C（2,0）,半径厂=2,

因为线段上4的垂直平分线交直线PC于点M,则

.•.||M4|-|MC||=||A/P|-|MC||=|PC|=2<\AC\=4,

.,.点M的轨迹为以A、C为焦点的双曲线，

22

设双曲线方程为=-3=16>0*>0）,则2a=2,c=2,所以1°2一/=5

ab

2

所以点M的轨迹方程为—匕=1.

3

（2）（i）设M（x0,y0）,S&,%）,T®,%）,

若为=。，则毛=±1,即直线/的方程为x=±l,显然满足直线/与曲线H有且仅有一个交点;

若为*0,显然Xo40,由题可知|MS|=|MT|,则占+%=2/，%+为=2%,

因为双曲线的渐近线方程为y=±仃犷不妨令芳=6％,y2=-y/3x2,

所以％+必=6（玉-彳2），乂—为=6（%+々），

.%+%=石（占-%）即M+%=3（占一々）

V3（XJ+X2）%-%'占+々%一%’

.•*二3（—2）,即3也，

%%一%%

.1.直线ST的方程为y-%="（X-X。），即3xox-%y=3x；-y；,

又：点M在H上，，3x：-y；=3,贝1]3/无一%y=3,

即直线/的方程为3%x-y°y=3,

X2_£=1

将方程联立3一,得（y；-3x；）f+6尤。尤_3_火=0,

3%x-%y=3

2

.,.-3X+6X0X-3XQ=0,由A=36x：-36x；=0,可知方程有且仅有一个解,

・・・/与”有且仅有一个交点；

（n）由（i）联立[y=&,可得％=/避一

^>xox-yoy=3,3尤0f

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同理可得x,=—j=-----,

Y3x。+%

4x34

.」。斗|。刀=商+4-+抬=4,引=3jc2_y2=，

所以|。斗|。刀是定值.

【答案】（1）产=x+l，xe[-l,l]

⑵a=@

2

x-sin28

【详解】（1）当时，曲线G的参数方程为

y=sin。+cos®'

可得产=i+2sin8cose=l+sin2e=l+%,

又尤=sin26,所以俨=%+1,€[-1,1]；

x=sin2e

（2）当上4时,曲线G的参数方程为

y=sin，®+cos%

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