第16讲 三角函数的概念与运算（学生版） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

PAGE1第16讲三角函数的概念与运算（8类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析2024年天津卷，第16题,14分用和、差角的余弦公式化简、求值二倍角的正弦公式，正弦定理解三角形余弦定理解三角形2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，单独出题比较少，一般与三角函数、正余弦定理结合出题【备考策略】1.理解、掌握三角函数的定义，能够求解特殊角的三角函数值2.能掌握同角三角函数的基本关系式，诱导公式3.具备数形结合的思想意识，会借助单位圆求解三角函数值4.掌握三角函数的知一求二，齐次化等解题方法【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般结合三角函数与正余弦定理一起出题。知识讲解知识点一.三角函数的定义1．角的概念(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．分类：按旋转方向，角可以分成三类：正角、负角和零角．(2)象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．(3)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．2．弧度制的相关概念(1)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．(2)弧度制：①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．②记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度．如图，在单位圆O中，eq\o(AB,\s\up8(︵))的长等于1，∠AOB就是1弧度的角．(3)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad，1°＝eq\f(π,180)rad，1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°．(4)扇形的弧长公式：l＝α·r，扇形的面积公式：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)α·r2.其中r是半径，α(0＜α＜2π)为弧所对圆心角．3．三角函数的概念三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sinαx叫做α的余弦，记作cosαeq\f(y,x)叫做α的正切，记作tanα4.常用结论（1）一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．（2）三角函数在每个象限的正负如下表：三角函数第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sinα＋＋－－cosα＋－－＋tanα＋－＋－（3）象限角（4）轴线角5．三角函数定义的推广设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x).知识点二．同角三角函数的基本关系1.平方关系：sin2α＋cos2α＝1.2.商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).3．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)．(2)sinα＝tanαcosαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).(3)(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.知识点三．三角函数的诱导公式1.诱导公式组数一二三四五六角α＋2kπ(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指eq\f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．3．同角三角函数的基本关系式的几种变形(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.(2)sinα＝tanαcosαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).(3)sin2α＝eq\f(sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α,tan2α＋1)；cos2α＝eq\f(cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1,tan2α＋1).考点一、任意角与弧度制1.（2015·山东·高考真题）终边在y轴的正半轴上的角的集合是（

）A．xx=π2C．xx=−π22.（23-24高三下·江西·阶段练习）已知集合A=x2kπ+πA．2kπ+π4,2kπ+C．2kπ+π6,2kπ+1.（23-24高三上·上海静安·期末）设α是第一象限的角，则α2A．第一象限 B．第三象限C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限2.（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若α是第一象限角，则下列各角为第四象限角的是（

）A．90°−α B．90°+α C．360°−α D．360°+α3.（23-24高三上·云南·阶段练习）从2023年12月14日13∶00到当天13∶25，某时钟的分针转动的弧度为（

）A．5π6 B．2π3 C．4.（22-23高三·全国·对口高考）①若角α与角β的终边相同，则α与β的数量关系为；②若角α与角β的终边关于x轴对称，则α与β的数量关系为；③若角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的数量关系为；④若角α与角β的终边在一条直线上，则α与β的数量关系为；⑤如果α是第一象限的角，那么α3是第考点二、扇形的弧长与面积1.（2024·陕西安康·模拟预测）《九章算术》中《方田》一章给出了计算弧田面积的公式：弧田面积=12（弦×矢+矢2）.弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为θθ∈0,πA．14m2 B．18m2 C．2.（2024高三下·四川成都·专题练习）如图，圆O内接一个圆心角为60°的扇形ABC，在圆O内任取一点，则该点落在扇形ABC内的概率为（

）A．14 B．34 C．121.（2024高三·全国·专题练习）如图，曲线段AB是一段半径为R的圆弧，若圆弧的长度为2πA．R B．2R C．3R D．2R2.（2024高三·全国·专题练习）如图，在Rt△PBO中，∠PBO=90∘，以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分△POB的面积，且∠AOB=α，则α3.（22-23高三上·安徽六安·阶段练习）已知扇形的周长为20cm，则当扇形的圆心角α=扇形面积最大．4.（2024·陕西商洛·模拟预测）古希腊数学家托勒密对三角学的发展做出了重要贡献，他的《天文学大成》包含一张弦表（即不同圆心角的弦长表），这张表本质上相当于正弦三角函数表.托勒密把圆的半径60等分，用圆的半径长的160作为单位来度量弦长.将圆心角α所对的弦长记为crdα.如图，在圆O中，60°的圆心角所对的弦长恰好等于圆O的半径，因此60°的圆心角所对的弦长为60个单位，即crd60°=60.若θ为圆心角，cosθ=1考点三、三角函数的定义1.（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）已知角α终边上有一点P(sin5πA．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角2.（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为原点O，以x轴的非负半轴为始边，终边经过点P(1,m)(m<0)，则下列各式的值恒大于0的有（

）个．①sinαtanα；②cosα−sinα；A．0 B．1 C．2 D．31.（2024·山东·模拟预测）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点Psinπ3A．0 B．12 C．22 2.（2024·河北衡水·模拟预测）“角α,β的终边在同一条直线上”是“sinα−βA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3.（2024·宁夏石嘴山·三模）在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P1,2，则7A．−15 B．15 4.（2020高三·全国·专题练习）若角θ的终边上有一点Pa,aa≠0，则sinθ考点四、sinα,cosα,1.（2024·山东泰安·模拟预测）已知sin3π2+α=A．−3 B．−33 C．2.（23-24高三下·辽宁·阶段练习）已知cosθ=−13，θ∈0,π1.（2024·山东·二模）已知sinα=35，且α∈π2.（2024·西藏林芝·模拟预测）已知锐角α满足sin2α=tanα，则考点五、sinα,cosα,tan1.（2024·河南洛阳·模拟预测）已知tanα=2，则5A．13 B．113 C．52.（2024·四川自贡·三模）已知角α满足1−cos2αsinA．−31010 B．31010 1.（23-24高三下·云南·阶段练习）若tanα=23A．−1324 B．−2413 C．2.（2024·河北沧州·模拟预测）已知tanθ=22，则A．−89 B．89 C．−3.（2024·浙江杭州·模拟预测）已知sinθ−2cosθsin考点六、sinα±cosα，1.（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知cos2αsinα+A．63 B．13 C．342.（2024高三·全国·专题练习）已知sinα+cosα=15A．712 B．−712 C．−431.（23-24高三上·天津河西·阶段练习）已知α∈0,π，sinα+A．±53 B．53 C．−2.（23-24高三上·云南·阶段练习）已知sinαcosα=A．sin2α=18C．sinα−cosα=−3.（2024高三·全国·专题练习）已知sinθ,cosθ是关于x的方程25x24.（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知θ是三角形的一个内角，满足cosθ−sinθ=−A．−25 B．−910 C．考点七、三角函数的诱导公式1.（2024·北京通州·二模）在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P45,−A．−925 B．−725 C．2.（2024·河南商丘·模拟预测）“sinα−2024π>0A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件1.（2024高三·全国·专题练习）cos25π3+2.（2024·河南·模拟预测）已知tanα=34，则tan3.（2024·广东茂名·一模）已知cosα+π=−2A．−1 B．−25 C．454.（2024·河南·二模）已知sinx+cosx=A．−35 B．35 C．8考点八、诱导公式中的凑角求值1.（2023·山西·模拟预测）已知α为锐角，且cosα+π6A．−22 B．−2 C．22.（21-22高三上·广东深圳·期中）已知sinα+π3A．−45 B．−35 C．1.（2024·陕西安康·模拟预测）已知sinα+π8A．23 B．−23 C．12.（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知sinθ+π12A．−59 B．59 C．−3.（2024·浙江·模拟预测）已知α∈0,π2，sinA．−223 B．223 4.（23-24高三上·福建莆田·期中）已知cos(π3−α)=21．（2024·山西晋城·二模）已知圆锥的侧面积为12π，它的侧面展开图是圆心角为2A．62π B．162π3 2．（2024高三·全国·专题练习）已知a>0，若cosθ=a2A．12 B．1 C．−323．（2024·新疆·三模）已知α∈0,π2，2A．15 B．55 C．334．（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）已知sinπ4+αA．−23 B．35 C．35．（2024·吉林长春·模拟预测）若cosα−π4A．−58 B．58 C．−6．（2024·全国·模拟预测）已知α是第二象限角，且其终边经过点−3,4，则tanα27．（2024·广东深圳·模拟预测）计算：cos72°cos1．（2024·全国·二模）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边点x轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标为−1,−2，则sin3α=A．255 B．−255 2．（2024·河北·三模）已知点Psin2023π4,A．63 B．62 C．−63．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知cosπ4−θA．152 B．154 C．1574．（2024·江苏盐城·模拟预测）sinxA．−12 B．−22 C．5．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）下图是第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”，可将其视为一扇环ABCD．已知AB=2π，AD=3．且该扇环ABCD的面积为9π6．（2024·宁夏银川·二模