第20讲 平面向量的概念及线性运算（学生版） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

PAGE1第20讲平面向量的概念及线性运算（3类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析2024年天津卷，第14题,5分平面向量基本定理的应用平面向量线性运算的坐标表示数量积的运算律数量积的坐标表示2023年天津卷，第14题,5分余弦定理解三角形用基底表示向量用定义求向量的数量积基本不等式求积的最大值2022年天津卷，第14题,5分用基底表示向量向量夹角的计算2021年天津卷，第15题,5分数量积的运算律2020年天津卷，第15题,5分已知向量共线(平行)求参数用定义求向量的数量积数量积的坐标表示2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为5分【备考策略】1.理解、掌握向量的概念，能够熟练使用三角形法则与平行四边形法则2.能掌握向量共线的性质3.具备数形结合的思想意识，会借助建系解决线性表示与共线的问题4.会利用共线定理解决含参问题【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出图形，运用三角形的加减法法则进行线性表示，以及求参。知识讲解知识点一．向量的有关概念1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．2.零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．3.单位向量：长度等于1个单位长度的向量．4.平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任意向量共线．5.相等向量：长度相等且方向相同的向量．6.相反向量：长度相等且方向相反的向量．[注意]1.向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向．2.任意向量a的模都是非负实数，即|a|≥0.知识点二．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求两个向量差的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μ_a；λ(a＋b)＝λa＋λb知识点三．向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa．知识点四.向量的常用结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋eq\o(An－1An,\s\up6(→))＝eq\o(A1An,\s\up6(→))，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0⇔P为△ABC的重心，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．4．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.考点一、平面向量的概念1.（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）下列命题中，正确的是（

）A．若a=b，则a=b C．若a=b，则a//b 2.（22-23高三上·福建厦门·开学考试）下列命题不正确的是（

）A．零向量是唯一没有方向的向量B．零向量的长度等于0C．若a，b都为非零向量，则使aa+bb=D．若a=b，b1.（2018高三·全国·专题练习）给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若λa=0(λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa=μA．1 B．2 C．3 D．42.（2023·北京大兴·三模）设，是非零向量，“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3.（2022·江苏·三模）已知向量，与共线且方向相反的单位向量.考点二、平面向量线性运算1.（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）中国文化博大精深，“八卦”用深邃的哲理解释自然、社会现象.如图（1）是八卦模型图，将其简化成图（2）的正八边形ABCDEFGH，若AB=1，则AB−

A．2 B．3C．3 D．22.（2024·四川·模拟预测）已知非零平面向量a，b，那么“a=μb”是“A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件1.（2024·辽宁·模拟预测）在平行四边形ABCD中，AE=2A．AF=13C．AF=562.（2019高三·全国·专题练习）如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则AF=

A．34AB+C．12AB+3.（2024·山西吕梁·三模）已知等边△ABC的边长为1，点D,E分别为AB,BC的中点，若DF=3EF，则A．12AB+C．12AB+4.（2024·广东汕头·三模）已知四边形ABCD是平行四边形，BE=2EC，DF=A．−12ABC．−13AB5.（2024·重庆·模拟预测）已知点G是△ABC的重心，点M是线段AC的中点，若GM=λAB+μA．112 B．16 C．−1考点三、向量共线定理的应用1.（2024·河北·模拟预测）已知点A,B,C是直线l上相异的三点，O为直线l外一点，且2OA=3OBA．−1 B．1 C．−12 2.（2024·内蒙古赤峰·二模）已知a，b是两个不共线的向量，命题甲：向量ta+b与aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件1.（2024·广东·二模）已知向量a与b能作为平面向量的一组基底，若a+kb与k+1aA．−1+52 B．−1±52 C．2.（2024·浙江·模拟预测）已知向量e1，e2是平面上两个不共线的单位向量，且AB=e1A．A、B、C三点共线 B．A、B、D三点共线C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线3.（2024·宁夏银川·模拟预测）在△ABC中，BD=2DC，过点D的直线分别交直线AB、AC于点E、F，且AE=mAB,AF=nA．2 B．2 C．3 D．84.（2024·河北衡水·模拟预测）在△ABC中，D是BC的中点，直线l分别与AB,AD,AC交于点M,E,N，且AB=43AM，A．85 B．53 C．745.（2021·江西新余·模拟预测）如图，在三角形OPQ中，M、N分别是边OP、OQ的中点，点R在直线MN上，且OR=xOP+yOQ（x，A．22 B．26 C．241．（21-22高三上·山东烟台·开学考试）O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+λ(AB+AC)A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心2．（23-24高三上·安徽·阶段练习）在△ABC中，点M是线段BC上靠近B的三等分点，点N是线段AC的中点，则AM=A．−BN+2C．−BN+53．（2020·天津河东·模拟预测）对于非零向量a、b，“2a=b”是“aA．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（23-24高三上·天津红桥·阶段练习）已知向量b=−3,1，则与b方向相反的单位向量是5．（2022·天津河北·模拟预测）若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：AM=35AB+256．（21-22高三上·山东日照·开学考试）在三角形OAB中，点P为边AB上的一点，且AP=2PB，点Q为直线OP上的任意一点（与点O和点Q不重合），且满足OQ=λ11．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）△ABC是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若AF=3EF，AF=3，且AFA．1519 B．619 C．9192．（23-24高三下·天津·阶段练习）在△ABC中，设，AB=a,AC=b，其夹角设为θ，平面上点D,E满足AD=2AB，AE=3AC，BE,DC交于点O，则AO用3．（2024·天津和平·一模）青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点M在正六边形的边上运动，动点A,B在圆O上运动且关于圆心O对称.（i）请用MA,MB表示MO=；（ii）请写出MA4．（23-24高三上·天津河西·期末）在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，AB=2AE，AF=λACλ>0，EF=25．（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）在△ABC中，AD=12AB，AE=13AC，CD与BE交于点P，AB=2，AC=4，用AB和AC表示AP，则AP=；过点P的直线l交AB，AC于点M，N，设AM=mAB6．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）如图，在△ABC中，AD=12AB，AE=13AC，CD与BE交于点P，AB=2，AC=4，AP⋅BC=2，则AB⋅AC的值为7．（2023·天津津南·模拟预测）在△ABC中，M是边BC的中点