苏科版八年级数学上册教材同步练习：勾股定理章末重难点题型（原卷版+解析）

专题复习勾股定理章末重难点题型

旨【题型目录】

考点一勾股定理的证明方法

考点二勾股树问题

考点三用勾股定理构造图形解决问题

考点四勾股定理的折叠问题

考点五勾股定理的逆定理

考点六最短路径问题

考点七勾股定理的其他应用

【考点一勾股定理的证明方法】

【例题1］我们在学习勾股定理的第二课时时,以下图形可以用来验证勾股定理的有（）个.

B.

【变式1T】我国是最早了解勾股定理的国家之一.据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商

高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出

了另外一个证明.古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用.下面四幅图

中，不能证明勾股定理的是（）

A.B.

b

【变式「2】如图，把长、宽、对角线的长分别是八6、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等

腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是

【变式『3】我国古代用勾、股和弦分别表示直角三角形的两条直角边和斜边.如图，由四个全等的直角

三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，数学家邹元治利用该图证明了勾股定理，当大正方形面积为9,

小正方形面积为5,则直角三角形中股和勾的差值为.

【变式『4】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书

《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅

“弦图"（如图1）,后人称之为“赵爽弦图"，流传至今.

（1）①请叙述勾股定理.

②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定

理.（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）

b

与a0可

图1图2图3

(2)①如图4,5,6,以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图

形中面积关系满足Si+S2=S3的有__________个.

②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案(图中阴影部分)的面积分

别为跖，邑，直角三角形面积为邑，请写出豆，邑，S3的数量关系:

(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这

一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”.在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边

长为定值加，四个小正方形A,B,C,。的边长分别为“，b,c,d,则/+从+°2+/=

图8

【考点二勾股树问题】

【例题2］如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若

正方形A,B,C,。的边长分别为4,6,3,4,则最大正方形E的面积是（）

C.77D.86

【变式2-1】在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中.

a68101214

b815243548

c1017263750

则当a=24时，b+c的值为（）A.162B.200C.242D.288

【变式2-2］如图是一株美丽的勾股数，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形,

若正方形A、B、C、Z）的边长分别是3、5、2、3,则最大正方形E的边长是.

【变式2-3】我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”.

观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没

有间断过.

（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：；

（2）若第一个数用字母〃（〃为奇数，且此3）表示，那么后两个数用含〃的代数式分别表示为.

【变式2-4】我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”.

（1）观察：3,4,5；5,12,13；7,24,25；发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过.事

实上，勾是三时，股和弦的算式分别是3（9-1），1（9+1）；勾是五时，股和弦的算式分别是3（25-1）,

1（25+1）.根据你发现的规律，分别写出勾是七时，股和弦的算式；

（2）根据（1）的规律，请用含〃（”为奇数，且佗3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜

想它们之间的相等关系（请写出两种），并对其中一种猜想加以证明；

（3）继续观察4,3,5；6,8,10；8,15,17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间

断过.运用类似上述探索的方法，直接用相（根为偶数，且相＞4）的代数式来表示股和弦.

【考点三用勾股定理构造图形解决问题】

【例题3】如图，有一个水池，水面是边长为10尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.若

把这根芦苇拉向水池一边，顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（）尺.

A.6B.5C.13D.12

【变式3-1］如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度A3为2.5米，一名学生站

在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离为1.2米，头顶离感应器的距离AZ）为1.5

米，则这名学生身高CQ为（）米.

A.0.9B.1.3C.1.5D.1.6

【变式3-2］如图有两棵树，一棵高10m,另一棵高4m,两树相距8m,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另

一棵树的树梢，问小鸟至少飞行m.

【变式3-3】如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿竖直插到水底，此

时竹竿A8离岸边点C处的距离CD=0.8米.竹竿高处水面的部分长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉向

岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度2。为.

【变式3-4】如图，牧童在河边A处放牛，家在河边8处，时近傍晚，牧童驱赶牛群先到河边饮水，然后

在天黑前赶回家，已知点A到河边C的距离为500m,点8到河边〃的距离为700m,且C0=500m.

A

B

(1)请在图中画出牧童回家的最短路线;

(2)求出牧童回家最短路线的长度.

【考点四勾股定理的折叠问题】

【例题4】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6,BC=8.现将直角边AC沿直线AD折叠，使

它落在斜边A8上，且与4E重合，则CD的长为（）

【变式4-1］如图，在RQABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,按图中所示方法将△3CD沿2。折叠，使

点C落在边AB上的点C处，那么线段AD的长为（）

A.6B.5C.4D.3

【变式4-2］如图，在R3ABC中，NC=90。，BC=6cm,AC=8cm,如果按图中所示方法将△BCD沿2。

折叠，使点C落在边AB上的点C处，那么。C=cm.

【变式4-3］如图，在RAABC中，/C=90?,AC=12,3c=10,。是2C的中点，E是AC上一动点,

将沿DE折叠到AC'DE,连接AC',当AAEC'是直角三角形时，CE的长为.

【变式4-4］如图，在长方形ABCD中，AB=S,AD=10,点E为8C上一点，将AABE沿AE折叠，使

点B落在长方形内点尸处，连接。尸，且1小=6.

AD

（1）求证：AF±DF.

（2）求BE的长.

【考点五勾股定理的逆定理】

【例题5】下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（）

A.三内角之比为3:4:5B.在AABC中，a2-b2=c2

C.三边长的平方之比为1:2:3D.三边长分别为a,b,c,且。="?—I,6=2〃,c=1+i（〃>1）.

【变式5-1】甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min,甲客轮15min到达A,乙客轮用

20min到达2点，若A、2两点的直线距离为1000m,甲客轮沿北偏东30。的方向航行，则乙客轮的航行方

向是（）

A.南偏西30。B.南偏东60。C.北偏西30。或南偏东30。D.南偏东60。或北偏西60。

【变式5-2】如图，在四边形ABC。中，A5=AD=6,ZA=60°,BC=10,CD=8.则ZADC的度数为

【变式5-3］如图，在R3A8C中，ZACB=90°,AD平分/C4B交边8C于点。E,E,尸分别是A。，AC

上的点，连接CE,EF.若AB=10,BC=6,AC=8,则CE+E尸的最小值是

【变式5-4】如图所示，已知A。，AE分别是AABC的高和中线，AB=6cm,AC=8cm,BC=10cm；试求:

(1)A。的长；

(2)△ABE的面积；

(3)AACE和^ABE的周长的差.

【考点六最短路径问题】

【例题6】如图，长方体的高为3cm,底面是正方形，边长为2cm,现有一苍蝇从A点出发，沿长方体的

表面到达C点处，则苍蝇所经过的最短距离为(

A.5cmB.4cmC.8cmD.16cm

【变式6-1】一只蚂蚁从长为2cm,宽为1cm,高是4cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到8点，那么它所

行的最短路线的长是()

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【变式6-2］如图，长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长

方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是.

【变式6-3］如图所示，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米.在圆柱的底面A点处有

一只小蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的C点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是.（乃取

3）

【变式6-4］如图，长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80cm,高AS=60cm,水深为AE=40cm,在

水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线斯上，且EG=60cm；一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸

内G处吃鱼饵，求小动物爬行的最短距离.（鱼缸厚度忽略不计）

【考点七勾股定理的其他应用】

【例题7】如图是一个长为12cm,宽为5cm,高为8cm的长方体，一只蜘蛛从一条侧棱的中点A沿着长方

体表面爬行到顶点B去捕捉蚂蚁，此时蜘蛛爬行的最短距离是（）

A.13cmB.15cmC.21cmD.25cm

【变式7-1】放学后，贝贝和京京从学校分手，分别沿西南方向和东南方向回家，已知两人行走的速度都

是40m/min.贝贝用15min到家，京京用20min到家，那么贝贝家与京京家的距离是（）

A.600mB.800mC.1000mD.无法计算

【变式7-2】如图，将长为10m的梯子48斜靠在墙上，使其顶端A距离地面6m.若将梯子顶端A向上滑

动2m,则梯子底端B向左滑动m.

【变式7-3］如图，有两条公路OM,ON相交成30。，沿公路方向离两条公路的交叉处。点80米的A

处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的

拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影

响的时间是秒.

【变式7-4】“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图,

一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了6秒

后，测得小汽车与车速检测仪距离130米.

小汽车C--------------------------3小汽车

月检测

（1）求小汽车6秒走的路程；

（2）求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速?

4【亮点训练】

2

1.下面几组数：①7,8,9；②12,9,15；③苏+1，疗一岛2mn（根，〃均为正整数，机〉"）；@a,

/+1,1+2.其中能组成直角三角形三边长的是（）

A.①②B.②③C.①②③D.③④

2.三个正方形的面积如图，正方形A的边长为（）

3.直角三角形有一条直角边的长是n,另外两边的长都是自然数，那么它的周长是（）

A.132B.121C.120D.以上答案都不对

4.如图，在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树.在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折

断倒下，量得倒下部分的长是10米.出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到.大树倒下时能

砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答（）

A.一定不会B.可能会C.一定会D.以上答案都不对

5.如图，在RtAABC中，^BAC=9QAB=S,AC=6,/ABC的平分线交AC于点。，点E,尸分别是3D、AB

上的动点，则AE+EP的最小值为（）

A.4B.4.8C.5D.6

6.如图是“赵爽弦图”，由4个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,

设直角三角形较长直角边为6,较短直角边为。，则a+6的值是（）

A.7B.6C.5D.4

7.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美"四边形ABCD,对角线AC,BD交于

点。，若AB=6,CD=10,贝+.

8.如图，七个正方形如此排列，相邻两个正方形都有公共顶点，数字字母代表各自正方形面积.则

5；+52+53+54=

9.如图，放△ABC中，ZBAC=90°,AC=8,AB=6,DELAC,CD=^BC,DE=2,P是直线AC上一点,

把△CZ）P沿。P所在的直线翻折后，点C落在直线。E上的点X处，CP的长是.

10.动手操作：如图，在RtaABC中，ZACB=90°,AC=8,3c=4,点。为边AC上一动点，DE±AB

交AB于点E,将NA沿直线。E折叠，点A的对应点为「当△/)「(？是直角三角形时，AD的长为.

11.如图，在RtlBC中，/C=90?,AC=8,在ZsABE中，OE是A3边上的高，DE=12,^AB£=60.

⑴求2c的长.

(2)求斜边A3边上的高.

12.如图，已知在RdABC中，ZACB=90°,AC=5,8C=12,点P从B点出发沿射线8C方向以每秒2

个单位的速度向左运动.设点尸的运动时间为f.连接AP.

⑴当1=4.5秒时,求A尸2；

(2)当AA3P为等腰三角形时，求f的值.

13.如图，已知及43。中，NB=90。，AB=8cm,8C=6cm,P、。是AABC边上的两个动点，其中点尸从

点A开始沿A-8方向运动，且速度为每秒1cm,点。从点8开始沿B-C方向运动，且速度为每秒2cm,

它们同时出发，设出发的时间为/秒.

(1)当f=2秒时，求的长;

(2)求出发时间为几秒时，APQB是等腰三角形？

(3)若。沿方向运动，则当点。在边CA上运动时，求能使ABCQ成为等腰三角形的运动时间.

14.如图，已知△ABC与AEFC都是等腰直角三角形，其中NAC8=N£C户=90。，£为边上一点.

(1)试判断AE与8尸的大小关系，并说明理由;

(2)求证：AE2+BE2=EF2

15.如图，在AABC中，BC=3,AC=4,48=5,动点尸从点B出发沿射线BC以每秒1个单位的速度移

动，设运动的时间为人

(1)求AABC为直角三角形；

(2)若AA8尸为直角三角形，求出f的值(写出证明过程)；

(3)若AABP为等腰三角形，直接写出f的值(不必写出证明过程).

《讲亮点》2022-2023学年八年级数学上册教材同步配套讲练《苏科版》

专题复习勾股定理章末重难点题型

旨【题型目录】

考点一勾股定理的证明方法

考点二勾股树问题

考点三用勾股定理构造图形解决问题

考点四勾股定理的折叠问题

考点五勾股定理的逆定理

考点六最短路径问题

考点七勾股定理的其他应用

【考点一勾股定理的证明方法】

【例题1］我们在学习勾股定理的第二课时时,以下图形可以用来验证勾股定理的有()

个.

b

图2

B.2

【答案】C

【分析】用两种不同的方法表示出梯形的面积，可以判断图1和图3可以验证勾股定理；根

据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形

的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理可以判断图2可以验证勾股定理.

【详解】解:图1和图3：梯形匕,S梯形=；加1+卜

—x(a+b)(a+b)=—ab+—ab+—c1,

2222

•,4+2ab+/=ab+cib+c2,

Aa2+b2=c2,故图1和图3都可以验证勾股定理；

图2：图形的总面积可以表示为：丰2?上浦c2ab,

2

也可以表示为：4丰匕2+2?41aob2就，

2

・•/+ab=a2++ab,

Aa2+b2=c\故图2可以验证勾股定理；

图4不可以验证勾股定理.

综上，图1、图2和图3可以验证勾股定理，共3个.

故选：C.

【点睛】本题考查了勾股定理的证明，观察图形，利用两种方法表示出图形的面积是解题的

关键.

【变式1T】我国是最早了解勾股定理的国家之一.据《周髀算经》记载，勾股定理的证

明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾

股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明.古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都

很重视对勾股定理的研究和应用.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）

【答案】B

【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另

外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判新能否证明勾股定理.

【详解】解：A、大正方形的面积等于c2,也等于4个直角三角形的面积加小正方形的面积,

:.—abx4+（Z?—a）2=c~,B|]a2+b2=c2>

2

能证明勾股定理，故本选项不符合题意；

B、大正方形的面积等于（4+6）2,也等于〃+。2+2而，

+=a1+b2+2ab,

不能证明勾股定理，故本选项符合题意；

C、大正方形的面积等于（4+6）2,也等于4个直角三角形的面积加小正方形的面积，

+=c2+4ab,即1+匕、。？，

能证明勾股定理，故本选项不符合题意;

D、梯形的面积等于g(a+b)(a+6),也等于2个直角三角形和一个等腰直角三角形的面积

和，

111,

—•(a+b)(a+b)=—ab'x.2+—c1,即a2+b2=c2

222

能证明勾股定理，故本选项不符合题意；

故选：B

【点睛】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键.

【变式1-2】如图，把长、宽、对角线的长分别是a、氏c的矩形沿对角线剪开，与一个直

角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是

【答案】a2+b2=c2

【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而列出等式，发现边与

边之间的关系.

【详解】解：此图可以这样理解，有三个放△其面积分别为\ab,gab和jc2.

(a+6)(a+b).

整理得(〃+。)2=2〃。+/,a2+b2+2ab=lab+c2,

a2+b2=c2.

故答案为：a2+b2^c2.

【点睛】此题考查的知识点是勾股定理的证明，主要利用了三角形的面积公式：底x高一2,

和梯形的面积公式：(上底+下底)x高+2.

【变式1-3］我国古代用勾、股和弦分别表示直角三角形的两条直角边和斜边.如图，由

四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，数学家邹元治利用该图证明了勾

股定理，当大正方形面积为9,小正方形面积为5,则直角三角形中股和勾的差值为

【答案】1

【分析】设勾为x,股为y,根据面积求出孙=2,根据勾股定理求出炉+产=5,根据完全平

方公式求出y-x即可.

【详解】设勾为x,股为y（尤＜y）,

:大正方形面积为9,小正方形面积为5,

.,.4*3孙+5=9,

•»xy=2,

"+户5,

•'•y-x=yj（y-x）2=y/x2+y2-2xy=15-2x2=b

•»y~x~~1,

故答案为1.

【点睛】本题考查了勾股定理和完全平方公式，能根据已知和勾股定理得出算式孙=2和

f+丁=5是解此题的关键.

【变式1-4］勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定

理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽

为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1）,后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.

（1）①请叙述勾股定理.

②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一

种来证明该定理.（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）

b

图I图2图3

⑵①如图4,5,6,以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三

角形，这三个图形中面积关系满足H+$2=$3的有个.

②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部

分）的面积分别为跖，S?,直角三角形面积为S3,请写出St,S2,S3的数量关系:.

（3汝口果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作

正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”.在如图9所示的“勾股树”的某部

分图形中，设大正方形〃的边长为定值优，四个小正方形A,B,C,O的边长分别为。，

b,c,d,贝!I/+人2+。2+屋=

图8

【答案】（1）①见解析，②见解析

（2）①3,②5]+星=53

【分析】（1）①根据所学的知识，写出勾股定理的内容即可；

②根据题意，利用面积相等的方法，即可证明勾股定理成立；

（2）①根据题意，设直角三角形的三边分别为a、6、c,利用面积相等的方法，分别求出

面积的关系，即可得到答案；

②利用三角形的面积加上两个小半圆的面积，然后减去大半圆的面积，即可得到答案；

(3)由(1)(2)中的结论，结合勾股定理的应用可知，«2+&2+c2+6/2=m2.

(1)

解：①如果直角三角形的两条直角边分别为。，b,斜边为c,那么/+62=°2.(或在直角

三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方)

②(以下过程，选择其一解答即可，不必三个皆证.)

若选择图1,证明过程如下：

证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的

和，

即c2=^abx4+(b-a)2,

化简，得/+〃=。2.

若选择图2,证明过程如下：

在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，

即(a+6)2_c2+g"6x4,

化简，得Y+62=C2.

若选择图3,证明过程如下：

证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，

BP—(a+Z7)(a+Z7)=—(z&x2+—c2,

222

化简,^a2+b2=c2.

(2)

①根据题意，则如下图所示：

在图4中，直角三角形的边长分别为服b、c,则

由勾股定理，得4+62=02,

,S1+Sz=S3；

在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c,则

S=-7rx.(—)2=—7ra2,S--7rx.(-)2--7rb2,S=—7rx(-)2=-^c2,

l22822283228

S]+S。=—万,

8

,•*a2+b2=c2,

:.—7r(a2+b1)=-7TC1,

88

・・・Si+82=83；

在图6中，等边三角形的边长分别为。、b、c,则

Si%?,,邑=孝02,(等边三角形面积公式：S等一与落。为边长)

22222

VSt+S2=--(a+b),a+b=c,

.•.乌片+人旦2,

44

，Si+Sz=S3；

，满足^+邑=冬的有3个,

故答案为：3；

②结论E+邑=邑；

2

+邑-3c

a2+b2=c2>

.他+52=邑；

故答案为：Sl+S2=S3.

(3)

如图9,正方形A、B、C、D、E、F、A/中,对应的边长分别为4、b、c、d、e、于、m,则

有

由⑴(2)中的结论可知，面积的关系为:$c+$/>==S”，

222222222

•**a+b=e9c+d=f9e+f=m,

a2+b2+c2+d2=m2

故答案为：m2

图9

【点睛】本题考查了求扇形的面积，解直角三角形，勾股定理的证明，以及正方形的性质，

解题的关键是掌握勾股定理的应用，注意归纳推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论

证能力、归纳总结能力，是中档题.

【考点二勾股树问题】

【例题2］如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直

角三角形.若正方形A,B,C,。的边长分别为4,6,3,4,则最大正方形E的面积是（）

A.17B.34C.77D.86

【答案】C

【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形4B,C,。的面积和

即为最大正方形的面积.

【详解】解：如下图：

根据勾股定理的几何意义，可得A、8的面积和为C、。的面积和为S2,

22

S;=4+6,62=32+42,

于是S3=SI+S2>

即可得53=16+36+9+16=77.

故选：C.

【点睛】本题考查了勾股定理的知识，根据勾股定理的几何意义表示出S3是解答本题的关

键.

【变式2-1】在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在

如下的表格中.

a68101214

b815243548

c1017263750

则当。=24时，b+c的值为()A.162B.200C.242D.288

【答案】D

【分析】先根据表中的数据得出规律，根据规律求出力、。的值，再求出答案即可.

【详解】解：从表中可知：。依次为6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,…，

即24=2x(10+2),

6依次为8,15,24,35,48,…，即当。=24时，b=122-l=143,

c依次为10,17,26,37,50,…，即当a=24时，c=122+l=145,

所以当a=24时，b+c=143+145=288.

故选：D.

【点睛】本题考查了勾股数，能根据表中数据得出6=5+2)2-1,c=5+2)2+1是解此题

的关键.

【变式2-2】如图是一株美丽的勾股数，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都

是直角三角形，若正方形A、B、C、。的边长分别是3、5、2、3,则最大正方形E的边长

是.

【答案】历

【分析】设正方形A,B,C,。的边长依次为a,b,c,d,邻近A的正方形边长为e,邻近

。的正方形边长为人最大正方形的边长为g,根据正方形的面积公式和勾股定理依次计算

即可.

【详解】如图，设正方形A,B,C,。的边长依次为a,b,c,d,邻近A的正方形边长为

e,邻近。的正方形边长为人最大正方形的边长为g,且a=3,b=5,c=2,d-3,所有的三

角形都是直角三角形.

所以>+方=/1十屋=f2,ei+f2=g2,

所以g2=+<?+屋

=52+32+22+32

=47,

所以边长为历，

故答案为：历.

【点睛】本题考查了正方形的面积和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

【变式2-3】我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”.

观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；发现这些勾股数的勾都是奇数，

且从3起就没有间断过.

(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：；

(2)若第一个数用字母"(”为奇数，且佗3)表示，那么后两个数用含”的代数式分别表

示为-

【答案】H,60,61匚1和或也

22

【分析】(1)分析所给四组的勾股数：3、4,5；5、12、13；7、24、25；9、40、41,可得

下一组勾股数：11、60、61；

(2)根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之

【详解】解：(1)V112+602=3721=612,

...下一组勾股数为：11、60、61；

故答案为：11,60,61.

22

(2)后两个数表示为n一_和1生n上+1

22

..2(M2-1Y2M4-2M2+1W4+2M2+1

.n+---=n+-------=-------

I2J44

(M2+1Yn4+2/+1

又且〃为奇数，

由“，士1,日里三个数组成的数是勾股数.

22

故答案为：J■和

22

【点睛】此题考查了勾股数之间的关系，解题的关键是根据题目中所给的勾股数及关系式进

行猜想、证明即可.

【变式2-4】我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”.

(1)观察：3,4,5；5,12,13；7,24,25；发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起

就没有间断过.事实上，勾是三时，股和弦的算式分别是g(9-1),y(9+1)；勾是五时,

股和弦的算式分别是3(25-1),|(25+1).根据你发现的规律，分别写出勾是七时，股

和弦的算式；

(2)根据(1)的规律，请用含〃(“为奇数，且这3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、

股、弦，合情猜想它们之间的相等关系(请写出两种)，并对其中一种猜想加以证明；

⑶继续观察4,3,5；6,8,10；8,15,17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且

从4起也没有间断过.运用类似上述探索的方法，直接用机(机为偶数，且机＞4)的代数

式来表示股和弦.

【答案】(1)|(49-1),|(49+1)

(2)(i)弦-股=1,(ii)勾2+股2=弦2,证明过程详见解析

【分析】(i)根据推论即可发现：股和弦分别是勾的平方减1的一半和勾的平方加1的一半;

(2)把(1)中发现的关系运用字母表示即可，然后发现勾、股、弦之间的关系，并验证;

(3)发现：股和弦总是相差为2.主要是考虑勾和股之间的关系即是勾的一半的平方再减1.

(1)

解：由题意得勾是七时，股和弦的算式分别是：1(49-1),|(49+1)；

(2)

当这3,且“为奇数时，勾、股、弦分别为："，!(«2-l),|(n2+l),

它们之间的关系为：(i)弦-股=1,(ii)勾,十股,二弦？.

如证明(i)：弦-股==1(“2+1)-工(〃2-1)=]_"2+!一！〃2+1=1；

222222

如证明(ii)：

勾2+股2=/+!(〃2_1)2=〃2+]_/_]_/+L=]_〃4+1_〃2+工=!(“2+1)2二弦2

4V74244244、)

(3)

当加＞4,且根为偶数时，勾、股、弦分别为：m,

【点睛】本题考查了勾股定理及规律的探索，解决本题的关键是能够根据具体数字发现规律,

用字母表示推广到一般.

【考点三用勾股定理构造图形解决问题】

【例题3】如图，有一个水池，水面是边长为10尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，它

高出水面1尺.若把这根芦苇拉向水池一边，顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为

()尺.

A.6B.5C.13D.12

【答案】C

【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答.

【详解】解：设水深为x尺，则芦苇长为(x+1)尺，芦苇与水池边的原距离为水池边的一半,

即为号尺，如图，

根据勾股定理得：%2+(y)2=(x+l)2,

解得：x=12,

芦苇的长度为：x+l=12+l=13(尺)，

故选：C.

【点睛】本题考查了勾股定理的应用.善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.

【变式3-1］如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度为2.5

米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离为1.2米,

头顶离感应器的距离为1.5米，则这名学生身高。为()米.

A.0.9B.1.3C.1.5D.1.6

【答案】D

【分析】过点。作钻于E,得到CD=3E,。£=3。=1.2米，由勾股定理得出AE,

进而得到班=他-钻=1.6米，即可得出答案.

【详解】解：过点。作于E,如图所示：

则CD=3E,r>E=3C=1.2米，

在及AWE中，

AD=1.5米，

由勾股定理得

AE=-JAD2-DE2=^(1.5)2-(1.2)2=0.9(米)，

/.BE=AB-AE=2.5-0.9^1.6（米）,

CD=3E=L6米.

故选：D.

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

【变式3-2］如图有两棵树，一棵高10m,另一棵高4m,两树相距8m,一只小鸟从一棵

树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行.m.

【分析】由题意可构建直角三角形求出AC的长，过C点作CELA8于点E,则四边形E8OC

是矩形.BE=CD,AE长度可求，CE=BD,在放A&EC中,可根据勾股定理求出AC长.

A

【详解】B

如图，设大树高为AB=10m,小树高为CD=4m,

过C点作CELAB于点E,则四边形EBDC是矩形.

EB=CD=4m,£C=8m.

AE=AB-EB=lQ-4=6m.连接AC,

在及AAEC中，根据勾股定理得：

AC=\IAE2+EC2=10m,

故答案为10

【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据实际问题，建立适当数学模型,

运用数学知识求解.

【变式3-3】如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿AB竖

直插到水底，此时竹竿离岸边点C处的距离CD=Q8米.竹竿高处水面的部分40长0.2

米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度

【答案】1.5米

【分析】设人工湖的深度2。设为x米，则竹竿BC的长(x+0.2)米，可以放到一个直角三角

形中计算.此直角三角形的一条直角边CD是0.8米，另一条直角边是人工湖2。为x米,

斜边8C是竹竿的长(了+02)米.根据勾股定理得尤Z+(0.8)2=(X+0.2)2,即可解答.

【详解】解：设人工湖的深度8。设为尤米，则竹竿的长(x+0.2)米，由题意得,

尤2+(0.8)2=(x+0.2)2,

解之得：x=1.5

故答案为：1.5米.

【点睛】本题考查了勾股定理的应用.

【变式3-4】如图，牧童在河边A处放牛，家在河边B处，时近傍晚，牧童驱赶牛群先到

河边饮水，然后在天黑前赶回家，已知点A到河边C的距离为500m,点8到河边。的距离

为700m,且CD=500m.

力」」c

/

B

(1)请在图中画出牧童回家的最短路线;

(2)求出牧童回家最短路线的长度.

【答案】(1)见解析

(2)牧童回家最短路线的长度为1300m

【分析】(1)作A关于直线C。的对称点4,连接交C。于尸点，即为所求作的点;

(2)最短路程即是的距离，过A作AfUB。的延长线于R根据勾股定理求得即

可.

(1)

作A关于直线CD的对称点4,连接A2交CZ）于尸点，即为所求作的点.

（2）

由作图可得最短路程为AB的距离，过A作AF±BD的延长线于F,

则DF=A'C=AC500m,

A'F=CD=500/TI,

BF=700+500=1200m,

根据勾股定理可得，

A'B=712002+5002=1300（m）.

【点睛】此题考查了线路最短的问题，确定动点为何位置是关键综合运用勾股定理的知识.

【考点四勾股定理的折叠问题】

【例题4】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6,BC=8.现将直角边AC沿直

线折叠，使它落在斜边A2上，且与AE重合，则的长为（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】根据折叠的性质可得AC=AE=6,CD=DE,NACD=/AED=NDEB=90。,利

用勾股定理列式求出AB,从而求出BE,设CD=OE=x,表示出8。然后在RfADEB中,

利用勾股定理列式计算即可得解.

【详解】解：•••△AC。与AAE。关于AO成轴对称，

：.AC=AE=6,CD=DE,ZACD=ZAED=ZDEB=9Q°,

在及AABC中，AB2=AC2+BC2=62+82=102,

：.AB=1O,

BE=AB-AE=1O-6=4,

设CD=DE=x,则DB=BC-C£>=8-x,

在RdDEB中,由勾股定理，得*+4?=(8-xy,

解得x=3,

即CD=3,

故选：B.

【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出MAD班的三边,

然后利用勾股定理列出方程是解题的关键.

【变式4-1］如图，在比AABC中，NC=90。，AC=8,BC=6,按图中所示方法将△BCD

沿8。折叠，使点C落在边AB上的点C处，那么线段的长为()

A.6B.5C.4D.3

【答案】B

【分析】首先根据勾股定理求出AB的长，然后利用折叠的性质求出AC的长，在△ACO中,

设。C=x,则AO=8-无，根据勾股定理求出x的值即可.

【详解】解：：/C=90。，AC=8,BC=6,

：.AB=\O.

根据折叠的性质，BC=BC,CD=DC,ZC^ZAC'D=90°.

.-.AC=10-6=4.

在AACD中，设。。=尤，贝UAD=8-X,根据勾股定理得

(8-x)2=%2+42.

解得x=3.

：.AD=8-x=5.

故选B.

【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称,

根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应边、角相等.

【变式4-2］如图，在R3ABC中，ZC=90°,BC=6cm,AC=8cm,如果按图中所示方法

将4BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C处，那么DC=cm.

【分析】根据折叠是性质可知CD=C'D,BC=BC,NC=/BC'D=90°,设。C=x,在4AC'D

中，将三条边都表示出来，