算法设计与分析 课件 3.4-递归 - 典型应用 - 整数划分_第1页
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算法设计与分析递归-典型应用-整数划分信息工程大学国家级实验教学示范中心计算机学科组规划教材算法设计与分析Python案例详解微课视频版将一个正整数表示成一系列正整数之和。正整数n的一个这种表示称为它的一个划分。正整数n的不同划分个数称为正整数n的划分数。问题：给出一个正整数n，求出其划分数。比如对于6而言,其划分共11种：6；5＋1；4＋2，4＋1＋1；3＋3，3＋2＋1，3＋1＋1＋1；2＋2＋2，2＋2＋1＋1，2＋1＋1＋1＋1；1＋1＋1＋1＋1＋1；在正整数n的所有不同划分中，将最大加数不大于m的划分个数记作q(n,m)。可以建立如下递归关系：（1）q(n,1)=1,n>=1;（2）q(n,m)=q(n,n),m>=n;（3）q(n,n)=1+q(n,n-1);（4）q(n,m)=q(n,m-1)+q(n-m,m)n>m>1;q(n,m)=1n=1orm=11+q(n,n-1)n=m>1q(n,n)n<mq(n,m-1)+q(n-m,m)n>m>1用一个形如intq(intn,intm)的函数表示输入：n,m输出：n的最大整数不超过m的划分数1、if(n<1)or(m<1)thenreturn0;2、if(n=1)or(m=1)thenreturn1;3、if(n<m)thenreturnq(n,n);4、if(m=n)thenreturnq(n,m-1)+1;5、returnq(n,m-1)+q(n-m,m);求正整数n的划分数p(n)，执行算法q(n,n)即可。问题：打印整数n的全部划分。用不完全归纳法：n=2可拆分成2=1+1n=3可拆分成3=1+2=1+1+1n=4可拆分成4=1+3=1+1+2=1+1+1+1=2+2……n=7可拆分成7=1+6=1+1+5=1+1+1+4=1+1+1+1+3=1+1+1+1+1+2=1+1+1+1+1+1+1=1+1+1+2+2=1+1+2+3=1+2+4=1+2+2+2=1+3+3=2+5=2+2+3=3+4分析：用数组a存储n的一种拆分,可得出以下递归关系对于一个n而言,按a[1]分类，有a[1]=1,a[1]=2,…,a[1]=n/2,共n/2大类拆分。每一类拆分时，a[1]=i,a[2]=n-i,从k=2，继续从a[k]开始拆分，a[k]能否再拆分取决于：

a[k]/2是否大于等于a[k-1]。split(intt)：对数a[t]进行划分输入：t表示要拆分的数在a数组中的下标输出：a[t]的划分1：fork=1totdo2：

输出a[k];3：j=t;L=a[j];4：fori=a[j-1]toL/2dobegin5：a[j]=i;a[j+1]=L-i;6：split(j+1);7：end;求n的划分fori=1ton/2dobegina[0]

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