导数与函数的极值、最值（学生版）-2025年高考数学一轮复习学案（新高考）

第04讲导数与函数的极值、最值

（5类核心考点精讲精练）

1%.考情探究・

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

2024年新I卷，第10题,6分求已知函数的极值点利用导数求函数的单调区间

利用导数研究具体函数单调性

函数对称性的应用

2024年新H卷，第11题,6分极值与最值的综合应用

利用导数研究函数的零点

判断零点所在的区间

求在曲线上一点处的切线方程

2024年新H卷，第16题,15分根据极值求参数

利用导数研究含参函数单调性

2023年新I卷，第11题,5分函数极值点的辨析函数的性质、奇偶性的定义与判断

基本（均值）不等式的应用、求平面轨迹

2023年新I卷,第22题,12分由导数求函数的最值（不含参）

方程、求直线与地物线相交所得弦的弦长

2023年新II卷,第11题,5分根据极值求参数根据二次函数零点的分布求参数的范围

利用导数求函数的单调区间（不含参）

2023年新H卷，第22题,12分根据极值点求参数利用导数研究不等式恒成立问题

利用导数研究函数的零点

锥体体积的有关计算球的体积的有关计算

2022年新I卷，第8题,5分由导数求函数的最值（不含参）

多面体与球体内切外接问题

求在曲线上一点处的切线方程（斜率）

2022年新I卷，第10题,5分求已知函数的极值点

利用导数研究函数的零点

2022年新I卷,第22题,12分由导数求函数的最值（含参）利用导数研究方程的根

2021年新I卷，第15题,5分由导数求函的最值（不含参）无

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为5-13-15分

【备考策略】1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件

2能够利用导数求函数的极大值、极小值以及在给定闭区间上的最大值、最小值

3体会导数与极大(小)值、最大(小)值的关系

【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，会结合导数来判断或证明函数的单调性，从而求得函数的

极值或给定区间上的最值，热点内容，需综合复习

知识点1函数的极值与导数

考点4由函数最值求参数值或范围

考点5选填小题中极值的应用与求解

知识讲解

1.函数的极值与导数

(1)函数的极小值与极小值点

若函数人《)在点x=a处的函数值八比它在点x=a附近其他点的函数值都小，/'伍)=0,

而且在点x=a附近的左侧/V)<0,右侧/'(X)〉0,则点a叫做函数的极小值点，加)叫做函

数的极小值.

(2)函数的极大值与极大值点

若函数人x)在点x=b处的函数值人3比它在点x=b附近其他点的函数值都大，fg=0,

而且在点x=b附近的左侧/'(x)〉0,右侧/'(X)<0,则点6叫做函数的极大值点，加)叫做函

数的极大值.

(3)极值与导数的关系

/(x)是极值点nf\x)=0

八x)=0»/(x)是极值点，即：/(x)=0是/(x)为极值点的必要非充分条件

2.函数的最值与导数

(1)函数人》)在［。，回上有最值的条件

如果在区间［。，切上函数y=Ax)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小

值.

(2)求7=加)在口,句上的最大(小)值的步骤

①求函数了=Ax)在(。，6)内的极值；

②将函数y=Xx)的各极值与端点处的函数值真。)，寅6)比较，其中最大的一个是最大值，

最小的一个是最小值.

考点一、求函数的极值或极值点

典例引领

1.(2024•全国•高考真题)已知函数/(x)=(l-办)ln(l+x)-x.

⑴当a=-2时，求〃x)的极值；

(2)当xNO时，/(x)>0,求。的取值范围.

2.(2023・北京•高考真题)设函数〃无)=x-无它+J曲线尸在点(1J⑴)处的切线方程为片-x+l.

⑴求。力的值；

(2)设函数g(x)=/'(x),求g(x)的单调区间；

⑶求/(x)的极值点个数.

3.(2021•天津•高考真题)己知a>0,函数/(x)=ax-xe”.

(|)求曲线y=/(x)在点(o,”o))处的切线方程：

(II)证明〃x)存在唯一的极值点

(III)若存在。，使得/(x)Va+b对任意xeR成立，求实数b的取值范围.

♦・即时啊

1.(2024・湖南长沙■三模)已知函数〃x)=x+ln(ax)+Le*(a<0).

(1)求函数的极值；

(2)若集合H〃x)2-1｝有且只有一个元素，求.的值.

2.(2024•浙江温州•三模)设函数/(x)=xlnx-〈x3的导函数为g(x).

⑴求函数g(x)的单调区间和极值；

(2)证明：函数“X)存在唯一的极大值点升,且

(参考数据:In2ao.6931)

3.(2024・陕西商洛•模拟预测)已知函数〃x)=xlnx-x-lnx+1的导函数为r(x).

⑴证明：函数/(x)有且只有一个极值点；

(2)若M'Tx)-恒成立，求实数机的取值范围.

考点二、根据函数极值或极值点求参数值或范围

典例引领

■——

1.(2024•全国•高考真题)已知函数/'(x)=e'-ax-/.

⑴当a=1时，求曲线V=/(%)在点(1,/(1))处的切线方程；

⑵若/(x)有极小值，且极小值小于0,求a的取值范围.

2.(2023・全国•高考真题)⑴证明：当0<x<l时，x-x2<sinx<x;

(2)已知函数〃x)=cosax-ln(l-若x=0是/(%)的极大值点，求a的取值范围.

3.(2023•全国•高考真题)已知函数〃x)=C+a1n(l+x).

⑴当a=-l时，求曲线>=在点(1,/。))处的切线方程；

(2)是否存在a,6,使得曲线关于直线x=b对称，若存在，求0,6的值，若不存在，说明理由.

⑶若“X)在(0,+8)存在极值，求a的取值范围.

4.(2021・全国•高考真题)设函数〃x)=ln(a-x),已知x=0是函数丁=犷n)的极值点.

⑴求a；

(2)设函数g(x)=，.证明:g(x)<L

XJ(%)

即时检测

1.(2024・陕西铜川•模拟预测)已知函数”%)=2/+3苫2-12'+加(加eR)的一个极值为一2.

⑴求实数加的值；

~3-

(2)若函数”x)在区间k,-上的最大值为18,求实数上与加的值.

2.(2024.重庆.模拟预测)已知/(x)=e，+aln(l-x)

(1)若/(x)在x=0处的切线平行于x轴，求。的值；

(2)若/(x)存在极值点，求a的取值范围.

3.(2023・湖南郴州•一模)已知函数/(X)=21nx+gax2_(2a+l)x.

⑴若曲线V=/(x)在(1J。))处切线与x轴平行，求。；

(2)若/(x)在x=2处取得极大值，求。的取值范围.

e'2t

4.(2024•山东泰安•模拟预测)已知函数〃x)==，g(x)=-+Zlnx.

⑴求函数g(x)单调区间；

⑵若函数H(x)=/(x)-g(x)在(0,2)有两个极值点，求实数t的取值范围.

考点三、利用导数求函数最值

典例引领

■________

1.(2024•安徽•三模)已知函数〃x)=2(x-l)e，-办2.

⑴求曲线y=〃x)在x=0处的切线方程；

(2)若a=e2,求函数〃x)在［1,3］上的最值.

2.(2024•广东东莞•模拟预测)已知函数/(x)=gx2+(l-a)x-alnx(aeR).

⑴求函数〃x)的单调区间；

⑵当。＞0时，求函数〃x)在区间［1间上的最大值.

即时检测

■一

1.(2024•山东泰安三模)已知函数/(工)=苫，-竽｝。＞0).

(1)讨论/(x)的最值；

(2)若”=1,且竺求左的取值范围.

X

2.(2024•山西晋中•模拟预测)已知函数/(x)=lnx+sinx+sin历.

⑴求函数/(%)在区间［1©上的最小值；

⑵判断函数〃X)的零点个数，并证明.

3.(2021・北京•高考真题)已知函数

(1)若a=0,求曲线>=/(x)在点(1J。))处的切线方程；

(2)若/(x)在x=-l处取得极值，求/(x)的单调区间，以及其最大值与最小值.

考点四、由函数最值求参数值或范围

典例引领

1.(2022•全国•高考真题)己知函数/(X)=/-G和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

⑴求。；

(2)证明：存在直线丁=6,其与两条曲线V=/(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交

点的横坐标成等差数列.

2.(2024・海南•模拟预测)已知函数/卜)=/-alnx+1,。eR.

⑴当a=1时，求曲线V=/(x)在点(1,/■⑴)处的切线方程；

(2)当a>0时，若函数/(x)有最小值2,求。的值.

3.(2024・四川•模拟预测)已知函数/(x)=xe-2ax(a>0).

⑴若函数/(x)在x=l处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为羡，求。的值；

(2)若函数/(x)的最小值为-e,求。的值.

即时检测

I___________________

1.(2024・湖北武汉•模拟预测)已知函数/(x)=6e*(x>0).

⑴求函数〃x)的单调区间；

(2)若函数/(x)有最大值：，求实数。的值.

a,

2.(2024•陕西西安•一模)已知函数/(x)=ex---2ax.

⑴若/⑴在［0,+8)上单调递增，求。的取值范围；

⑵若>=/(%)的最小值为1，求。・

3.(2024高三下•全国•专题练习)已知函数/(x)=；(lnx『—。五.

⑴若/(%)在(0，+。)上单调递减，求实数。的取值范围；

（2）若的最小值为6,求实数。的值.

4.（2024•全国•模拟预测）已知函数〃x）=?和函数g（x）=最有相同的最大值.

⑴求a的值；

⑵设集合/={x|/（x）=6},3={尤忖（尤）=6}（6为常数）.证明：存在实数6,使得集合NuB中有且仅有3

个元素.

考点五、选填小题中极值的应用与求解

典例引领

1.（2022•全国•高考真题）函数/（x）=cosx+（x+l）sinx+l在区间［0,2兀］的最小值、最大值分别为（

3兀兀兀兀C3兀兀.

B.,一C.——，一+2D.—,—+2

222222

2.（2021•全国•高考真题）设若。为函数/（x）=a（x-a）2（x-6）的极大值点，则（）

A.a<bB.a>bC.ab<a1D.ab>a2

3.(2024•全国，高考真题)(多选)设函数/(x)=2d-3"Z+1,则()

A.当。>1时，有三个零点

B.当。<0时，x=0是Ax）的极大值点

C.存在a,b,使得x=b为曲线y=/（x）的对称轴

D.存在°,使得点（1J⑴）为曲线>=/（x）的对称中心

4.（2022•全国•高考真题）已知、=再和、=工2分别是函数/（x）=2a"-ex2（〃〉0且awl）的极小值点和极

大值点.若为<%2，则Q的取值范围是.

即噌遇

1.（2021•全国•高考真题）函数/（x）=|2x-l|-21nx的最小值为.

AC

2.（2023・全国•高考真题）（多选）若函数〃x）=alnx+1+3（aw0）既有极大值也有极小值，则（）.

A.bc>QB.ab>QC.b1+Sac>0D.ac<0

3.（2024•全国•高考真题）（多选）设函数/（X）=（X-1）2（X-4）,则（）

A.x=3是/（x）的极小值点B.当0<x<l时，/(x)</(x2)

C.当l<x<2时，一4</(21-1)<0D.当一l<x<0时，/(2-x)>/(x)

4.（2022•全国•高考真题）（多选）已知函数/（x）=d—x+1,则（）

A./(x)有两个极值点B./(x)有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=/(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=的切线

IA.好题冲关

基础过关

一、单选题

1.(2024•河北承德•二模)设。为实数，若函数在x=l处取得极小值，贝Ija=()

A.1B.C.0D.-1

2

2.(2024•重庆・模拟预测)若函数〃x)=d-x+alnx有极值，则实数〃的取值范围是(

1

A.B.C.-00,D.—co—

*88

二、多选题

3.(2024•辽宁•模拟预测)已知函数/■(6=-5,则下列说法正确的是()

A.7(x)的极值点为卜

B.f(x)的极值点为1

C.直线了=!》-：是曲线＞=〃x)的一条切线

ee

D./(x)有两个零点

三、填空题

4.(2024.安徽•二模)已知函数/(x)=(x-l)sinx+(x+l)cosx,当xe[0,可时〃x)的最大值与最小值的和

为.

四、解答题

5.(2024・陕西铜川•模拟预测)已知函数/(x)=ln(2x+l)-4aeX+(a-2)x(aeR).

⑴当a=0时，求/(x)的最大值；

(2)若g(x)=/(x)+3ae，对定义域内任意实数x都有g(x)W0,求。的取值范围.

6.(2024•山东潍坊•二模)已知函数/(x)=(x-l)e，-办2+6,曲线y=/(x)在点(1J0))处的切线方程为

y=(e-2)x+3-e.

⑴求实数a，6的值；

(2)求/(x)的单调区间和极值.

7.(23-24高二下•广东佛山•阶段练习)己知函数/(x)=(x2-2x+a)e，,aeR.

(1)若”=1,求函数/(x)在xe[0,3]上的最大值和最小值；

⑵讨论函数/(x)的单调性.

8.(2024・河南•三模)已知函数/(x)=G-lnx,且/(x)在x=1处的切线方程是x-y+6=0.

⑴求实数。，6的值；

(2)求函数/(x)的单调区间和极值.

9.(2022高三上・河南•专题练习)已知函数/(x)=xe*-"?x2.

⑴求曲线了=/(无)在(0J(。))处的切线方程；

(2)若函数g(x)=/(x)-e*在x=0处取到极小值，求实数机的取值范围.

10.(2024・重庆・模拟预测)已知函数/(x)=/-5x+alnx在x=2时取得极值.

⑴求实数。；

⑵若xegf,求的单调区间和极值.

能力是升

一、单选题

1.(2024•福建泉州•一模)已知％I，%，是函数/(x)=(xT)3两个极值点，则()

A.项+工2=—2B.+x2=1C./(玉)+/(%2)=一2D./(占)+/(%2)=2

2.(2024•广东深圳•模拟预测)已知函数〃x)=a®：：°。")+x在(0㈤上恰有两个极值点,则实数。的取

值范围是()

(71A,兀、

e2(6e2(41-\

2I2)2\2J

k7k7

二、多选题

3.(2024•全国•模拟预测)设函数/(x)=x-i-3hu,记“X)的极小值点为多，极大值点为X2,则()

A.玉+工2=3B.当＜%2

c./(X)在(X2，xj上单调递减D./（再）+/（工2）=-31n2

4.(2024•重庆•三模)若函数/(无)=ahw-2x2+6元既有极小值又有极大值，则()

A.ab<0B.a<0C.b1+\6a>QD.耳<4

三、填空题

5.(2024•新疆喀什•三模)已知函数〃切=巴产和g(x)=6(6-x)1>0)有相同的最大值.则"的

最小值为.

四、解答题

6.(2024•广东茂名•二模)已知函数/'(%)=e*sinx-ax.

⑴若曲线y="X)在点(0,/(0))处的切线方程为x+y=0,求实数。的值；

(2)若a=1,求函数在区间［。,外上的最大值.

7.(2024・河南开封•三模)已知函数/(x)=x3-31nx,/'(x)为〃x)的导函数.

⑴求曲线J=〃x)在点(1J⑴)处的切线方程；

(2)求函数g(尤)=〃尤)-⑺的单调区间和极值.

8.(2024•陕西西安•模拟预测)已知函数/(x)=G-lnx-a,若/*)的最小值为0,

⑴求。的值；

(2)若g(x)=M(x),证明:g(x)存在唯一的极大值点看,且g(xo)<；.

9.(2024•福建泉州•一模)设函数/(x)=ax-a-lnx.

⑴讨论f(x)的单调性;

ac

⑵当a>0时，若8。)=犷(工)一］工2+》的值域为［0,+<»),证明：2-a=ln2-lna.

10.(2024•青海西宁•模拟预测)已知函数/(x)=x2+axlnx-x

(1)当a=l时，求的零点；

(2)若/(x)恰有两个极值点，求。的取值范围.

堡题感理—

1.(2023・全国•高考真题)(多选)己知函数〃x)的定义域为R,/(xy)=y7(x)+x7(j),则().

A./(0)=0B./(1)-0

C.〃尤)是偶函数D.x=0为〃x)的极小值点

2.(2022•全国•高考真题)已知函数/(xhax-'-Q+Dlnx.

x

(1)当。=