三角形中的垂线段最短模型-2023年中考数学几何模型重点突破训练

专题09三角形中的垂线段最短模型

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【模型1】垂线段最短

如图，已知点P是直线/外一点，过点P作尸8，/,则PB是直线外一点P与直线/上各点的连线中最短的

线段。

【模型2】两条线段的和最小值问题

如图，已知点尸是NZ08内任意一点，点、E、F是OB,Q4上的动点，求PE+EE的最小值，通常作产

点关于08的对称点P,过点P'作PRLCU于点/，交OB于点E。此时PE+EE的值最小。

【例1】如图，是等边△/3C的3c边上的中线，尸是/D边上的动点，E是/C边上动点，当EF+CF

取得最小值时，则/EC尸的度数为（）

A

A.15°B.22.5°C.30°D.45°

【答案】C

【分析】过点8作于点£,交于点足连接C凡根据垂线段最短可知此时EF+C尸取得最小值,

再利用等边三角形的性质求解即可.

过点8作于点£,交4D于点F,连接CR

根据垂线段最短可知此时EF+CF取得最小值,

,：/\ABC是等边三角形,

:.AE=EC,

AF=FC,

：.ZE4C=ZFCA,

'：AD是等边△43C的8。边上的中线,

NBAD=NCAD=30°,

：./ECF=30°.

故选：C.

【例2】如图RtAABC,ZACB=90°,/B=5,5C=3,若动点P在边上移动，则线段CP的最小值是.

12

【答案】y

【分析】过C作于乙，由垂线段最短可知，当点P运动到点尸|的位置时，CP最小，由勾股定理

可得出/C=4,再由S“BC=；5CX/C=T/BXCH即可得出答案.

【解析】解：过C作于尸「

由垂线段最短可知，当点尸运动到点？的位置时，CP最小，

在比“3。中，AC=<52-3?=4,

**•SABCueBCxABxCg,

.\-x3x4=-x5xCP,

221

・・・则线段C尸的最小值是:T12，

12

故答案为：—.

【例3】如图，在中，ZACB=90°,/A4c=30。，3C=8cm,点。为线段ZB上的一个动点，从点

/出发沿线段N3向点2运动，速度为2cm/s.

(1)求/瓦/C的长度；

(2)如图，连接CO,线段CO是否有最小值；若有最小值，请求出这个最小值及此时时间/的值；若没有最

小值，请说明理由；

(3)若点£为线段NC的中点，连接DE,当△/£)£为等腰三角形时，求时间/的值.

【答案】(1)/8,/C的长度分别是16cm、86cm

⑵最小值为4VJcm,Z=6s

(3)Z=2s或2J8s或6s.

【分析】(1)根据含30。直角三角形的性质及勾股定理即可得到答案；

(2)依题意得，当时，有最小值，可得4。、CD,根据可得答案；

(3)依题意得，AE=-AC=4y/3cm,AD=2t,分三种情况：①当4D=/E时，②当时，③当

2

时，结合方程求解即可.

【解析］(1)在RtAABC中，ABAC=3009BC=8cm,

AB=2BC=16cm,

由勾股定理得：AC=y/3BC=S^cm，

答：AB,/C的长度分别是16c〃z、8.

(2)依题意得，当CO,NB时，。有最小值，

此时，在RtAACD中，CD=1AC=4®m,

2

由勾股定理得：AD=®2D=12cm,

*.*AD=2t,由2,=12得，t=6,

最小值为Ayficm，t=6s.

AE=-AC=^cm

(3)依题意得，2,AD=2t,

①当4D=/£■时，由4石=2/,

/.t=2A/3,

②当4D=Z)E时，

如图所示，过。作。b_L/E于R

・，.点_D在4E的垂直平分线上，AF=—AE=2^3cm,

2

•：AD=2DF,

由勾股定理得DF=\/E=2cm,

AD-2AF—4cm,

由4=2/得，t—2,

③当AE=DE时，

如图所示，过E作EG_L4D于G,

...点E在4D的垂直平分线上，且4>2/G,

，EG=g/E=2百cm,由勾股定理得/G=J/E?-ZG?=J48-12=6(cm)

/.AD=2AE=12cm,

由12=2%得，t=6,

综上，，=2s或2氐或6s.

一、单选题

1.如图，/P平分NC48,尸。于点Q,若包＞=6,点E是边上一动点，关于线段可叙述正确的

是（）

A.PE=6B.PE>6D.PE>6

【答案】D

【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等以及点到直线的距离中，垂线段最短即可求解.

【解析】解：过尸点作尸7九L45于H,如图,

平分NCAB,PDLAC,PHLAB,

：.PH=PD=6,

；点石是边4B上一动点,

：.PE>6.

故选：D.

2.如图，从位置O到直线公路/有四条小道，其中路程最短的是（）

A.OAB.OBC.OCD.OD

【答案】C

【分析】根据垂线的性质即可得到结论.

【解析】解：根据垂线段最短得，能最快到达公路/的小道是OC,

故选C.

3.如图，在RtZ\/8C中，44cB=90。，AC=6,BC=8,AB=\Q,NO是NB/C的平分线,。分别

是4D何NC上的动点，则尸C+P0的最小值是（）

A.2.4B.4C.4.8D.5

【答案】C

【分析】由题意可以把0反射到的。点，如此尸C+PQ的最小值问题即变为C与线段上某一点。

的最短距离问题，最后根据“垂线段最短”的原理得解.

【解析】解：如图，作。关于AP的对称点O,则PQ=PO,所以O、尸、C三点共线时，CO=PC+PO=PC+PQ,

此时PC+PQ有可能取得最小值，

当CO垂直于48即CO移到CM位置时，CO的长度最小，

J.PC+PQ的最小值即为CM的长度，

'：SNABC^^ABXCM=^ACXCB,

二。1/=等=4.8,即尸C+PQ的最小值为4.8,

故选C.

4.如图，/是一条水平线，把一头系着小球的线一端固定在点a小球从8到。从左向右摆动，在这一过

程中，系小球的线在水平线下方部分的线段长度的变化是（）

A.从大变小B.从小变大C.从小变大再变小D.从大变小再变大

【答案】C

【分析】根据题意可知：小球在以点4为圆心，以N8长为半径的圆弧上运动，据此即可解答.

【解析】解：根据题意可知：小球在以点/为圆心，以长为半径的圆弧上运动，

如图：过点“作与点£,交弧3C于点G,

AD=AF>AE,AB=AG=AC,

AB-AD=AC-AF<AG-AE,即BD=CF<EG,

故系小球的线在水平线下方部分的线段长度的变化是从小变大再变小，

故选：C.

5.如图，RtZXZBC中，ZACB=90°,AC=6,5C=8,/3=10,BD平分N4BC,如果点N分别

为BD,5c上的动点，那么CM+MN的最小值是（）

C

AB

A.4B.4.8C.5D.6

【答案】B

【分析】先作CE垂直ZB交8。于点M,再作儿W垂直8C,根据角平分线的性质：角分线上的点到角的两

边距离相等，即可找到动点M和N,进而求得CM+MN的最小值.

【解析】解：如图所示：

C

AEB

过点C作CEL4B于点E,交BD于点、M,

过点〃■作于点N,

QBD平分NABC,

:.ME=MN,

:.CM+MN=CM+ME=CE.

Q放V/3C中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,AB=}0,CELAB,

.■.SAKC=-AB-CE=--AC-BC,

/.10CE=6x8,

...C£=4.8.

即CM+MN的最小值是4.8,

故选：B

6.如图，BDLCD,垂足为D,/4BD=30°,ZA=90°,且4D=4,OC=6,点尸是边BC上的一动点,

则DP的最小值是（）

BP

A.7.1B.6.5C.4.8D.3.2

【答案】C

【分析】过。点作DXLBC于X,如图，先根据含30度的直角三角形三边的关系得到3。=8,再利用勾股

定理计算出2C=10,接着利用面积法计算出。X,然后根据垂线段最短求解.

【解析】解：过。点作。于"，如图，

BPHC

VZA=90°,ZABD=30°,

：.BD=2AD=2^<4=8,

"：BD±CD,

：./BDC=90。,

•*-BC=y/cD2+BD2=V62+82=10>

,/三DH，BC=gBD・CD,

：.DH=^-=4.S,

10

.'.DP的最小值为4.8.

故选：C.

二、填空题

7.如图，ZADB=ZABC=90°,ZDAB=ABAC,BD=4,P为/C上一动点，则BP的最小值为

D

B

----------------、C

【答案】4

【分析】根据垂线段最短得出BPL/C时，2尸的值最小，根据角平分线的性质得出2尸=3。，再求出答案即

可.

【解析】解：当8尸，NC时，8尸有最小值，

VZDAB=ZBAC,ZADB=9Q°,57)=6,BP工AC,

:.BP=BD=4,

即3P的最小值是4,

故答案为：4.

8.在△48C中，44=50。，/B=40。,E是48边上的中点，且CE=,点。是上一个动点，当

CD取最小值时，ZDCE=.

【答案】10。

【分析】先根据等腰三角形的性质可得4CE=4=40。，再根据三角形的外角性质可得/CED=80。，然

后根据垂线段最短可得当CD时，取最小值，则此时/CDE=90。，最后根据直角三角形的两个锐

角互余即可得.

【解析】解：•.•E是N2边上的中点，

BE=-AB,

2

■：CE=-AB,

2

BE=CE,

/.NBCE=NB=4B,

ZCED=/BCE+NB=80°,

由垂线段最短可知，当时，S取最小值，则此时/CZ)E=90。,

NDCE=90°-ZCED=10°,

故答案为：10°.

9.如图，己知是A48c的中线，点尸是/C边上一动点，若A4BC的面积为10,AC=4,则MP的最

小值为_______

【答案】2.5

【分析】先利用中线求三角形/C"的面积，再求NC边上的高，根据垂线段最短得到答案.

【解析】解：是△NBC的中线，

,•S&ACM=yABC=5，

二点M到/C的距离为：2S3-4=2.5,

根据垂线段最短，

则MP的最小值2.5.

故答案为：25

10.如图，菱形48CD中，AB=2,ND=120。，£是对角线/C上的任意一点，则的最小值为

2

【答案】V3

【分析】过点E作斯，CD于点凡连接8?由菱形的性质可知NFCE=30。，即得出斯=gcE,从而可

得出+1C£=8E+28/，即当BF最小时BE+-CE最小.由垂线段最短可知当B尸1CD时BF最小,

22

求出8尸的值即可.

【解析】如图，过点E作斯，CD于点尸，连接8足

VZD=120°,四边形ABCD为菱形，

AZFC£=30°,/DCS=60°,

：.EF=-CE,

2

：.BE+-CE=BE+EF.

2

"BE+EF>BF,

.,.当BF最小时BE+E77最小，即+最小.

2

由垂线段最短可知当AF_LCD时2/最小，如图8尸.

BC=AB=2,ZF'CB=60°,

Z.F'C^-BC=\,

2

BF'=^BC2-CF'2=V3，

.•.BE+^CE的最小值为行.

故答案为：V3.

11.如图，在菱形4BCD中，ZABC^60°,BD平分/4BC,BC=3,点M为BC上一定点且3M=1,在

BC上有一动点Q,在BD上有一动点P,则PM+PQ的最小值为.

［答案］

2

【分析】在初上取一点0,使得80=3。'，连接P。'，过点M作于点N.根据锐角三角函数可

得MN=昱,再根据VP8。到尸38,可得PQ=P0‘，从而得到=+即可求解.

2

【解析】解：如图，在R4上取一点。'，使得8。=8。，连接尸。，过点“作于点N.

在RtZkBAW中，/MNB=90°,2Af=l,/MBN=60°,

'.MN=BM^sm€>Q°=——

2

•；BD平分/ABC,

：.ZABD=ZCBD,

•:BP=BP,BQ=BQ',

：.VPBQPBQ^(SAS),

PQ=PQ',

•；PM+PQ=PM+PQ^>MN=—,

~、2

.♦.PM+PQ的最小值为日，

故答案为：如.

2

12.如图，4408=45。，点M、N分别在射线04。8上，MN=6,WOAW的面积为12,P是直线上

的动点，点P关于。/对称的点为6,点尸关于。8对称的点为6,当点P在直线7W上运动时，△外£的

面积最小值为.

【答案】8

【分析】连接。尸，过点。作仍，研交NM的延长线于“，先利用三角形的面积公式求出。石，再根据轴

对称的性质可得ZACP=ZAOPVZBOP=ZBOP,,OPX=OP=OP2,从而可得zppp2=90°,然后利用三角

形的面积公式可得4。4鸟的面积为4，根据垂线段最短可得当点产与点以重合时，。尸取得最小值,

△。片鸟的面积最小，由此即可得.

【解析】解:如图，连接OP,过点。作组1就交2W的延长线于

••・S〜；MN.OH=\2,QMN=6,

：.OH=4,

:点P关于OA对称的点为月，点尸关于08对称的点为6,

ZAOP=ZACPVZBOP=ZBOR,,OPX=OP=OP2,

'：NAOB=45°,

ZPtOP2=2(NAOP+NBOP)=2ZAOB=90°,

:.&OP\P1的面积为goq•。鸟=go尸2，

由垂线段最短可知，当点P与点”重合时，。尸取得最小值，最小值为。8=4,

:.qpR的面积的最小值为白不=8,

故答案为：8.

三、解答题

13.如图，点A在直线/外，点B在直线/上，连接A8.选择适当的工具作图.

(1)在直线/上作点C,使//C5=90。，连接/C；

(2)在BC的延长线上任取一点D,连接AD；

(3)在AC,ND中，最短的线段是,依据是

【答案】(1)图见解析

(2)图见解析

(3)AC,垂线段最短

【分析】(1)利用直角三角板作UCB=90。，再利用直尺连接/C即可得；

(2)利用直尺连接4。即可得；

(3)根据垂线段最短即可得.

【解析】(1)解：利用直角三角板和直尺作图如下：

(2)解：利用直尺连接作图如下:

(3)解：在N8,4C,中，最短的线段是/C,依据是垂线段最短,

故答案为：AC,垂线段最短.

14.如图，已知点尸在//0C的边CM上，

(1)过点尸画。/的垂线交OC于点B；

(2)画点P到0B的垂线段PM-,

(3)测量尸点到。5边的距离：cm；

(4)线段。尸、9和P8中，长度最短的线段是；理由是

【答案】(1)图形见解析；

(2)图形见解析；

(3)1.5；

(4)PM,垂线段最短

【分析】(1)根据垂线的定义画出图形即可.

(2)根据垂线段的定义画出图形即可.

(3)利用测量法解决问题即可.

(4)根据垂线段最短判断即可.

【解析】(1)如图，直线尸3即为所求作.

(4)线段。尸、和四中，长度最短的线段是尸理由是垂线段最短.故答案为：PM,垂线段最短.

15.如图，在△43C中，/2=10,/C=8,BC=6,4D平分NBAC,点P、。分别是NC上的动点(点

P不与/、。重合，点0不与/、C重合)，求PC+P。的最小值

【答案】y

【分析】过点C作CHLAB于H,交AD于点P,过点P作PQLAC于点Q,则PC+PQ的最小值就是线段

CH的长，根据g-AC-BC即可求出CH的长.

【解析】解：如解图，过点C作。于〃，交/。于点尸，

过点P作尸。，/。于点。，

；4D平分NB4C,CHLAB,PQLAC,

：.PQ=PH,

：.PC+PQ=PC+PH=CH,

：.PC+PQ的最小值就是线段CH的长，

"：AB=]O,AC=8,BC=6,

：.AB2=AC2+BC2,

：.ZACB=90°,

：.y・AB・CH=g-AC-BC,

即PC+PQ的最小值为彳.

16.在一条东西走向河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点/、2,其中4B=BC,由于某种原因，由C

到B的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点。(4D、3在同一条直线上)，

并新修一条路CD，测得C4=750米，CD=600米，40=450米.

(1)问CD是否为从村庄。到河边最近的路？请通过计算加以说明;

(2)求原来的路线8C的长.

【答案】(1)CD是从村庄C到河边最近的路，理由见解析

(2)625米

【分析】(1)结合已知条件根据勾股定理的逆定理、垂直的定义、垂线段最短即可得解；

(2)设8C=x米，则==x米、AD=(x-450)米，根据勾股定理列出关于x的方程求解即可.

【解析】(1)解：结论：°是从村庄°到河边最近的路.

理由：：在△NCZ)中，CZ=750米，CD=600米，40=450米，

4502+6002=7502，即AD2+CD2=AC2,

.•.△/CD是直角三角形，

ZADC=90°.

CDLAB.

...CD是从村庄C到河边最近的路.

(2)设BC=x米，则==x米,皿=(150)米,

:在瓦ABCD中，由勾股定理得：BC2-BD2=CD2.

：./_(无-450)2=6002.

x—625.

答：原来的路线8C的长为625米.

17.如图所示，/4ED=80。，EF平分NAED交AD于点、F,Zl=40°

⑴写出判定E尸〃的推理过程.

(2)当N4DE=50。时，线段区4、EF、中最短的是哪段？并说出理由.

【答案】(1)见解析

(2)斯最短，理由见解析

【分析】(1)由斯平分//即交4D于点R有“ED=40。,/1=40。则内错角相等，两直线平行.

(2)由N4DE=50°,Zl=40°,EF11BD,可判断出/4D3=90°,EF_L4D即可得出答案.

【解析】(1),:EF平分NAED,

：.ZAEF=ZFED,

N4ED=80°,

ZFED=40°>

•••Zl=40°,

EF//BD；

(2)EF最短.

理由：VZ1=4O°,

.,.当//。£=50。时，ZADB=90°,则3£>_LAD,

又,：EF//BD,

C.EFLAD,

二郎为垂线段，

:.EF最短.

CD

18.在必A/C8中，AC=BC=3,ZC=90°,。是NC边上一点，一=2,直线。£交3c于点E.

AD

图1图2图3

⑴如图1,若/CDE=45。，贝lJCD=,EB=；

(2)如图2,在(1)的条件下，点W在直线DE上运动，且满足/MCN=90。，MC=NC,连接ND,请判

断与ME的数量关系和位置关系，并说明理由.

(3)如图3,若/CDE=30。，点”在直线上运动，且满足/MCN=90。，MC=NC,连接/N,请求出NN

的最小值.

【答案】(1)2,1

(2)ND=ME,NDLME,见解析

⑶4

【分析】(1)证明△CQE是等腰直角三角形，可得结论；

(2)如图2中，结论：ND=ME,NDJJVffi.证明NDCN2("S),可得结论；

(3)如图3中，连接BM,证明△ZCN丝△5CN(WS),推出AN=BM,过点B作BH1.DE于H,则当BMLDE

时，3河最小即为8”,在RtdBEH中,求得5"=/N的最小值为九5-1.

2

【解析】(1)解：如图1中，

•：CA=CB,ZC=90°,

・・・ZA=ZB=45°f

*C=3,"

；・CD=2,AD=1,

・：DE〃AB,

：.ZCDE=ZA=45°,NCED=NB=45。,

：・NCDE=/CED,

：・CD=CE=2,

：.BE=BC-CE=3-2=1,

故答案为：2,1；

(2)结论：ND=ME,NDLME,

理由：VZDCE=ZMCN=90°,

：.ZDCEZDCM=ZMCNZDCMf

即NOC2NMCE,

又•：CD=CE,CM=CN,

:•△DCN/AECM(SAS)f

:・ND=ME,ZCDN=ZCEM=45°f

ZCDE=45°,

ZNDE=ZNDC+ZCDE=90°,

：.ND.LME；

⑶连接BM,

N

A匕------------4B

'：/NCM=NACB=90。,

：.ZACN=ZBCM,

又,：NC=MC,AC=BC,

：.AACN咨XBCM(SAS),

:.AN=BM,

当BATLDE时，8M最小，

过点B作BHLDE于H,

在及△DCE中，NCDE=30°,CD=2,

在必中，BH=BEsin60°

.••/N的最小值为述-1.

19.（1）如图1,在中，AB=AC,。是BC边的中点，£、厂分别是/C边上的点.若2、E、F

在一条直线上，且NNBE=NR4C=45°,探究2D与ZE的数量之间有何等量关系，并证明你的结论.

（2）为了丰富学生的业余生活，增强学生的身体素质，某体育课上老师组织学生进行传球训练.如图2所示，

体育老师在地面画了一块A/8C场地，已知N3=/C=17米，BC=16米，。为8c的中点，测得的长为

15米，受训练的两名同学E和尸分别在/D和/C边上移动，老师站在C点位置给同学传球，先把球传给E

同学，£同学再传给尸同学，请求出所传球的运动路径最小值（即EC+EF的最小值）.

【答案】（1）4E=23。，证明见解析；（2）有-米.

【分析】(1)根据等角对等边，可知△45C是等腰三角形，易证=证明/丝△BCR(4S⑷，

进而结论得证；

(2)根据垂线段最短可知当3,E,b三点共线，且8尸垂直4C时，5£+好有最小值为5尸，根据等体积

法求解即可.

【解析】(1)解：AE=2BD.

理由如下：•：NABE=NBAC=45。,

：.AF=BF,ZAFE=ZBF