空间中直线、平面的平行课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.1.2空间中直线、平面的平行第1章

空间向量与立体几何

1.空间中点、直线和平面的向量表示(1)点→点+位置向量(2)线→点+方向向量(3)平面→点+法向量2.求平面的法向量的步骤：复习问题1：生活中有很多线线平行，线面平行，面面平行的建筑，比如左下图上海世博会的中国馆，右下图是加拿大馆，我们肯定不能仅凭眼睛判断建筑的各个面之间是否平行。导入

下图是武汉大学校门，校门上部的下边线与柱子垂直,我们就能知道下边线与地面平行。这是为什么呢?导入我们知道，直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键量，那么是否能用这些向量来刻画空间直线、平面的平行、垂直关系呢?首先来看平行的问题.【思考】由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系?如图(1)所示，设分别是直线l1,l2的方向向量，由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行，反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行，所以l1l2(1)(1)直线与直线平行探究新知(2)直线与平面平行如图(2)所示，设是直线l的方向向量，是平面α的法向量，则(3)平面与平面平行如图(3)所示，设分别是平面α,β的法向量，则αl(2)mα(3)βPmn探究新知

例1、用向量方法证明面面平行的判定定理.证明:设平面α的法向量为n,直线a,b的方向向量分别为u,v.已知：如图，求证：

abP因为所以因为所以对任意点Q∈β，存在x,y∈R，使得所以，向量n也是平面β的法向量.故从而例题巩固例2、在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点，求证：MN∥RS.CDA1B1C1D1ABSRMN∴MN＝RS，∴MN∥RS，又∵R∉MN，∴MN∥RS.法一：设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，例题巩固CDA1B1C1D1ABxyzSRNM法二：如图所示，建立空间直角坐标系,∴MN＝RS.∴MN∥RS.∵M∉RS，∴MN∥RS.探究新知

练习1、已知O为坐标原点，四面体OABC中，A，B，C的坐标分别为A(0,3,5)，B(1,2,0)，C(0,5,0)，若直线AD∥BC且AD交坐标平面Ozx于点D，求点D的坐标．练习练习或0＝－(x－1)，2＝－(y－2)，－5＝－z.所以x＝1，y＝4，z＝－5或x＝1，y＝0，z＝5.故D点坐标为(1,4，－5)或(1,0,5)．

例3、如图，在正方体ABCD

–A1B1C1D1中，E,F分别是面AB1，面A1C1的中心.求证:EF//平面ACD1.ADCBA1D1C1B1F•E•∴EF//平面ACD1.例题巩固解练习3、长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1.xyz坐标法例题巩固利用空间向量证明线面平行的三种方法方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一个基底表示；方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证；方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．总结例4、如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：平面EFG∥平面PBC．BACDPEFG[证明]

因为平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，所以AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0)．xyz例题巩固例题巩固

练习2、如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?CDA1B1C1D1ABPOQ如图所示，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q．练习CDA1B1C1D1ABPOQxyz即AP∥BQ，同理可得AP∥平面D1BQ，PO∩AP于点P,有平面PAO∥平面D1BQ，即当点Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO．例题巩固()故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO．设平面PAO的法向量为n1＝(x，y，z)，取x＝1，则n1＝(1,1,2)．设平面D1BQ的法向量为n2＝(x，y，z)，取z＝1，则n2＝(m,1－m,1)．要使平面D1BQ∥平面PAO，需满足n1∥n2，2、利用向量解决探索性问题的方法对于探索性问题，一般先假设存在，利用空间坐标系，结合已知条件，转化为代数方程是否有解的问题．若有解满足题意，则存在；若没有满足题意的解，则不存在．小结

1.已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2

，则()√巩固练习2.(多选)若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是()A.a＝(1,0,0)，n＝(0，－2,0)

B.a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C.a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)

D.a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)解

若l∥α，则a·n＝0.而A中a·n＝0，

B中a·n＝1＋5＝6，

C中a·n＝－1，

D中a·n＝－3＋3＝0.√√当堂检测

2巩固练习3.已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a＝(2，m,1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，

则实数m的值是______.解

∵l∥平面ABC，∴(2，m,1)＝x(1,0，－1)＋y(0,1，－1)＝(x，y，－x－y)，－34.已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是()解

∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行.√当堂检测

DABCEF

5.如图,在四面体ABCD中,E是BC的中点.直线AD上是否存在点F,使得AE//CF?当堂检测

ABCDEF此方程组无解当堂检测

3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:(1)FC1∥平面ADE;(2)平面ADE∥平面B1C1F.证明:(1)建立如图所示的空间直角坐标系