人教版六年级下册数学思维训练讲义-第九讲最大最小问题（含答案）

第九讲最大最小问题第一部分：趣味数学短跑比赛加特林和格林都是短跑名将。有一天,他们俩进行百米短跑比赛,结果当格林跑到90米的地方时,加特林刚好冲过了终点。格林不服气,说:“其实我们也就差了10米。如果你比我多跑10米的话,我们肯定一起冲过终点。”加特林同意了格林的建议。令格林吃惊的是,当加特林冲过110米的终点的时候,自己还没有跑到百米的终点呢!格林只好甘拜下风。请你想一想,第二次格林为什么又输了呢?原来如此：根据速度=路程÷时间,假设第一次比赛的时候,所用的中间是加特林的速度就是100÷101而格林的速度只有90÷100=0.9.第二次比赛,加特林跑110米用的时间是110÷100=EQ\F(11,10),而格林跑100米用的时间是100÷90=EQ\F(10,9)。比较EQ\F(11,10)和EQ\F(10,9)这两个数的大小,仍然是加特林用的时间少,所以加特林赢。第二部分：习题精讲专题简析：人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题。最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。例题1：人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题。最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。a和b是小于100的两个不同的自然数，求EQ\F(a－b,a+b)的最大值。根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能小。所以b=1；由b=1可知，分母比分子大2，也就是说，所有的分数再添两个分数单位就等于1，可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此a=99EQ\F(a－b,a+b)的最大值是EQ\F(99－1,99+1)=EQ\F(49,50)答：EQ\F(a－b,a+b)的最大值是EQ\F(49,50)。练习1：1.设x和y是选自前100个自然数的两个不同的数，求EQ\F(x－y,x+y)的最大值。2.a和b是小于50的两个不同的自然数，且a＞b，求EQ\F(a－b,a+b)的最小值。3.设x和y是选自前200个自然数的两个不同的数，且x＞y，①求EQ\F(x+y,x－y)的最大值；②求EQ\F(x+y,x－y)的最小值。例题2：有甲、乙两个两位数，甲数EQ\F(2,7)等于乙数的EQ\F(2,3)。这两个两位数的差最多是多少？甲数：乙数=EQ\F(2,3)：EQ\F(2,7)=7：3，甲数的7份，乙数的3份。由甲是两位数可知，每份的数量最大是14，甲数与乙数相差4份，所以，甲、乙两数的差是14×（7-3）=56答：这两个两位数的差最多是56。练习2：1.有甲、乙两个两位数，甲数的EQ\F(3,10)等于乙数的EQ\F(4,5)。这两个两位数的差最多是多少？2.甲、乙两数都是三位数，如果甲数的EQ\F(5,6)恰好等于乙数的EQ\F(1,4)。这两个两位数的和最小是多少？3.加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能做48个、32个、28个，要使每天三道工序完成的个数相同，至少要安排多少工人？例题3：如果两个四位数的差等于8921，就是说这两个四位数组成一个数对。问：这样的数对共有多少个？在这些数对中，被减数最大是9999，此时减数是9999－8921＝1078，被减数和剑术同时减去1后，又得到一个满足题意条件的四位数对。为了保证减数是四位数，最多可以减去78，因此，这样的数对共有78+1＝79个。答：这样的数对共有79个。练习3：1.两个四位数的差是8921。这两个四位数的和的最大值是多少？2.如果两个三位数的和是525，就说这两个三位数组成一个数对。那么这样的数对共有多少个？组成这样的数对的两个数的差最小是多少？最大是多少？3.如果两个四位数的差是3456，就说这两个数组成一个数对。那么，这样的数对共有多少个？组成这样的数对的两个数的和最大是多少？最小是多少？例题4：三个连续自然数，后面两个数的积与前面两个数的积之差是114。这三个数中最小的是多少？因为：最大数×中间数－最小数×中间数＝114，即：（最大数－最小数）×中间数＝114而三个连续自然数中，最大数－最小数＝2，因此，中间数是114÷2＝57，最小数是57－1＝56答：最小数是56。练习4：1.三个连续的奇数，后两个数的积与前两个数的积之差是252。三个数中最小的数是______。2.a、b、c是从小到大排列的三个数，且a－b＝b－c，前两个数的积与后两个数的积之差是280。如果b＝35，那么c是_____。3.被分数EQ\F(6,7)，EQ\F(5,14)，EQ\F(10,21)除得的结果都是整数的最小分数是______。例题5：三个数字能组成6个不同的三位数。这6个三位数的和是2886。求所有这样的6个三位数中的最小的三位数。因为三个数字分别在百位、十位、个位各出现了2次。所以，2886÷222能得到三个数字的和。设三个数字为a、b、c，那么6个不同的三位数的和为abc+acb+bac+bca+cab+cba＝（a+b+c）×100×2+（a+b+c）×100×2+（a+b+c）×100×2＝（a+b+c）×222＝2886即a+b+c＝2886÷222＝13答：所有这样的6个三位数中，最小的三位数是139。练习5：1.有三个数字能组成6个不同的三位数。这6个不同的三位数的和是3108。所有这样的6个三位数中最大的一个是多少？2.有三个数字能组成6个不同的三位数。这6个不同的三位数的和是2220。所有这样的6个三位数中最小的一个是多少？3.用a、b、c能组成6个不同的三位数。这6个三位数相加的和是2886。已知a、b、c三个数字中，最大的数字是最小数字的2倍，这6个三位数中最小的数是多少？第三部分：数学史代数之父一韦达16世纪末,法国和西班牙正在打仗。西班牙军队使用复杂的密码来传递消息,即使信件被敌人发现,也不明白是什么意思。有一次,法国军队截获了一些秘密的信件,据推测是西班牙军队的重要调动情报,可是就是没有办法破译密码。无奈之下,法军将领请来了当时著名的数学家韦达。韦达经过番艰苦的研究,终于揭开了密码的奥秘。从此以后,法国军队对敌人的动态了如指掌,总是能够先敌一步作出正确的决定,因此逐渐掌握了战争的主动权,两年后就战胜了西班牙。西班牙人非常恼火,他们断定法国人使用了某种魔法。韦达的努力,为自己祖国的胜利做出了重要的贡献。在破译密码的时候,韦达很受启发。他想,密码是大家事先约定好的一套符号,在数学中,为什么我们不可以借助这样的做法呢?数学家们可以用约定好的符号来表示特定的意思,这样书写、计算的时候就方便多了。在这样的思想引导下,韦达进行了深入的研究,他不但用字母来表示数,还用字母来表示方程中的系数,例如一次方程可以表示为ax+b=0,在那个时候,这是一种非常具有开拓性的方法。韦达的贡献使他赢得了“代数之父”的美誉,后世的数学家们在他的基础上,不断地完善代数的符号体系。直到今天,数学还在发展,它的语言还在不断丰富之中。参考答案：练习1：1.EQ\F(99,101)2.EQ\F(1,97)3.（1）399（2）EQ\F(201,199)练习2：1.甲、乙两数的比是8：3，甲数最大是96，差最大是60。2.甲、乙两数的比是3：10，甲数最小是102，和最小是442。3.一、二、三道工序所需的工人数的比是EQ\F(1,48)：EQ\F(1,32)：EQ\F(1,28)＝14：21：24，所以至少安排14+21+24＝59个工人。练习3：1.9999+（9999－8921）＝110772.较小的数最大是（521－1）÷2＝262，100～262共有163个自然数,所以共有163对,两个数的差最大是525－100－100＝3253.数对共有9999－3456－1000+1＝5544个，两个数的和最大是9999－3456+9999＝16542，两个数的和最小是1000+3456+1000＝5456练习4：1.最大数－最小数＝4中间数＝252÷4＝63最小数＝63－2＝612.根据题意可得（a－c）×b＝280，进而可以推出a－c＝280÷b＝280÷35＝8，所以，c＝35－8