2024-2025学年河北省邯郸市高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年河北省邯郸市高二（上）开学数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知向量而，元满足|方|=扇=2,且布•薪=一2"，则布，元夹角为（）

A71713TT

CD—

A.飞Bl-T6

2.在△ABC中，角4B,C对边为a,b,c,且2c-cos2?=b+C,则△ABC的形状为（）

A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

3.设复数Zi=4+2i,Z2=l-3i,则复数22-年的虚部是（）

A.4iB.-4iC.4D.-4

4.袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，则恰有两个球同色的概率为（）

A.工BC・二D・二

5.已知双曲线总—居=l（a>0,b>0）的一条渐近线方程为y=—2x,则此双曲线的离心率为（）

A.5B.非C.|D尊

42

6.在四面体48CD中，AB=AC=2®BC=6,AD1平面ABC,四面体力BCD的体积为避，若四面体

4BCD的顶点均在球。的表面上，则球。的表面积是（）

.497rc“c_497r_4

A.B.497rC.D.47r

qz

2222

7.已知圆Ci：（x+5）+y=l,C2：（%-5）+y=225,动圆C满足与小外切且C2与内切，若M为的上

的动点，且布•切而=0,则|前|的最小值为（）

A.2或B.2避C.4D.2^5

8.已知E,F分别是棱长为2的正四面体4BCD的对棱AD,BC的中点.过EF的平面a与正四面体4BCD相截，

得到一个截面多边形心则下列说法正确的是（）

A.截面多边形T不可能是平行四边形

B.截面多边形T的周长是定值

C.截面多边形T的周长的最小值是避+A/6

D.截面多边形T的面积的取值范围是[1,#]

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列结论中正确的是（）

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A.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等

B.一组数据中的每个数都减去同一个非零常数a,则这组数据的平均数改变，方差不改变

C.一个样本的方差s2=袅（右—3）2+（*2—3）2+-+（*20—3）2],则这组样本数据的总和等于60

D.数据。2，。3，…，a"的方差为M,则数据2ai，2a2，2a3，…，2即的方差为2M

10.设机，孔是两条不同的直线，a,/?是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A.若血，九异面，mua,m//p,nu0,n//a,贝

B.若mca,几ua,m///?,n//P，贝

C.若租1n,m//a,cr///?,则九10

D.若a/邛,7nla,九〃6，则61n

11.如图，已知在平行四边形/BCD中，AB=2AD=2,4BAD=60°,E为AB的中点，将沿直线

DE翻折成△尸DE,若M为PC的中点，则△ZDE在翻折过程中（点尸0平面/BCD）,以下命题正确的是（）

A.〃平面PDE

P

C.存在某个位置，使MB1DE4Z\L^1/

D.当三棱锥P-CDE体积最大时，其外接球的表面积为等

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.某学校三个年级共有2760名学生，要采用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为60的样本，已

知一年级有1150名学生，那么从一年级抽取的学生人数是名.

13.设双曲线C：?一《=1的左焦点和右焦点分别是％,尸2,点P是C右支上的一点，则IPF1I+鬲的最小

值为.

14.已知点P是椭圆C：（+。=1上除顶点外的任意一点，过点P向圆。：X2+、2=4引两条切线2用，

o4

PN,设切点分别是M,N,若直线MN分别与久轴，y轴交于4B两点，则面积的最小值是.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题13分）

如图1所示，四边形CDMN为梯形，旦CD〃MN,BC//AD,E为4。中点，DE=DC=1,MA=MD=

8现将平面△AMD沿4D折起，△BCN沿BC折起，使平面AMD1平面ABCD,且M,N重合为点P（如图

2所示）.

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(ffll)(082)

(1)证明：平面PBE1平面PBC；

⑵求二面角C-P4—。的余弦值.

16.(本小题15分)

如图，四棱柱aBCD-AiQCiOi的底面为梯形,AD=2BC=2,三个侧面2BBp4i，BCJBi，CDD©均

为正方形.

(1)证明：平面2皿1平面BDDi.

(2)求点①到平面4B0i的距离.

17.(本小题15分)

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，点P(2,-l)和点Q(依岑)为椭圆C

上两点.

①求椭圆C的标准方程；

5)4B为椭圆C上异于点P的两点，若直线24与P8的斜率之和为0,求线段2B中点M的轨迹方程.

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18.(本小题17分)

已知△ABC的三个内角4B,C对的三边为a,b,c,且舞=林土.

TT

(1)右b=1,/=§,求sinB；

TT

(2)已知C=可，当S4ABC取得最大值时，求△ABC的周长.

19.(本小题17分)

如图，4BCD为圆柱。0'的轴截面，EF是圆柱上异于4D,BC的母线.

(1)证明：BE，平面DEF；

(2)若力B=BC=m，当三棱锥B-DEF的体积最大时，求二面角B-DF-E的正弦值.

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参考答案

l.c

2.B

3.0

4.B

5.B

6.B

7.4

8.D

9.ABC

10.AD

11.ABD

12.25

13.8

14早

15.解：(1)证明：MA=MD=姆，PA=PD=避，E为4。的中点，

PAD是等腰三角形，且ME1AD,即PE1AD,

•.•平面AMD1平面ABCD,且平面AMDC平面ABCD=AD,PEu平面PAD,

.­.PE1平面ABC。，又BCu平面力BCD,•••PE1BC,

•••CD//MN,且ME1AD,四边形BCDE是正方形，•••BC1EB,

■：PECEB=E,BC1平面PBE,

BCu平面PBE,•••平面PBE1平面PBC；

(2)以E为坐标原点，EA,EB,EP所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图,

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/D

fi/\/

\/

X

则4(1,0,0),。(-1,0,0),C(-1,1,0),P(0,0,包

••-PA=(1,0,—^/2),PC=(-1,1,-"),PD=(—1,0,—^/2),

设平面PAC的一个法向量为济=(%,y,z),

则保.2=X-^y-^z=0,令z=展则访=(24"),

平面PAD的一个法向量为元=(0,1,0),

贝"cos<m,n>==2^^,

.■•二面角C-P4-。的余弦值为铝1

16.1?：(1)证明：・.・侧面4BB1口BCCiBi，CDDiCi均为正方形,

；.B]B_LAB,B]B_LBC,AB=CD,

•・•ABCBC=B,AB,BCu平面/BCD,・•・幽1平面ABC。，

由棱柱的性质得四棱柱48。0-48传1£)1为直四棱柱，

•••皿_L平面4BCD,

又ABu平面4BCD,DrD1AB,

,•,四边形4BCD是梯形，AB=CD,AD=2BC=2,AD/IBC,

过点C作CE14D,垂足为E,^\DE=|X(2-1)=1cD,

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在等腰△BCD中，BD=2XJl2-(1)2=73,

•••AD2^AB2+BD2,•••AB1BD,

平面

•••BDClDrD=D,AB1BD%,

•••ABc平面AB%平面AB%1平面B。%.

(2)连接&B,Bi%,

由(1)知直棱柱ABCD-力道也1。1的体积为：

^ABD-A1B1D1~S^ABDXAAr='|xlX道义1=字，

由直三棱柱的性质得：

三棱柱B-/i/Di的体积为ABD-f

1

三棱锥OLABD的体积为。r-ABD=^ABD-A1B1D1^

・••^A1-ABD1=ABD-ArBrD1—^B-ArBrD1—^Dr-ABD=ABD-A^^Dr=£'

5O

•••AB1平面BDDi，BDiU平面BD。。则4B1BD。且孙=JB"+。变=2,

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设点41到平面力BD1的距离为d,

则右LAB%=—W><ABxB%xd=£,

3NO

.-.|x|xlx2xd=胆,解得d=是,

3，62

•••点小到平面AB小的距离为9.

17.解：(I)设椭圆的方程为mN+政2=i(7n>Qn>o,7n。n),

因为点P(2,-1)和点Q(如，¥)为椭圆C上两点，

[4m+n=1i1

所以’67n=1，解得租=出九=五'

故椭圆c的标准方程为5+4=1;

oZ

(U)设P2的斜率为k,所以直线P4的方程为y+l=k(x—2),即丫=k(x—2)—1,

联立方程组《2；匕臣彳可得(久一2)[(1+4/c2)x-8/c2-8fc+2]=0,

所以点力的横坐标为必=誓号烂，纵坐标为以=啥耨，

因为直线P4与PB的斜率之和为0,

所以直线P8的斜率为-k,

同理可求出点B的坐标为(当；器2,钻：:%1),

故点M的坐标为(普急冷表)，

所以点M的坐标满足％=2y,

由｛%2+右2.8-0,解得％=±2,

所以一2<%<2,

故点M的轨迹方程为%—2y=0(-2<%<2).

18.解析：⑴•••鬻=信

Q5a

.•・a+5b=10,

又•・.b=1,

**•CL=5,

b

由正弦定理可知：焉f

~si~nBn

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.

・••sinBD=0—.

10

Q),；S△ABC=劫•sinC=里此,当SAABC取最大值时，即仍取最大值,

a+5b=10,

5ha25ba2

5ab<C+),...ab<<+^=5,

420

当且仅当Q=5b时，即a=5,b=1时等号成立，

由余弦定理可知：cosCa2+b2~c\

=2ab

：.c=yja2+b2—2abcosC,

•••c=A/21,

C△ABC=a+%+c=6+121.

19.解：(1)证明：如图，连接ZE,由题意知2B为。。的直径，

所以ZE1BE,因为力D,EF是圆柱的母线，

所以力且AD=EF,所以四边形是平行四边形.

所以AE〃DF,所以BE1DF.

因为EF是圆柱的母线，所以EF1平面ABE,

又因为BEu平面力BE,所以EF1BE.

又因为。尸nEF=F,DF、EFu平面DEF,所以BE1平面DEF.

(2)由(1)知BE是三棱锥B-DEF底面DEF上的高,

由(1)知1AE,AE//DF,所以EF1DF,

即底面三角形OEF是直角三角形.

设DF-AE=x,BE=y,

贝!J在Rt△ABE中有：x2+y2=6,

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所以UB-DEF=15\DEF.BE=1.m)，V=乎孙W平,/；尸=乎,

35N