概率论与数理统计课件：数理统计基础知识

2首页返回退出首页返回退出第一节总体和随机样本一、总体与个体二、样本数理统计概率论中，概率分布已知.随机变量及其概率分布全面描述了随机现象的统计规律.如：某养鸡厂母鸡的年产蛋量如：某校学生身高状况数理统计数理统计中，概率分布未知或不完全知道.如:1.某养鸡厂母鸡的年产蛋量2.某校学生身高状况3.某厂生产的灯泡的使用寿命数理统计的内容：对观测大量随机现象得到的数据进行收集、整理和分析的方法.§6.1总体和随机样本6.1.1总体总体:研究对象的全部可能观察值叫做总体.个体:组成全体的每个观察值叫做个体.总体:该校的所有学生的身高个体:每个学生的身高实际问题中，要研究的是有关对象的各种数量指标.

总体可以用一个随机变量及其分布来描述.常用随机变量的记号或用其分布函数表示总体.1.考察某校大一新生（共2000人）的身高.2.观测某地每天最高气温.3.某厂生产的所有电视显像管的寿命.要了解总体的性质需要对个体进行观测统计,方法有两种:1.全面观测耗费人力物力太多，有的具有破坏性2.抽样观测从研究对象的全体中抽取一小部分进行观察和研究,从而对整体进行推断.6.1.2随机样本样本:样本容量:样本中个体的数量从一批产品中抽5件,检验产品是否合格.样本容量为5

样本是随机变量.抽到哪5辆是随机的容量为n的样本可以看作n维随机变量(X1,X2,…,Xn).

但是，一旦取定一组样本，得到的是n个具体的数(x1,x2,…,xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值.

由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必须考虑抽样方法.

最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样”它要求抽取的样本满足下面两点:1.代表性：X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体有相同的分布.2.独立性：X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量.简单随机样本：X1,X2,…,Xn相互独立，且与总体X同分布.若总体X的分布函数为F(x)，则其简单随机样本的联合分布函数为

简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，当说到“X1,X2,…,Xn是取自某总体的样本”时，若不特别说明，就指简单随机样本.解：解：6.1.3经验分布函数定义样本分布函数:

Fn(x)=fn(X≤x)

样本分布函数Fn(x)是事件“X≤x”的频率.从总体X中抽取容量为n的样本，得到如下结果例如，设总体X具有一个样本值1,2,3,0,x<1,观测值xi频率fn(x)123则样本分布函数为例如，设总体X具有一个样本值1,1,2,则样本分布函数为格里汶科定理

研究总体X的概率密度，通常用频率直方图进行描述，它通常是把数据的值域分成若干相等的区间,于是数据就按区间分成若干组,在每个区间上作一个小矩形：2.所有的小长方形的面积之和＝１.

频率直方图1.小矩形的面积＝该组的频率．于是例3.我们来研究患某种疾病21岁—44岁男子的血压(收缩压，以mm-Hg计)这一总体X.为此抽查了63个男子,测得如下表中所列的数据.10013012013811011011513412012211012011516213013011014712212013111013812412212612013014211012812012411011913212513111711214810810711712113011912113211812611798115123141129140120961411061141.求最大值、最小值，并求极差.最大值为162，最小值为96，极差R=162-96=662.分组、定组距．

本例中，将数据分成8组，组距为10.作图过程3.定分点、定区间．取起点为a=90.5,b=170.5.从而得到的作图区间为

I=［90.5,170.5］,可保证所有数据均在此区间内．注意：取各小区间的端点坐标常比表中数据的精度高一位，以免数据落在区间的端点上．分组频数频率90.5~100.530.048100.5~110.5100.159110.5~120.5180.286120.5~130.5180.286130.5~140.580.127140.5~150.550.079150.5~160.500160.5~170.510.0154.样本值落入各组的频数和频率如下：90.5110.5

130.5

150.5

170.55.作频率直方图：27首页返回退出首页返回退出第二节抽样分布一、统计量二、抽样分布6.2.1常用统计量1.统计量的定义:

由样本去推断总体情况，需要对样本(X1,X2,…,Xn).进行“加工”，构造一些样本的函数g(X1,X2,…,Xn).

这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量.它是完全由样本决定的量.是不是例4.2.定义常用统计量它反映了总体均值的信息其观察值它反映了总体方差的信息其观察值其观察值其观察值解:

将计算器置于统计状态；输入数据.

6.2.2抽样分布解：解：性质：证明：当

n充分大时,其图形类似于标准正态变量概率密度的图形.n=1n=130n=3解：性质：证明：证明：解：50首页返回退出首页返回退出第三节正态总体的抽样分布定理一、单个正态总体的抽样分布定理二、多个正态总体的抽样分布定理§6.3正态总体的抽样分布定理样本均值和样本方差是统计数据中两个重要的统计量，也是随机变量，他们的分布是什么？

定理6.1

设X1,X2,…,Xn是来自正态总体的样本,是样本均值,那么(1)关于样本均值的分布6.3.1单个正态总体的抽样分布定理证明样本均值作为独立样本（独立正态分布）的线性组合，仍然服从正态分布.例1

设X1,X2,…,X10是来自正态总体的样本,是样本均值,求概率解：

定理6.2（证明略）

设X1,X2,…,Xn是来自正态总体的样本,是样本均值,是样本方差,那么(2)关于样本方差的分布例2

设

X1,X2,…,X10是来自正态总体的样本,是样本均值,是样本方差,求概率解：根据定理6.2,所以,

定理6.3

设X1,X2,…,Xn是来自正态总体的样本,是样本均值,是样本方差,那么(3)关于样本均值的另一种分布证明由t分布的义可得:例3

设

X1,X2,…,X16是来自正态总体的样本,是样本均值,是样本方差,求概率解：根据定理6.3,所以,

定理6.4

设X1,

X2,…,Xn是来自正态总体的样本,

Y1,Y2,…,Ym是来自正态总体的样本,是第一组样本的样本均值和样本方差,