专练03椭圆20题-2022年高考数学总复习高频考点必刷1200题

专练03椭圆20题一、单选题1．（2021·江西南昌·一模（理））已知椭圆的左顶点为，上顶点为，则＝（）A． B．2 C．4 D．【答案】D【分析】根据椭圆的标准方程求出，可求得的值.【详解】由得，所以，所以，所以，所以.故选：D2．（2019年北京市高考数学试卷（理科））已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则A．a2=2b2 B．3a2=4b2 C．a=2b D．3a=4b【答案】B【分析】由题意利用离心率的定义和的关系可得满足题意的等式.【详解】椭圆的离心率,化简得,故选B.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.3．（2021·江西南昌·模拟预测（文））已知椭圆的一个焦点为，则的短轴的长为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据椭圆方程及焦点坐标确定长短轴的位置，可求参数、、，可得的值，写出的短轴长即可.【详解】由题设知：且长轴在x轴上，即，∴，故，则的短轴的长为.故选：C4．（2020·河北·英才国际学校高三期中）已知、是椭圆的两焦点，过点的直线交椭圆于、两点．在中，若有两边之和是，则第三边的长度为（）A．6 B．7 C．8 D．4【答案】B【分析】根据椭圆的定义即可求出的周长，进而可得第三边的长度.【详解】由可得，所以，由椭圆的定义可得：，，所以的周长，因为有两边之和是，所以第三边的长度为，故选：B.5．（2021·山西·长治市第八中学高三月考（理））P是椭圆上的一点，F为椭圆的右焦点，轴，过点P作斜率为的直线恰好经过左顶点，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图所示，求出，化简方程即得解.【详解】如图所示，，由题得所以.故选：C6．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（）A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．【详解】由题，，则，所以（当且仅当时，等号成立）．故选：C．【点睛】椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式得灵活运用，或者记住定理：两正数，和一定相等时及最大，积一定，相等时和最小，也可快速求解.7．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可设，则，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，从而可求解.【详解】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．所求椭圆方程为，故选B．法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．8．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，由，根据两点间的距离公式表示出，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设，由，因为，，所以，因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即；当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立．故选：C．【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．

二、多选题9．（2021·海南海口·模拟预测）已知椭圆的两个焦点分别为，与轴正半轴交于点，下列选项中给出的条件，能够求出椭圆标准方程的选项是（）A．是等腰直角三角形B．已知椭圆的离心率为，短轴长为2C．是等边三角形，且椭圆的离心率为D．设椭圆的焦距为4，点在圆上【答案】BD【分析】对每个选项依次计算判断，简单计算即可.【详解】对A，若是等腰直角三角形可知，没具体数据得不出方程；对B，已知椭圆的离心率为，短轴长为2，则，由所以，所以椭圆标准方程为，故B正确；对C，是等边三角形，且椭圆的离心率为，所以，，数据不足，得不到结果；对D，设椭圆的焦距为4，点在圆上，所以，由，所以，所以椭圆方程为，故D正确故选：BD10．（2021·河北唐山·一模）已知F为椭圆的左焦点，A，B为E的两个顶点.若，则E的方程为（）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】分别分析A，B为椭圆E的两个顶点的位置，从而求得参数a，b，写出标准方程.【详解】∵∴仅有4种情况符合条件，即A为右顶点时，B为左顶点或上、下顶点；A为上顶点时，B为左顶点；∴①当A为右顶点时，B为左顶点，此时，解得，椭圆方程为，故D正确；②当A为右顶点时，B为上或下顶点，此时，解得，椭圆方程为，故A正确；③A为上顶点时，B为左顶点时，此时，解得，椭圆方程为，故C正确；故选：ACD11．（2021·全国·模拟预测）已知，分别是椭圆：的左､右焦点，在上，为坐标原点，若，的面积为1，则（）A．椭圆的离心率为 B．点在椭圆上C．的内切圆半径为 D．椭圆上的点到直线的距离小于2【答案】ABD【分析】先根据已知条件得到，再利用的面积为1，确定点P为C的短轴的一个端点，然后逐项分析即可.【详解】由，为的中点可知，.由的面积为1，可知，所以，所以P为椭圆C短轴的一个端点，则，所以，所以，A正确；由A可知，椭圆C的方程为，将点的坐标代入，可知满足C的方程，B正确；因为为等腰直角三角形，且，所以的内切圆半径，C错误；不妨取，则直线的方程为，即，设椭圆C上的点，则点M到直线的距离，其中，则，D正确.故选：ABD.12．（2021·福建·晋江市磁灶中学高三开学考试）已知P是椭圆C：上的动点，Q是圆D：上的动点，则（）A．C的焦距为 B．C的离心率为C．圆D在C的内部 D．|PQ|的最小值为【答案】BC【分析】根据椭圆方程直接判断A、B的正误，判断圆心与椭圆左焦点的距离及圆心横坐标对应椭圆点与圆心的距离，与圆的半径长度关系判断C的正误，要使最小，保证P、Q、D共线，即，设应用两点距离公式及椭圆方程求最小值，即可判断D的正误.【详解】由椭圆方程知：，故焦距为，故A错误；C的离心率，故B正确；由圆D的方程知：圆心，半径为，而且椭圆上的点到D的距离为，故圆D在C的内部，故C正确；设，则，而，又，可知，故，故D错误.故选：BC三、填空题13．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．【答案】【分析】根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解.【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，设，则，所以，，即四边形面积等于.故答案为：.14．（2019年浙江省高考数学试卷）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_______.【答案】【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.【详解】方法1：由题意可知，由中位线定理可得，设可得，联立方程可解得（舍），点在椭圆上且在轴的上方，求得，所以方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知，由中位线定理可得，即求得，所以.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.15．（2021·广西·柳铁一中高三月考（理））椭圆：的上､下顶点分别为，，如图，点在椭圆上，平面四边形满足，且，则该椭圆的短轴长为___________.【答案】6【分析】设，，由圆的性质得点，，，在以为直径的圆上，且圆心在轴上，由此得，又根据三角形的面积得，得出圆的方程，代入解之可得答案.【详解】解：根据题意可得，，设，，可得点，，，在以为直径的圆上，又原点为圆上的弦的中点，所以圆心在的垂直平分线上，所以圆心在轴上，所以，又得，故圆心坐标为，所以圆的方程为，将代入结合，解得，所以，短轴长为6.故答案为：6.16．（2019·安徽·模拟预测（理））椭圆的离心率是，斜率为1的直线过M(b，0)且与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若，则椭圆的标准方程是___________．【答案】【分析】由椭圆的离心率可得a，b的值，由题意可得直线l的方程，联立直线与椭圆的方程，求出交点A，B的坐标，求出数量积的表达式，由数量积的运算可得∠AOB的余弦值，进而求出其正切值，由题意可得b的值，进而求出椭圆的方程．【详解】由题意，，可得，所以椭圆的方程为：，．由题意可得直线的方程为：，联立，解得或所以设，所以因为，所以所以，所以椭圆的方程为：，．故答案为：四、解答题17．（2021·新疆喀什·模拟预测）1.线段的长等于3，两端点Q、R分别在x轴和y轴上滑动，点S在线段QR上，且，点S的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程（2）曲线C与x轴相交于A、B两点，P为曲线C上一动点，直线PA，PB与直线交于M，N两点，与的外接圆的周长分别为，，求的最小值.【答案】（1）（2）【分析】（1）相关点法求解轨迹方程；（2）先利用斜率乘积为定值求出直线PA，PB的斜率关系，用k设出直线PA，PB的方程，表达出点M、N的坐标和MN的长度，再利用正弦定理把与的外接圆的周长之比转化为关于k的式子，利用基本不等式求出最小值（1）设、、，由于，则①∵，∴，可得到，代入①式得点S的轨迹曲线C的方程为；（2）由已知得、，设椭圆C上动点，则利用两点连线的斜率公式可知，，∴，设直线PA方程为：，则直线PB方程为：，根据对称性可设，如图所示令，得，，即，，则设与的外接圆的半径分别为，，由正弦定理得：，，又∵，∴，∴，当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为【点睛】当题目中的条件同时具备以下特征时，一般可以使用相关点法求解轨迹方程：某个动点P在已知曲线上运动，另一个动点M随着P的变化而变化，在变化过程中，M与P满足一定的规律，相关点法的关键在于找到动点和其相关点的坐标间的等量关系18．（2021·全国·模拟预测）已知椭圆：的左､右顶点分别为，，下顶点为，点到直线的距离为，且椭圆过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设，，为椭圆上不同的三点，且，关于原点对称，原点到直线的距离等于，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【分析】（1）由已知求基本量即可；（2）代入消元，韦达定理，整体思想运用.（1）由题意知，，，所以直线BD的方程为，即，所以点到直线BD的距离为，即①.因为椭圆C过点，所以②.联立①②，得，，故椭圆C的标准方程：.（2）当直线的斜率不存在时，可得直线的方程为或.不妨设直线的方程为，M在第一象限，可得，，，则，，所以.由对称性知，当直线PM的方程为时，同理可得.当直线PM的斜率存在时，设直线PM的方程为，所以原点O到直线PM的距离为，即.设，，则，联立得，整理得，，则，，所以.因为，，所以，所以.综上得证.【点睛】①根据题意列方程或方程组是求解圆锥曲线方程的关键；②设直线方程时，要考虑直线的斜率不存在的情况；③韦达定理整体思想的运用.19．（2021·四川·高三期中（理））在直角坐标系中，椭圆（）的左右焦点分别为和，若为椭圆上动点，直线与椭圆交于另一点，若三角形的周长为为，且点在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线、与直线分别交于点、，记直线和直线的斜率分别为和，若，试求直线的斜率．【答案】（1）（2）【分析】（1）由椭圆定义求出，再代入点求出即可求出方程；（2）设出直线方程，与椭圆联立，利用韦达定理化简计算可求解.（1）由已知和椭圆的定义知：三角形的周长，故，所以椭圆的方程为，又点在椭圆上，故，解得，所以椭圆的标准方程为；（2）由已知可得直线的斜率不为，故可设直线的方程为，设，，联立方程组，消去得：故有，，故，，直线的方程为，解得与直线的交点，同理解得，故，，．故，解得．所以直线的斜率．20．（2021·全国·高三月考（理））已知椭圆（）的离心率为，是椭圆的左顶点.（1）求椭圆的方程；（2）过作直线，，分别交椭圆于，两点.设直线，的斜率分别为，，且满足，试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标