人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册课时作业4：3 1 2 第一课时 椭圆的简单几何性质练习

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册PAGEPAGE13.1.2椭圆的简单几何性质第一课时椭圆的简单几何性质一、选择题1.已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(\r(3),3) C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(1,2)〖答案〗B〖解析〗由2x2＋3y2＝m(m>0)，得eq\f(x2,\f(m,2))＋eq\f(y2,\f(m,3))＝1，∴c2＝eq\f(m,2)－eq\f(m,3)＝eq\f(m,6)，∴e2＝eq\f(\f(m,6),\f(m,2))＝eq\f(1,3)，∴e＝eq\f(\r(3),3).2.与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是()A.eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,4)＝1 B.x2＋eq\f(y2,6)＝1C.eq\f(x2,6)＋y2＝1 D.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,5)＝1〖答案〗B〖解析〗将椭圆方程9x2＋4y2＝36化为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，故其焦点为(0，±eq\r(5)).又b＝1，∴a2＝b2＋c2＝6，故所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,6)＋x2＝1.3.椭圆4x2＋49y2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是()A.7，2，eq\f(3\r(5),7) B.14，4，eq\f(3\r(5),7)C.7，2，eq\f(\r(5),7) D.14，4，eq\f(\r(5),7)〖答案〗B〖解析〗先将椭圆方程化为标准方程为eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,4)＝1，则b＝2，a＝7，c＝3eq\r(5).故长轴长为2a＝14,短轴长为2b＝4，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3\r(5),7).4.若椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4eq\r(5)，则椭圆的方程为()A.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1 B.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,36)＝1C.eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(y2,6)＋eq\f(x2,4)＝1〖答案〗A〖解析〗依题意得c＝2eq\r(5)，a＋b＝10，又a2＝b2＋c2，所以解得a＝6，b＝4.5.椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是()A.eq\f(2\r(m－1),m－1) B.eq\f(－2\r(－m),m)C.eq\f(2\r(m),m) D.－eq\f(2\r(1－m),m－1)〖答案〗C〖解析〗椭圆方程可化为eq\f(x2,\f(1,1＋m))＋eq\f(y2,\f(1,m))＝1，由题意，知m>0，∴eq\f(1,1＋m)<eq\f(1,m)，∴a＝eq\f(\r(m),m)，∴椭圆的长轴长为2a＝eq\f(2\r(m),m).二、填空题6.中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为eq\f(\r(3),2)，且过点(2，0)的椭圆的方程是________.〖答案〗eq\f(x2,4)＋y2＝1或eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝1〖解析〗若焦点在x轴上，则a＝2.又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，∴c＝eq\r(3).∴b2＝a2－c2＝1，∴方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.若焦点在y轴上，则b＝2.又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，∴eq\f(b2,a2)＝1－eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)，∴a2＝4b2＝16，∴方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝1.综上，椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1或eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝1.7.椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|的值为________.〖答案〗eq\f(7,2)〖解析〗由eq\f(x2,4)＋y2＝1知，F1，F2的坐标分别为(－eq\r(3)，0)，(eq\r(3)，0)，即点P的横坐标为xP＝－eq\r(3)，代入椭圆方程得|yP|＝eq\f(1,2)，∴|PF1|＝eq\f(1,2).∵|PF1|＋|PF2|＝4，∴|PF2|＝4－|PF1|＝4－eq\f(1,2)＝eq\f(7,2).8.若点O和点F分别为椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2＋|PF|2的最小值为________.〖答案〗2〖解析〗设P(x0，y0)(x0∈〖－eq\r(2)，eq\r(2)〗)，而F(－1，0)，∴|OP|2＋|PF|2＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋(x0＋1)2＋yeq\o\al(2,0).又yeq\o\al(2,0)＝1－eq\f(xeq\o\al(2,0),2)，∴|OP|2＋|PF|2＝xeq\o\al(2,0)＋2x0＋3＝(x0＋1)2＋2≥2(当且仅当x0＝－1时等号成立).∴|OP|2＋|PF|2的最小值为2.三、解答题9.分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)离心率是eq\f(2,3)，长轴长是6；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.解(1)由已知得2a＝6，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,3)，∴a＝3，c＝2.∴b2＝a2－c2＝9－4＝5.∴椭圆的标准方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1或eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,9)＝1.(2)设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0).如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2上的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18，故所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1.10.已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)，过点Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)，0))的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A∥F2B，|F1A|＝2|F2B|，求椭圆的离心率.解由F1A∥F2B，|F1A|＝2|F2B|，得eq\f(|EF2|,|EF1|)＝eq\f(|F2B|,|F1A|)＝eq\f(1,2)，从而eq\f(\f(a2,c)－c,\f(a2,c)＋c)＝eq\f(1,2)，整理得a2＝3c2.故离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3).11.(多选题)已知点(3，2)在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上，则()A.点(－3，－2)不在椭圆上B.点(3，－2)在椭圆上C.点(－3，2)在椭圆上D.无法判断点(－3，－2)，(3，－2)，(－3，2)是否在椭圆上〖答案〗BC〖解析〗由椭圆的对称性知点(－3，－2)，(－3，2)，(3，－2)均在椭圆上.12.(多选题)若椭圆x2＋my2＝1的离心率为eq\f(\r(3),2)，则m的值可以为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2) C.2 D.4〖答案〗AD〖解析〗方程化为x2＋eq\f(y2,\f(1,m))＝1，则有m>0且m≠1.当eq\f(1,m)<1，即m>1时，a2＝1，b2＝eq\f(1,m)，依题意有eq\f(\r(1－\f(1,m)),1)＝eq\f(\r(3),2)，解得m＝4，满足m>1；当eq\f(1,m)>1，即0<m<1时，a2＝eq\f(1,m)，b2＝1，依题意有eq\f(\r(\f(1,m)－1),\r(\f(1,m)))＝eq\f(\r(3),2)，解得m＝eq\f(1,4)，满足0<m<1.综上，m＝eq\f(1,4)或4.13.已知椭圆E的中心为坐标原点O，两个焦点分别为A(－1，0)，B(1，0)，一个顶点为H(2，0).(1)求椭圆E的标准方程；(2)对于x轴上的点P(t，0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围.解(1)由题意可得，c＝1，a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.∴所求椭圆E的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)设M(x0，y0)(x0∈(－2，2))，则eq\f(xeq\o\al(2,0),4)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),3)＝1.①eq\o(MP,\s\up6(→))＝(t－x0，－y0)，eq\o(MH,\s\up6(→))＝(2－x0，－y0)，由MP⊥MH可得eq\o(MP,\s\up6(→))·eq\o(MH,\s\up6(→))＝0，即(t－x0)(2－x0)＋yeq\o\al(2,0)＝0.②由①②消去y0，整理得t(2－x0)＝－eq\f(1,4)xeq\o\al(2,0)＋2x0－3.∵x0≠2，∴t＝eq\f(1,4)x0－eq\f(3,2).∵－2<x0<2，∴－2<t<－1.∴实数t的取值范围为(－2，－1).14.椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上有一点P，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点Q在线段PF2的延长线上，且QF1⊥QP，sin∠F1PQ＝eq\f(5,13)，则该椭圆离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(26),26)，1)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(\r(5),3))) C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(\r(2),2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(26),26)，\f(\r(2),2)))〖答案〗D〖解析〗∵QF1⊥QP，∴点Q在以F1F2为直径，原点为圆心的圆上，∵点Q在椭圆的内部，∴以F1F2为直径的圆在椭圆内，∴c<b.∴c2<a2－c2，∴e2<eq\f(1,2)，故0<e<eq\f(\r(2),2).∵sin∠F1PQ＝eq\f(5,13)，∴cos∠F1PQ＝eq\f(12,13).设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则|PF1|＋|PF2|＝m＋n＝2a.在△PF1F2中，由余弦定理得4c2＝m2＋n2－2mn·eq\f(12,13)，∴4c2＝(m＋n)2－2mn－2mn·eq\f(12,13)，即4c2＝4a2－eq\f(50,13)mn，∴mn＝eq\f(26,25)(a2－c2).由基本不等式得mn≤eq\b\