2024-2025学年福建省福州八中高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省福州八中高一（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.2015年以来，我国的年度GDP数据如表：时间(年)20152016201720182019GDP(万亿元)68.550674.412782.712191.928199.0865设时间为n，与其对应的年度GDP为f(n)，那么f(2018)=(

)A.68.5506 B.74.4127 C.82.7121 D.91.92812.“|x|=1”是“x2=1”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知函数y=f(x)定义域是[−2,3]，则y=f(2x−1)的定义域是(

)A.[0,52] B.[−1,4] C.[−4.若函数f(x)=x3−x2−a,x>0x2A.(−427,0)B.(−1,−427]∪(0，+∞)5.已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=lgx，设a=f(3)，b=f(14)，c=f(−2)，则A.a>c>b B.a>b>c C.c>a>b D.b>a>c6.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈[0,2]时，f(x)=4(1−|x−1|).对于任意不小于2的正整数n，当x∈[2n−2,2n+1−2]时，都满足f(x)=12f(x2−1)，给出以下命题：

①f(x)的值域为[−4,4]；

②当x∈[26−2,A.①② B.①③ C.②③ D.①②③7.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(−x−1)=f(x−1)，当x∈[−1,0]时，f(x)=−x3，则关于x的方程f(x)=|cosπx|在[−52A.−7 B.−6 C.−3 D.−18.设集合A={a|∃x∈R,ax=logax(a>1)}A.A⊆B B.B⊆A C.B∩A=⌀ D.B∩A≠⌀二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若a<b<0，则(

)A.1a>1b B.ab>b210.已知a>0，b>0，a+b=1，则下列不等式一定成立的是(

)A.ab≤14 B.1a+1b11.设f(x)是定义在R上的函数，对∀x，y∈R，有f(x+y)−f(x−y)=f(x+2)f(y+2)，且f(0)≠0，则(

)A.f(x)−f(−x)=0

B.f(x+4)−f(x)=0

C.f(0)+f(2)+f(4)+⋯+f(2024)=−2

D.f三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.用列举法将方程log3x+log13.如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=4，AD=3，那么当BM=

时，矩形花坛的AMPN面积最小，最小面积为

．

14.已知定义域为R的函数f(x)=x2−2x+2,0<x≤2,log12(2x−154),x>2,且满足f(−x)=−f(x)，函数g(x)=kx，若函数ℎ(x)=f(x)−g(x)有7个零点，则k的取值范围为______；若方程f(x)=m(m>0)的解为x四、解答题：本题共5小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=x+ax(a>0)．

(Ⅰ)判断函数f(x)的奇偶性并证明；

(Ⅱ)若a=4，证明：函数f(x)在区间16.(本小题14分)

现定义：设a是非零实常数，若对任意的x∈D，都有f(a−x)=f(a+x)，则称函数y=f(x)为“关于a的偶型函数”．

(1)请以三角函数为例，写出一个“关于2的偶型函数”的解析式，并给予证明；

(2)设定义域为R的“关于a的偶型函数”y=f(x)在区间(−∞,a)上单调递增，求证：y=f(x)在区间(a,+∞)上单调递减；

(3)设定义域为R的“关于12的偶型函数”y=f(x)是奇函数，若n∈N∗，请猜测f(n)17.(本小题15分)

解不等式loga(1−18.(本小题19分)

已知二次函数g(x)=ax2+c(a,c∈R)，g(1)=1且不等式g(x)≤x2−x+1对一切实数x恒成立．

(1)求函数g(x)的解析式；

(2)在(1)的条件下，设函数ℎ(x)=2g(x)−2，关于x的不等式ℎ(x−1)+4ℎ(m)≤ℎ(x19.(本小题19分)

已知函数f(x)=lnx−ax−1(a∈R)．

(1)若函数y=f(x)在区间[1,+∞)上单调递减，求实数a的取值范围；

(2)若方程f(x)+2=0有两个实根x1，x2，且x2>2x1，求证：x1x22参考答案1.D

2.C

3.C

4.D

5.A

6.A

7.A

8.D

9.ABD

10.ACD

11.ACD

12.{1}

13.448

14.(22−2,1)15.解：(Ⅰ)因为函数的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，关于原点对称，

又f(−x)=−x+a−x=−(x+ax)=−f(x)，

所以函数f(x)是奇函数．

(Ⅱ)当a=4时，f(x)=x+4x，

设x1，x2是区间(2,+∞)上的任意两个变量，且2<x1<x2，

则f(x1)−f(16.解：(1)函数f(x)=cos(x−2)为“关于2的偶型函数”．

理由：由f(2−x)=cos(2−x−2)=cos(−x)=cosx，f(2+x)=cos(2+x−2)=cosx，

可得对任意的x∈R，都有f(2−x)=f(2+x)，故f(x)=cos(x−2)为“关于2的偶型函数”；

(2)证明：设a<x1<x2，则−a>−x1>−x2，即有a>2a−x1>2a−x2，

由对任意的x∈R，都有f(a−x)=f(a+x)，即为f(x)=f(2a−x)，

y=f(x)在区间(−∞,a)上单调递增，可得f(2a−x1)>f(2a−x2)，

即有f(x1)>f(x2)，可得y=f(x)在区间(a,+∞)上单调递减；

(3)设定义域为R的“关于12的偶型函数”，

可得对任意的x∈R，都有f(12−x)=f(12+x)，即为f(−x)=f(1+x)，

又f(x)为奇函数，可得f(−x)=−f(x)，

即有f(x+1)=−f(x)，则f(x+2)=−f(x+1)=f(x)，可得f(x)为最小正周期为2的函数，

17.解：①当a>1时，原不等式等价于不等式组：1−1x>01−1x>a.

由此得1−a>1x．

因为1−a<0，所以x<0，

∴11−a<x<0．

②当0<a<1时，原不等式等价于不等式组：

1−1x>01−118.解：(1)∵二次函数g(x)=ax2+c(a,c∈R)，g(1)=1；∴a+c=1①，

又不等式g(x)≤x2−x+1对一切实数x恒成立，

可得(a−1)x2+x+c−1≤0对一切实数x恒成立，

当a−1=0时，x+c−1≤0不恒成立，所以a=1不合题意，舍去，

当a−1≠0时，要使得(a−1)x2+x+c−1≤0对一切实数x恒成立，

需要满足a−1<01−4(a−1)(c−1)≤0，②

由①②解得a=12，c=12，

故函数g(x)的解析式为：g(x)=12x2+12；

(2)把g(x)=12x2+12代入函数ℎ(x)=2g(x)−2，得ℎ(x)=x2−1，

则关于x的不等式ℎ(x−1)+4ℎ(m)≤ℎ(xm)−4m2ℎ(x)在x∈[32,+∞)有解，

19.解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，由题意，f′(x)=1x−a=1−axx，

当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，不合题意；

当a>0时，由f′(x)>0得0<x<1a，所以函数f(x)在(0,1a)上单调递增，在(1a,+∞)上单调递减，

又函数y=f