广东省深圳某中学2025届高三第一次月考数学试题（含答案解析）

广东省深圳外国语学校（集团）龙华高中部2025届高三第一次

月考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设集合&={昨'-3%<0},5={-1,0,1,2},则集合AH3=()

A.{-1,2}B.{-1,1,2}C.{1,2}D.{1}

已知==

2.-i,则三=（）

1+1

A.1+iB.1-iC.3-iD.3+i

3.已知向量Z=(x,l),S=(2,-l),若(£+1)，(£一2杨,则实数x=()

B.-1

A.2C.-2或4D.4

2

3

4.已知sin26二——,贝ijtane+---=()

4tan。

号D.-g

A.-B.--C.

3233

5.已知圆锥的底面半径为2,高为4,有一个半径为1的圆柱内接于此圆锥，则该圆柱的侧

面积是（）

A.»B.2〃C.3万D.4%

2x,x＜0

6.已知函数/（》）=1，则下列说法正确的是（）

x^,x＞0

A./⑺是R上的增函数

B./（x）的值域为［。,+8）

C.“无＞；”是的充要条件

D.若关于x的方程/（x）=a恰有一个实根，则。＞1

7.己知函数/（2心+夕）,＜幻满足/百=„,若小）在区间生上恰有3

个零点，则实数f的取值范围为（）

8.已知函数y=f（龙）具有以下的性质：对于任意实数。和"都有

f（a+b）+f（a-b）=2f（a）-f（b）,则以下选项中，不可能是了⑴值的是（）

A.-2B.-1C.0D.1

二、多选题

9.若随机变量X~Mo,b2）,y（x）=P（X<x）,则（）

A./（-x）=l-/（x）B./（2A-）=2/（X）

C.2（园<无）=2/（尤）一1（尤>0）D.若宁］>〃2）,则<<x<l

10.已知三次函数/（力=丁+加+53<0）有极小值点尤=2,则下列说法中正确的有（）

A.b=—3

B.函数/'（x）有三个零点

C.函数”X）的对称中心为（1,3）

D.过（-U）可以作两条直线与y=〃龙）的图象相切

11.数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线C：/+y2=l+|尤就是其中之一（如

图）.给出下列四个结论，其中正确结论是（）

A.图形关于y轴对称

B.曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）

C.曲线C上存在到原点的距离超过近的点

D.曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3

试卷第2页，共4页

三、填空题

22

12.已知昂耳为椭圆C:与+==l(a>6>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且AP可居的

ab'

周长为6,面积的最大值为四，则椭圆C的离心率为.

13.已知函数/5)=尤3-兑8。)=尤2+。，曲线y=/(x)在点(一1,/(一1))处的切线也是曲线

，=g。)的切线.则a的值是

14.有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一

步两阶，小王同学7步登完楼梯的概率为.

四、解答题

15.如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30。方向上的C处

分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到8的距离比到C的距离少0.4m,于

是选择沿4-B-C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2m/s,忽略机器人

吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10s完成了清扫任务.

(1)求8、C两处垃圾之间的距离；(精确到0.1m)

(2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值.

222

16.已知双曲线C:'-2=1(。>0,6>0)的焦点与椭圆土+y2=i的焦点重合，其渐近线

ab5

方程为y=±且x.

3

(1)求双曲线。的方程；

⑵若A,8为双曲线C上的两点且不关于原点对称,直线/：y=9过A8的中点，求直线AB的

斜率.

17.如图，在四棱锥B—ACDE中，正方形ACDE所在平面与正VABC所在平面垂直，M,N

分别为3C,AE的中点，F在棱上.

⑴证明：MN//平面8DE.

(2)已知钻=2,点"到川的距离为粤，求三棱锥C—AfM的体积.

18.蓝莓种植技术获得突破性进展，喷洒A型营养药有-定的改良蓝莓植株基因的作用，能

使蓝莓果的产量和营养价值获得较大提升.某基地每次喷洒A型营养药后，可以使植株中

的80%获得基因改良，经过三次喷洒后没有改良基因的植株将会被淘汰，重新种植新的植

株.

(1)经过三次喷洒后，从该基地的所有植株中随机检测一株，求-株植株能获得基因改良的概

率；

(2)从该基地多个种植区域随机选取-一个,记为甲区域,在甲区域第一次喷洒A型营养药后，

对全部N株植株检测发现有162株获得了基因改良，请求出甲区域种植总数N的最大可能

值；

(3)该基地喷洒三次A型营养药后，对植株进行分组检测，以淘汰改良失败的植株，每组w

株("450),一株检测费为10元，〃株混合后的检测费用为〃+8元，若混合后检测出有未改

良成功的，还需逐一检测，求w的估计值，使每株检测的平均费用最小，并求出最小值.(结

果精确到0」元)

19.“函数。⑺的图象关于点(根,〃)对称”的充要条件是“对于函数。⑺定义域内的任意x,

都有。(元)+°(27"-X)=2M,若函数的图象关于点(1,2)对称，且当xe[0,1]时，

1

/(无)=x—ax+a+\

⑴求“0)+/(2)的值;

4.x

⑵设函数g(x)=L

2-x

①证明函数g(尤)的图象关于点(2,-4)称；

「21

②若对任意占目0,2],总存在马6-，使得/(%)=8(々)成立，求实数。的取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案DBCDDDCAACDACD

题号11

答案ABD

1.D

【分析】将8中元素分别代入e*-3x<0,验证即可.

【详解】将2中元素分别代入e，-3x<0,只有1符合，

则Ac3={l}.

故选：D.

2.B

【分析】根据条件求出z的代入形式，进而可得其共辗复数.

2—z

【详解】----=-i=>2-z=l—i=>z=l+i,

1+i

所以z=l-i.

故选：B.

3.C

【分析】由已知可得〃+B=(x+2,0),a-2b=(x-4,3),利用向量垂直的坐标表示，列方程

求参数值.

【详解】由题设〃+B=(%+2,0),a-2b=(x-4,3),

所以0+B)・Q-23)=(%+2)(X-4)=0,可得元=—2或4.

故选：C

4.D

【分析】由二倍角公式求得sinOcos。，切化弦后，结合同角三角函数平方关系可求得结果.

3

【详解】sin20=2sin0cos6=——,

4

3

/.sinSeos6=——,

8

八1sin。cos。sin2+cos2018

tan。cos。sin。sincos_33•

-8

故选：D.

答案第1页，共12页

【点睛】本题考查三角函数值的求解问题，涉及到二倍角公式、同角三角函数平方关系的应

用，属于较易题.

5.D

【解析】作出轴截面，在轴截面中由相似三角形可求解.

【详解】如图，设圆柱的高为〃，由题意可得!=1，所以。=2,从而圆柱的侧面积

42

S侧=2万x1x2=4%,

故选：D.

【点睛】本题考查圆柱侧面积的计算公式，对旋转体解题时可作出轴截面，在轴截面中计算.

6.D

【分析】对于A,举例判断，对于B,先求出每一段的值域，再可求出函数的值域，对于C,

由/(x)>g解不等式，再结合充要条件的定义分析判断，对于D,画出函数图象分析判断即

可.

【详解】对于A,当x=0时，2o=1>ol,所以/(%)不是R上的增函数，所以A错误，

对于B,当尤K0时，0<2"«1,当%>0时，£〉0，

所以“到的值域为©+8)，所以B错误，

对于C,当兀工。时，由/(%)>(，得2">；,解得一lv%40,

\111

当%>0时，由/(£>>彳，得户>L解得

224

综上，由/(%)>；，得一lvx<0,或

所以“X>!”是的充分不必要条件，所以C错误，

对于D,“X)的图象如图所示，

答案第2页，共12页

由图可知当。＞1时，直线y=a与y=/（x）图象只有一个交点，

即关于X的方程/（%）=。恰有一个实根，所以D正确，

故选：D

7.C

【分析】根据题意结合周期性可知x=T为的一条对称轴，进而可得"》）在、=2之

后的零点，结合题意分析求解.

【详解】由题意可知，了（无）的最小正周期7=胃=兀，

〒兀兀

因为弓一弓==＜：,可知+W-77t为“X）的一条对称轴,

34124-=24

ma〃、升7兀,ume上次、月兀T13K7兀3T25兀7兀5T37兀

所以/（%）在％=葛之后的零点依次为封+:=二7，=+二==7，77+丁二二7，

—24244242442424424

7兀7T49兀

---1--------,...9

24424

若/（X）在区间岛]上恰有3个零点，所以答4〈智.

故选：C.

8.A

【分析】根据题意令0=6=。得〃0）=0或〃0）=1;令4=匕=搭可得

=2/1J"^-/（0）＞-/（0），代入/（0）即可求解

【详解】因为函数y=〃尤）对于任意实数。和6,都有勾=2〃“）"伍），

所以令a=6=0,有/（0）+〃0）=2/（0）力0）,即2〃0）"（0）-1]=0,所以“0）=0或

f（o）=i；

令"6="为任意实数，有“X）+/⑼=2m5即“X）=2佃"图-〃。）；

因为所以”0）,

答案第3页，共12页

当"0）=0时，/W>0;当"0）=1时，/（%）>-1；

所以的值不可能是-2,

故选：A.

9.ACD

【分析】利用正态分布的性质逐项判断即可.

【详解】对于A,随机变量X~N（0,b2）满足正态分布，且〃=。，

故〃-x）=尸（XW—x）=P（X2x）=l—/⑺，故A正确；

对于B,当尤=0时，/（2%）=P（X<0）=1,2/（x）=2P（X<0）=1,

此时/'（2x）w2〃x）,故B错误；

对于C,P（|X|<%）=P（—尤<X<x）=2P（0<X<x）

=2^/（x）-^=2/（x）-l,故C正确；

对于D,〃x）=尸（XVx）,故〃x）单调递增，

故--->/（2）,即；--->2,

1-x

解得g<x<l,故D正确.

故选：ACD

10.ACD

【分析】根据题意可得/'（2）=0,即可判断A；求出函数的单调区间及极值，即可判断B；

求出+即可判断C；设出切点，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据

切线过点（-M）求出切点，即可判断D.

【详解】尸（力=3f+2版，

因为函数/（"=三+凉+5。<0）有极小值点x=2,

所以「（2）=12+4》=0,解得6=-3,

所以=X3一+5,f'^-3x2-6x,

答案第4页，共12页

当%>2或JTVO时，/'(^)>0,当0<%<2时，/r(x)<0,

所以函数/(力在(—,。),(2,”)上单调递增，在(0,2)上单调递减，

所以“X)极大值="0)=5,“X)极小值=〃2)=1,

又〃一2)=-15

所以函数〃x)仅有1个在区间(-2,0)上的零点，故A正确，故B错误；

对于C,由/(力=%3-3—+5=/(％-3)+5,

/(l+x)+/(l-x)=(l+.r)"(l+x-3)+5+(l-%y(1-%-3)+5=6,

所以函数的图象关于(1,3)对称，故C正确；

对于D,设切点为(玉,片-3需+5),则/〈XobsW-GXo，

故切线方程为y-(x；-3x；+5)=(3片-6x0)(x-x0),

又过点(-1,1)，所以1一(片-3x：+5)=(3片-6x0)(-l-%0),

整理得X：—3xo—2=0,即优+1)2(%-2)=0,

解得无o=-1或/=2,

所以过(-M)可以作两条直线与y=〃x)的图象相切，故D正确.

故选：ACD.

11.ABD

【分析】将x换成-x方程不变，得到图形关于y轴对称，根据对称性，分类讨论，逐一判

定，即可求解.

【详解】对于A,将X换成T方程不变，所以图形关于y轴对称，故A正确；

对于B,当x=0时，代入可得y=1,解得y=±i,即曲线经过点(0,1),(0,-1),

(2J3

当x>0时，方程变换为丁-孙+尤2-1=0,由△=尤2-4。2-1)20,解得xe0,——,所

以x只能取整数1,

当彳=1时，y2-y=0,解得y=0或>=1,即曲线经过(1,0),(1」),

答案第5页，共12页

根据对称性可得曲线还经过(T，O)，(T，D，故曲线一共经过6个整点，故B正确；

对于c,当尤＞0时，由/+/=1+孙可得%2+/-1=孙《土黄，(当X=y时取等号)，

.•・d+y2V2,,行二四，即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过&,根据对

称性可得：曲线c上任意一点到原点的距离都不超过血,故c错误；

对于D,如图所示，在X轴上图形的面积大于矩形A58的面积：H=1x2=2,x轴下方的

面积大于等腰三角形4龙的面积：S2=gx2xl=l,所以曲线C所围成的“心形”区域的面积

大于2+1=3,故D正确；

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：本题主要考查了命题的真假判定及应用，以及曲线与方程的应用，其

中解答中合理利用图形的对称性，逐一判定是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及

推理与运算能力.

12.-/0.5

2

【分析】根据题意列式，求出a/,c,结合离心率定义，即得答案.

【详解】依题意，人尸耳耳的周长为2a+2c=6,

所以。+。=3。尸「8面积的最大值为gx2cxb=6c=若，

3

又储=从+C?,整理得(3-c)2=—+C2,即(e-I)2(2c+1)=0,

C

解得c=l,a=2为=6,故椭圆C的离心率为二，

2

故答案为：—

2

13.3

【分析】求出y=/(x)在点(-L/(-i))处的切线方程为y=2尤+2,设该切线与g(x)切于点

答案第6页，共12页

(x0,g(x。))，求导得到，(x°)=2x°=2,求出%=1,从而得到方程，求出答案.

【详解】由题意知，/(-I)=-1-(-1)=0,/(X)=3X2-1,r(-D=3-l=2,

则>=/(x)在点㈠⑼处的切线方程为V=2Q+1),

即y=2x+2,设该切线与g(x)切于点(尤0,g(x0)),

其中，(x)=2x,则g'(Xo)=2Xo=2,解得%=1,

将%=1代入切线方程，得y=2xl+2=4,

则g⑴=1+。=4,解得。=3；

故答案为：3

一55

14.----

128

【分析】还原情境，利用独立重复实验的概率公式即可求解；

【详解】要想满足题意，则需要3步两阶与4步一阶，

由于登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，概率均为!，

2

则所求概率为仁呢,喏百言

故答案为：

12o

15.(l)1.4(m)

⑵U

714

【分析】(1)设3C=x,则AB=2-x,AC=2.4-x,4=90。+30。=120。，由余弦定理得到x=1.4,

得到答案；

(2)由余弦定理求出8的余弦值.

【详解】(1)由题意得AB+3C=0.2xl0=2,

设3C=x,0<x<2,贝！JAB=2—x,AC=2-x+0.4=2.4-x,

由题意得A=90。+30。=120。.

在VABC中，由余弦定理得

“AB~+AC2-BC2

cosA=-----------------------

2ABAC

答案第7页，共12页

（2-尤）2+（2.4_尤）2_彳2_]

2x（2-x）x（2.4-x）2

解得x=1.4或5.2(舍去),

/.BC=1.4（m）

（2）由（1）知45=2—1.4=0.6,AC=2.4-1.4=1,3c=1.4.

4序+叱-30.62+1.42-12_11

cosB=

2ABBC2x0.6xl.4-14

2

16.（1）—r-y2=l

3'

（2）1

【分析】(1)先求出焦点坐标，再根据渐近线方程可求基本量，从而可得双曲线的方程.

(2)利用点差法可求直线的斜率，注意检验.

【详解】(1)椭圆：+/=1的焦点为(±2,0),故/+%2=4,

由双曲线的渐近线为y=±立尤，故2=立，故6=l,a=有，

3a3

故双曲线方程为：

3

(2)设401/1),8(%2，%)，A8的中点为M，

因为M在直线/：y=gx,故%=：乙，

而,一号1，手一货=1，故也二坐5-(M一口(%+%)=。，

故上冲一(X-％)加=。，

由题设可知4B的中点不为原点，故人加工。，所以21=3忆=1，

%x2

故直线AB的斜率为1.

12

+X=XX

止匕时AB:y=x-xM-M~~M，

'2x

V=%.......-(Q、24

2

由3可得尤2-3尤，X”=3,整理得到：2X-4XMX+-4+3=0,

尤2一3丁=3<3>3

当A=16就一-24>0即XM<—孚或

即当与<-¥或与>¥时，直线存在且斜率为L

17.(1)证明见解析；(2)

6

答案第8页，共12页

【分析】（1）取CO中点G,连接NG,MG；根据线面平行的判定定理可分别证得MG〃平

面和NG〃平面5DE；根据面面平行判定定理得平面MNG〃平面BDE,利用面面平

行性质可证得结论；（2）根据面面垂直性质可知CD_1_平面ABC,由线面垂直性质可得

CDLAM；根据等边三角形三线合一可知A〃_L5C；根据线面垂直判定定理知AMJ_平面

BCD,从而得到设CF=a,表示出比AAFM三边，利用面积桥构造方程可求得

。=1；利用体积桥，可知匕利用三棱锥体积公式求得结果.

【详解】（1）取CD中点G,连接NG,MG

•;G,M为CD,BC中点:.GM//BD

又Mu平面瓦汨，GMU平面3DE.•.GM〃平面3DE

,•・四边形ACDE为正方形，N,G为中点..NG//DE

又NGu平面NG<Z平面3DE:.NG//平面BDE

■：GMC\NG^G,GM,NGu平面MNG平面MVG//平面

又MNu平面MNG平面3£电

（2）;AABC为正三角形，M为3C中点:.AM±BC

■.・平面ACDE_L平面ABC,CD1AC,平面ACDEpI平面ABC=AC，CDu平面ACDE

\CD人平面ABC,又AMu平面ABC:.AMLCD

又BCcCD=C,BC,COu平面BCD:.4W_L平面BCD

FMu平面3co:.AM±MF

设CF=“，则”=，4+储,MF=y]l+a2-AM=^3

；.AF-^-=AM-MF,即：闻x'+JAJl+片,解得：a=1

VC-AFM=VA-FCM=TSAFCM'AM=TXTX1X1X

332o

【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、三棱锥体积的求解，涉及到线面平行的

判定、面面平行的判定与性质、线面垂直的判定与性质、面面垂直的性质的应用等知识；解

答案第9页，共12页

决三棱锥体积问题的常用方法是利用体积桥的方式，将问题转化为底面积和高易求的三棱锥

的体积的求解问题.

18.(1)0.992

(2)202株

(3)〃=10,2.6元

【分析】(1)由题意，获得基因改良的概率等于第一获得加上第二次获得加上第三次获得的

概率，计算即可；

C^20.81620.2^16ji>CX0.81620.2W-161

(2)由二项分布的概率结合题意列不等式组,解出即

C黑0.8⑹0.2"62之(2,10.8侬0.22163

可;

(3)由二项分布的期望公式求出E(X),再结合题意求出每组中每株检测的平均费用为

史囚，然后由二项式定理的展开求出0.992"。1-0.00877,再结合基本不等式求出最后结果.

n

【详解】(1)记事件A="该基地的植株经过三次喷洒后，随机检测一株植株能获得基因改

良”，

所以P(A)=0.8+0.2x0.8+0.22x0.8=0.992,

(2)因为植株经过一次喷洒后基因改良的概率为0.8,经过一次喷洒后基因改良的株数4

服从二项分布，

kkNk

P(N=k)=CN0.8-0.2-,左=0,1,2,L,N

当左<162时，P优=162)=0

162

当％2162时，设尸(左=162)=C,0.8162.0.2~-

若N=162时，则“左=162)〈尸(％=161)

若N>162时,则

］C,0.8162().2NT622c黑］0.830.2衿⑹、［0.8N2161.2

储,0.8侬0.2"622c黑］0必62().2363'所以jo.8NW162'

解得201.5VNV202.5,又NeN*,所以N=202

所以甲区域种植总数N的最大可能值为202株.

(3)设每组“株("450)的总费用为X元，则X的取值为"+8,lln+8

答案第10页，共12页

lln+8

1-0.992"

所以£(X)=(〃+8)0.992"+(lln+8)(1-0.992〃)

则每组中每株检测的平均费用为"a=("+8)6992”+(11"+8)(1-0.992")

所以"肛=11-10x0.992"+§

nn

因为0.992'=(1-0.008)"=1-C：0.008+C；0.0082-…a1一0.008〃

所以"岂2=1+0.08/7+->1+2.0.08nx-=2.6(当且仅当“=10时等号成立)

nn\n

所以当以10个每组时，检测成本最低，每株2.6元.

【点睛】关键点点睛：本题第三问关键在于求出0.99才的值，可用二项式定理展开式

0.992"=(1-0.008)"=1-C；0.008+C；0.0082-…q1-0.008/7求出.

19.(1)4

⑵①证明见详解②

【分析】(1)计算/。)+/(2-无)=4,令尤=0,即求.

(2)①计算g(x)+g(4-幻=-8,由新定义即可证明.②求出g(x)的值域，设〃尤)在［0,2］上

的值域为A,存在与恒成立思想