2024年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学三模试卷（附答案解析）

2024年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学三模试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.（5分）已知集合/=｛称犹=2,aeN）,若/UN,则所有。的取值构成的集合为（）

A.{1,2}B.{1}C.{0,1,2}D.N

2.（5分）复平面内B,C三点所对应的复数分别为1-32-i,3+z,若四边形N5CD为平行四边形,

则点。对应的复数为（）

A.2B.2+zC.1D.1+z

3.（5分）设尸为抛物线C：歹=小的焦点，若点尸（1,2）在。上，则|尸尸尸（)

5917

A.3B.C-4D.一

28

l—aex

4.（5分）若/(%)=sin》为偶函数，则

l+ex

A.1B.0C.-1D.2

5.（5分）某同学参加社团面试，已知其第一次通过面试的概率为0.7,第二次面试通过的概率为0.5.若

第一次未通过，仍可进行第二次面试，若两次均未通过，则面试失败，否则视为面试通过，则该同学通

过面试的概率为（）

A.0.85B.0.7C.0.5D.0.4

6.（5分）设必为等差数列｛斯｝的前几项和，&=2,56=12,则S8=（）

A.8B.10C.16D.20

7.（5分）已知某圆锥的底面半径长为2,侧面展开图的面积为等，则该圆锥内部最大球的半径为（）

113

A.-B.-C.1D.—

322

8.（5分）设xi,X2（xi<X2）为函数/（x）=3sinx-1在区间（0,n）的两个零点，则sin（%2-xi）=（）

V24V212

A.—B.-----C.-D.一

3933

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

（多选）9.（6分）已知a,b>0,则使得成立的一个充分条件可以是（）

11

A.—<—B.\a-2|>|Z?-2|

ab

C.a^b-ab2>a-bD.In（tz2+l）>ln（Z?2+l）

第1页（共16页）

（多选）10.（6分）已知正方体/归1。。1-/8。。的棱长为3/在棱//1上，41。=九4/1，Ae[0,1],E

为CCi的中点，则（）

A.当入=0时，/到平面的距离为旧

B.当；1=4时，/E_L平面

C.三棱锥/-PBD的体积不为定值

D.与平面P2D所成角的正弦值的取值范围是[学，孝]

（多选）H.（6分）在平面直角坐标系xOy中，长、短轴所在直线不与坐标轴重合的椭圆称为“斜椭圆”,

将焦点在坐标轴上的椭圆绕着对称中心顺时针旋转45°,即得“斜椭圆"C』+/+中=1,设尸Go,

jo）在C上，贝1J（）

A.“斜椭圆”的焦点所在直线的方程为y=x

V6

B.C的离心率为三

/y2

C.旋转前的椭圆标准方程为5++=1

3

八22V3

D.--<y0<—

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）（x+?）6的展开式中，/的系数为.（用数字作答）

13.（5分）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里的一个非常重要的不动点定理，简单的讲就是对于

满足一定条件的连续函数f（x）,存在一个点犹，使得/（xo）=xo,那么我们称该函数为“不动点”函

数.函数/（x）=2x-sinx+cosx有个不动点.

14.（5分）已知圆C：（x-3）2+（y-3）2=4,点/（3,5）,点2为圆C上的一个动点（异于点/）,若

点P在以N3为直径的圆上，则尸到x轴距离的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

1

15.（13分）已知△/8C的内角/C的对边分别为a,b,c,AABC的面积为5a（cs讥C+bsinB-asinA）.

（1）求/；

（2）若a=2,且△/8C的周长为5,设。为边8c中点，求ND

16.（15分）如图，在三棱柱/2C-4121C1中，平面441。。_1平面/2。,/3=/。=2。=441=2,418=伤.

第2页（共16页）

(1)证明：ACLA\B-.

(2)求二面角A-CBi-B的正弦值.

17.(15分)已知函数/(久)=asm芋Deos%。三%三兀),a>0)乂=*为/⑴的极值点.

(1)求a-Inb的最小值；

(2)若关于％的方程/(%)=1有且仅有两个实数解，求。的取值范围.

18.(17分)已知双曲线C；苴一卷=1(£1>0,b>0)的实轴长为2,设尸为C的右焦点，T为。的左顶

点，过尸的直线交。于N,B两点,当直线斜率不存在时，△Z48的面积为9.

(1)求。的方程；

(2)当直线48斜率存在且不为0时，连接口，窗分别交直线％=号于尸，0两点，设M为线段尸。

的中点，记直线/£W的斜率分别为由，42,证明：上加2为定值.

12

19.(17分)甲、乙两同学进行射击比赛，已知甲射击一次命中的概率为5，乙射击一次命中的概率为

比赛共进行"轮次，且每次射击结果相互独立，现有两种比赛方案，方案一：射击"次，每次命中得2

分，未命中得0分；方案二：从第一次射击开始，若本次命中，则得6分，并继续射击；若本次未命中，

则得0分，并终止射击.

(1)设甲同学在方案一中射击"轮次总得分为随机变量的，求E(&o)；

(2)甲、乙同学分别选取方案一、方案二进行比赛，试确定N的最小值，使得当“2N时，甲的总得

分期望大于乙.

第3页(共16页)

2024年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学三模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.(5分)己知集合/={x|亦=2,aCN},若NUN,则所有。的取值构成的集合为()

A.{1,2}B.{1}C.{0,1,2}D.N

【解答】解：；/={x|ax=2},/UN,

故当/=0时，易求a=0；

9

当/W0时，由久=&CN得，a=l或2.

综上得：aG{0,1,2}

故选：C.

2.(5分)复平面内N,B,。三点所对应的复数分别为1-32-i,3+3若四边形/BCD为平行四边形,

则点。对应的复数为()

A.2B.2+zC.1D.1+z

【解答】解：由题意知/,B,C三点的坐标为/(1,-1),B(2,-1),C(3,1),

—>—>

设复平面内点。(x,歹)，则4B=(1,0),DC=(3-x,1-歹)，

又四边形是复平面内的平行四边形，则旗=立贝唱］：二；，解得{；二；则。⑵1).

故选：B.

3.(5分)设方为抛物线C：»=〃/的焦点，若点尸(1,2)在。上，则|尸尸尸()

5917

A.3B.—C.-D.—

248

【解答】解：依题意，2=aX12,解得。=2,

所以C：久2=，的准线为y=一5所以|叫=2+/=等

故选：D.

1_/7Q%

4.(5分)若/(%)==讥%为偶函数，则4=()

A.1B.0C.-1D.2

1__Zl/jX

【解答】解：由/(U=1+exsinx,

sinx1

得f(x)==/(一久)=1T号sin(-x),

第4页(共16页)

因为/（X）为偶函数，所以/（-X）=/（X），

l—ae~xl—aex

即二-----sin(-%)="——sinx,

l+e~x''l+ex

l-ae-xa-exl—aex

所以一解得

l+e-xT+e^1+e%a=L

故选：A.

5.（5分）某同学参加社团面试，已知其第一次通过面试的概率为0.7,第二次面试通过的概率为0.5.若

第一次未通过，仍可进行第二次面试，若两次均未通过，则面试失败，否则视为面试通过，则该同学通

过面试的概率为（）

A.0.85B.0.7C.0.5D.0.4

【解答】解：依题意，第一次面试不通过的概率为0.3,第二面试不通过的概率为0.5,

因此面试失败的概率为0.3X0.5=0.15,

所以该同学通过面试的概率为1-0.15=0.85.

故选：A.

6.（5分）设&为等差数列｛即｝的前〃项和，$2=2,5,6=12,则S8=（）

A.8B.10C.16D.20

【解答】解：依题意，$2=%+=2,56=X6=12,所以。1+°6=4,

CL（i—CLn21

故。6-02=2,所以数列｛斯｝的公差为，［=仁=.

6—24L

所以S8=毁竺-8=%+：6+1-8=燮X8=20.

故选：D.

7.（5分）已知某圆锥的底面半径长为2,侧面展开图的面积为等，则该圆锥内部最大球的半径为（）

113

A.-B.-C.1D.—

322

【解答】解：根据题意，设母线长为/,依题意x2兀x2=学，解得I=学，

所以圆锥的高为％=］（学）2-22=

作出圆锥轴截面图象,

设圆锥内部最大球即与圆锥相切的球的半径为r,

,一SO1

由于△SO5〜/XSCOi,则

OBSB

第5页（共16页）

8

rr

可得5=F-,解得r=l・

故选：C.

8.（5分）设xi,X2（xi<X2）为函数/（x）=3sinx-1在区间（0,n）的两个零点，则sin（X2-xi）=（）

V24V212

A.—B.-----C.-D.一

3933

【解答】解：因为xi,X2E（0,ii）（xi<%2）,sin（K-x）=sinx,

所以xi+%2=m

贝！Jsin（%2-xi）=sin（n-2xi）=sin2xi=2sinxicosxi,

因为s讥％1=可，

所以COS%1=与工

所以sin（%2—=2xx

故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

（多选）9.（6分）已知〃，*>0,则使得“a>b”成立的一个充分条件可以是（）

11

A.—<—B.\a-2|>|/?-2|

ab

C.a^b-ab2>a-bD.In（tz2+l）>ln（抉+1）

【解答】解：a,b>0,

贝!Jab>0,

11

-<-

ab

则b<a,故A正确；

当〃=1,b=2时，满足|〃-2|>口-2],但不满足故5错误;

a2b-ab2>a-b,

第6页（共16页）

11

则a+w>b+万，

函数>=久+]在（0,+8）上不单调，故C错误；

In（a2+l）>ln（庐+1）,

则滔+1>扶+1,即。2>序，

。>0,b>0,

则q>6,故。正确.

故选：AD.

—

（多选）10.（6分）已知正方体/1用。1。1-/2。。的棱长为3,尸在棱/131上，力止="181，A£[0,1],E

为CO的中点，则（）

A.当入=0时，/到平面尸8。的距离为百

B.当4=*时，/£_L平面P5D

C.三棱锥/-依。的体积不为定值

D.N3与平面所。所成角的正弦值的取值范围是[字，芋]

【解答】解：当人=0时尸与小重合，则/-P3D为正三棱锥，BD=3V2,

设/在平面尸内的投影为。，则O为△尸3。的中心，

则OB=1J（3V2）2—（挈）2=V6,

所以AO=[32—（遍）2=q,即当入=0时，点/到平面形。的距离为国，故N正确；

a

由正方体的性质可得平面/CCl/i，/Eu平面/CCi/i，所以gn_L4£,

设歹为3囱的中点，连接所、AF,则E7LL平面/A814,APu平面48囱/1,所以

当4日时尸为/出的中点，则AABF当ABBiP,

所以NE4B=NPBBi，

又4ABP+乙PBBi=^,所以+=£,

第7页（共16页）

所以N尸_L8尸,

又AFCEF=F,AF,EFu平面/所,

所以平面/£u平面/£/,

所以BP_L/E,

BDCBP=B,BD,BPu平面P3D,

所以4E_L平面尸AD,故2正确;

当尸运动时，P到平面的距离保持不变为3,

_1oo_9

又S/i4BD—]XJXy3—2,

所以匕4-PBD=P-ABD=可义3*2=2,

所以三棱锥4-尸5。的体积为定值，故。错误;

由。可知，三棱锥A-PBD的体积为定值，设点A到平面PBD的距离为d,AB与平面PBD所成角为仇

所以d=3乙一。皿-27,

S^PBD2sAPBD

显然当a=0时，4PBD的面积最大为fx（3板）29V3

2

则4n加=国Z—=二^=V3,

乙、APBD2X芋

此时AB与平面PBD所成角正弦值立加=焉=字,

1f-9V2

当入=1时，△PAD的面积最小为5x(342)x3=—.

27_27_372

则加

2sAPBD2x孥2

第8页（共16页）

此时AB与平面PBD所成角正弦值sin。=9=子=?，

所以N5与平面尸8。所成角正弦值的取值范围是［苧，¥］,故。正确.

故选：ABD.

（多选）11.（6分）在平面直角坐标系xQy中，长、短轴所在直线不与坐标轴重合的椭圆称为“斜椭圆”,

将焦点在坐标轴上的椭圆绕着对称中心顺时针旋转45°,即得“斜椭圆”C炉+中=1,设尸Go,

jo）在C上，贝1］（）

A.“斜椭圆”的焦点所在直线的方程为y=x

V6

B.C的禺心率为三

/y2

C.旋转前的椭圆标准方程为5+考=1

3

八2V3「门

D.--<y0<—

【解答】解：易知斜椭圆关于y=x和歹=-X对称，

、=%

联乂+y2+%y=1，

解得了=I,

联+y2+xy=1）

解得了=1>|,

所以c的两焦点所在直线方程为y=-X,故选项/错误；

由选项A可知，y=x与C相交的两点之间距离等于短轴为2xax=孚，

>=-尤与。相交的两点之间距离等于长轴为2x&xVI=2a,

所以焦距为21（遮尸一呼）2=竽，

4V3广

V6

则C的离心率为B=―,故选项B正确；

2V23

因为旋转不改变椭圆的长短轴大小，

%2V2

所以旋转前的椭圆焦点在X轴上，曲线方程为5+三-=1,故选项C正确；

3

因为，+盯+产-i=o,关于x的方程有解,

第9页（共16页）

所以产-4(y2-1)NO,

解得—竽wyw竽，故选项。正确.

故选：BCD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(5分)(久+§)6的展开式中，/的系数为16Q.(用数字作答)

【解答】解：二项式(％+?)6展开式的通项为rr+i=C"6T(?)r=C"6-2『(2y)r(0WrW6且reN),

所以展开式中丁的项为C泳o(2y>=160y3,

所以丁的系数为160.

故答案为：160.

13.(5分)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里的一个非常重要的不动点定理，简单的讲就是对于

满足一定条件的连续函数/(x),存在一个点xo,使得/(xo)=xo,那么我们称该函数为“不动点”函

数.函数f(x)=2x-sinx+cosx有1个不动点.

【解答】解：令/(x)=2x-sinx+cosx=x,即x-sinjr+cosx=0,

由题意可知即求函数g(x)=x-sinx+cosx的零点个数，

当％之刍时，5(%)=%-V2sin(x>^-V2>0,此时不存在零点；

当xW-ir时，,g(x)=%-V2sin(x-<-7T+V2<0,此时不存在零点；

当工£(—兀，5)时，=1—需s讥(％+与)，

.+兀<

令g'(x)>0,m-V2因为XE(—71/2)，解得：xE(-n,0),

si4

SL包

m.+7T->2

令g'(x)VO,4因为％E(—兀，£),解得：XG(0/5),

所以g(x)在(-m0)上单调递增，在(0,£)上单调递减，g(-11)<0,g(0)=1>0,

故g(X)在(-7T,掾)上有且仅有一个零点，

综上所述，f(x)=2x-sim+cosx仅有一个不动点.

故答案为：1.

14.(5分)已知圆C：(x-3)2+(厂3)2=%点4(3,5),点5为圆。上的一个动点(异于点4),若

11

点尸在以45为直径的圆上，则尸到％轴距离的最大值为

第10页(共16页)

【解答】解：设5(xo，泗)，则ZB=，(%o—3)2+(y。-5产=2J5—y(),

则N3中点M(唠，竽)，

当尸在M上方，且尸轴时，P到x轴距离取得最大值,

此时，设尸到x轴距离为力则4=乒五+竽，

设1=J5-y()€(0,2],贝Uy()=5—则d=t+!。2匚=?一('2^)'

所以当f=l,即/=4时，d取得最大值日，

11

即P到X轴距离的最大值为万.

11

故答案为：—.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

1

15.(13分)已知△45C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,AABC的面积为5a(cs讥C+bsinB—asinA).

(1)求/；

(2)若〃=2,且△45C的周长为5,设。为边5c中点，求4D.

11

【解答】解：(1)依题意，—a(csinC+bsinB—asinA)=—absinC,

所以csinC+bsinB-asirU=6sinC,

由正弦定理可得，2+B-W=bc,

1

由余弦定理，c2+b2-a2=2bccosA,解得cosA=彳

因为Ne(0,n),所以A=*

(2)依题意，b+c=5-a=3,

因为d+炉-bc=(b+c)2-3bc=a2,解得be='l，

因为=4B+AC)，

第11页(共16页)

所以启斗易+的=%也=如*=与1=和

16.(15分)如图，在三棱柱/8C-48C1中，平面441cleLL平面/8C,/3=/C=8C=44i=2,AiB=V6.

(1)证明：AC±AiB；

(2)求二面角A-CB\-B的正弦值.

【解答】解：(1)证明：取NC的中点。，则30L/C,且8。=百,

C

因为平面441cle平面4BC,且平面441cleD平面4BC=/C,3Ou平面48C,

所以80_L平面44C1C,

因为NiOu平面441clC,

所以8O_LN1O,

所以43=逐，BO=V3,所以&。=百，

因为NO=1,44i=2,所以NO_L/i。，

又因为/O_LB。，A\O^BO=O,AiO,3。＜=平面出。3,

所以NC_L平面408,

又NiBu平面小。瓦

所以NCA&

(2)如图所示，以。为原点，OA,0B,0/1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。

_xyz,

第12页(共T6页)

可得4(1,0,0),C(一1,0,0),B(0,V3,0),B1(—1,V3,V3),

-»->—»

因为4c=(一2,0,0),CB1=(0,V3,遮),CB=(1,遮,0),

设平面/C8i的法向量为元=(x,y,z),

E1g，即「子=必得[-2x=0,

则

nr1CBX(江-CBi=0,lV3y+V3z=0,

令>=1,贝IjZ=-1,

所以%=(0/1/-1),

设平面囱5。的法向量为汇=(租，n,p),

/—»(_»->_

则方”,即了加0,得+丹=0,

(n21CB](n2•CBi=0,VV3n+,3p=0,

令m=W,则〃=-l,2=1，

所以九2=(百，一1，1)，

记二面角A-CB\-B的平面角为a,

因为|cosa|=I)?I=屋q=

显然sina>0,所以sina=V1—cos2a=Jl—

rrr

所以二面角A-CB\-B的正弦值为一^一.

17.(15分)已知函数/(%)=asmx£bcosx(0三%三兀),a>0,乂=物/5)的极值点.

(1)求a-Inb的最小值;

(2)若关于％的方程/(x)=1有且仅有两个实数解，求。的取值范围.

acosx+bsinx—asinx+bcosx

【解答】解：(1)，

依题意，/(?)=空=0.所以。-6=0,

,e2

所以a-lnb=a-Ina,

第13页(共16页)

1,y_1

设g(x)=x-Inx,则g(%)=1——=

当xW(0,1)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

当(1,+8)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，

当x=l时，g(x)取得最小值g(1)=1,

所以。-历6的最小值为1；

(2)由(1)可知，以x)=如叱尸),

a,sinx—cosx1

令/(x)=1,则--------=一，

exa

•>ni/、sijxxcosxrrt.i7〃、2cosx

设九(%)=—3—，则九G)=~^，

当％6(0,5)时，h'(x)>0,h(x)单调递增，

当无€(5,兀)时，h'(x)<0,h(x)单调递减，

且/i(0)=—1,%(5)=e-2//i(7i)=e-7r,

71

所以ae(e2,e71].

18.(17分)已知双曲线C；b>0)的实轴长为2,设尸为C的右焦点，T为。的左顶

点，过尸的直线交。于N,B两点,当直线斜率不存在时，△Z48的面积为9.

(1)求。的方程；

(2)当直线48斜率存在且不为0时，连接口，窗分别交直线x=称于尸，0两点，设M为线段尸。

的中点，记直线/£W的斜率分别为由，42,证明：上加2为定值.

【解答】解：(1)依题意，2。=2,解得。=1,

设。的焦距为2c,则。2-2+户，

v242

将x=c代入方程靛一京■=1,可得|y|=0，

12b2

所以的面积为:(c+a)x—=9,

解得b=V3,

所以C的方程为久2-。=1；

(2)证明：由方程得7(-1,0),F(2,0),

设直线48：x=my+2,A(xi,yi),B(X2,y2)>

第14页(共16页)

x=my+2，

可得2叼

与C的方程联立2(3m-1)/+12+9=0,

X-4L

_12g

所以yi+y2=3m2_］，为力=用滔二pA=(12w)2-36(3m2-1)>0,

设直线T4y=韶(x+1),令x=4,解得y=2(；；；iy所以P®，2(；%))，

同理可得,Q*^U),

/以”二13yl3y2、-32znyiy2+3(yi+y2)

2(2(%i+l)2(久2+D)4TH2yly2+33yl+