第05讲 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性（教师版） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

PAGE1第05讲函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性（13类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析2024年天津卷，第4题,5分函数奇偶性的定义与判断求含cosx的函数的奇偶性2023年天津卷，第4题,5分函数奇偶性的定义与判断判断指数型函数的图象形状识别三角函数的图象(含正、余弦，正切)根据函数图象选择解析式2022年天津卷，第3题,5分函数奇偶性的应用函数图像的识别根据解析式直接判断函数的单调性2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度从低到高，分值为5分【备考策略】1.理解、掌握函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，能够灵活运用函数的各种性质。2.能掌握函数的性质3.具备数形结合的思想意识，根据不同函数的性质解决问题4.会解周期性与对称性的运算.【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给需要灵活结合函数的性质，求解含参，不等式，解析式，求和等各种问题。知识讲解知识点一.函数的单调性1.单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．注意：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．(2)单调区间D⊆定义域I.(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．3.函数单调性的等价结论函数f(x)在区间[a,b]上是增函数：⇔任取x1,x2∈[a,b],且x1<x2,都有f(x1)-f(x2)<0;⇔任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有f(x⇔任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0;⇔任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有x1函数f(x)在区间[a,b]上是减函数：⇔任取x1,x2∈[a,b],且x1<x2,都有f(x1)-f(x2)>0;⇔任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有f(x⇔任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0;⇔任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有x（3）在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．（4）复合函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．（5）对勾函数（耐克函数）形如（，且为常数）在和上为增函数，在和上为减函数.对勾函数有两条渐近线：一条是轴（，图象无限接近于轴，但不相交），另一条是直线（当趋近于无穷大时，趋近于0，趋近于，因为，所以）.4.判断函数单调性的四种方法：1定义法：取值、作差、变形因式分解、配方、有理化、通分、定号、下结论.2复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数.3图象法：如果fx是以图象形式给出的，或者fx的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性.4导数法：利用导函数的正负判断函数单调性.(选修中会学到)(5)证明函数的单调性有定义法、导数法.但在高考中，见到有解析式，尽量用导数法.易错警示：①求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.②如有多个单调增减区间应分别写，不能用“∪”联结.知识点二.函数的奇偶性1.函数奇偶性的定义：奇偶性偶函数奇函数条件设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I结论f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)图象特点关于y轴对称关于原点对称注意：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：1.定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；2.判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(-x)＝0(奇函数)或f(x)-f(-x)＝0(偶函数)是否成立．3.若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：①f(x)为奇函数⇔f(-x)＝-f(x)⇔f(-x)＋f(x)＝0⇔f(−x)f(x)②f(x)为偶函数⇔f(-x)＝f(x)⇔f(-x)-f(x)＝0⇔f(−x)f(x)2.判断函数奇偶性的方法1．定义法：利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式：eq\f(f－x,fx)＝±1(f(x)≠0)判断函数的奇偶性．2．图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性．3．验证法：即判断f(x)±f(－x)是否为0.4．性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论：f(x)g(x)ffff[g偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数总结：奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇3.函数奇偶性的常用结论1.如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0.2.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．3奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．4在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．5.若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)．知识点三.周期性与对称性1.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．2.中心对称定义：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心3.周期性与对称性的常用结论（1）函数周期的常见结论设函数y＝f(x)，x∈R，a>0.=1\*GB3①若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；=2\*GB3②若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；=3\*GB3③若f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，则函数的周期为2a；=4\*GB3④若f(x＋a)＝－eq\f(1,fx)，则函数的周期为2a；（2）对称轴常见类型=1\*GB3①fx+a=f(−x+b)⇔y=f(x)图像关于直线x=a+b=2\*GB3②fx+a=f−x+a⇔y=fx=3\*GB3③fx=f−x+2a⇔y=fx=4\*GB3④f−x=fx+2a⇔y=fx（3）对称中心常见类型=1\*GB3①f(x+a)+f(b-x)=2c⇔y=f(x)图像关于直线(a+b2,c)对称=2\*GB3②的图象关于点对称=3\*GB3③的图象关于点对称=4\*GB3④的图象关于点对称（4）周期与对称性的区分=1\*GB3①若fx+a=±f(x+b)，则具有周期性；=2\*GB3②若fx+a=±f(−x+b)，则具有对称性：口诀：“内同表示周期性，内反表示对称性”。考点一、函数的单调性1.（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间(0,+∞A．f(x)=−lnx C．f(x)=−1x 【答案】C【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.【详解】对于A，因为y=lnx在0,+∞上单调递增，y=−x所以fx=−ln对于B，因为y=2x在0,+∞上单调递增，y=所以fx=1对于C，因为y=1x在0,+∞上单调递减，y=−x所以fx=−1对于D，因为f12=显然fx=3故选：C.2.（2020·山东·高考真题）已知函数fx的定义域是R，若对于任意两个不相等的实数x1，x2，总有fA．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数【答案】C【分析】利用函数单调性定义即可得到答案.【详解】对于任意两个不相等的实数x1，x2，总有等价于对于任意两个不相等的实数x1<x所以函数fx故选：C1.（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（

）A．fx=−x B．fx=23【答案】D【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A，fx=−x为对于B，fx=2对于C，fx=x对于D，fx=3故选：D.2.（2024高三·全国·专题练习）已知fx是定义在R上的偶函数，函数gx满足gx+g−x=0，且A．fgx在B．ggx在C．gfx在D．ffx在【答案】C【分析】利用函数的奇偶性与单调性一一判定选项即可.【详解】由题意知fx在0,+∞单调递增，gx设0≤x1<x2所以fgx在设x1<x2≤0所以ggx在设0≤x1<x2所以gfx在取fx=x2−1，则f此时ffx在故选：C.3.（2024·山西吕梁·二模）已知函数y=f4x−x2在区间1,2A．fx=4x−xC．fx=−sin【答案】A【分析】根据复合函数单调性分析可知fx在区间3,4【详解】因为t=4x−x2开口向下，对称轴为可知内层函数t=4x−x2在区间当x=1，t=3；当x=2，t=4；可知t=4x−x又因为函数y=f4x−x2所以ft在区间3,4上单调递减，即fx在区间对于选项A：因为函数fx=4x−x对于选项B：因为x∈3,4，则fx=对于选项C：因为x∈3,4⊆π2,对于选项D：因为fx=x在区间故选：A.4.（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知函数y=fx，x∈R.若fA．函数fx在−B．函数fx在−C．函数fx在−D．函数fx在−【答案】D【分析】根据函数单调性的定义判断即可.【详解】因为函数y=fx，x∈R且f则函数fx在−如fx=x2，满足f1故D正确，A、B、C错误.故选：D考点二、函数的单调区间1.（2024高三·全国·专题练习）函数y＝1xA．（－∞，＋∞）B．（0，＋∞）C．（－∞，0）∪（0，＋∞）D．（－∞，0），（0，＋∞）【答案】D【分析】由反比例函数的性质即可求解.【详解】由反比例函数的性质可得函数y=1故选：D.2.（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）函数y=|x|(1−x)在区间A上是减函数，那么区间A是.【答案】(−∞,0)，【分析】化简函数y=|x|(1−x)为f(x)=x【详解】由题意得y=f(x)=|x|(1−x)=x作出其图像如图：由图像可知函数在区间(−∞,0)，故区间A是(−∞,0)，故答案为：(−∞,0)1.（23-24高三上·宁夏固原·阶段练习）函数y=−x2【答案】−【分析】作出y=−【详解】由−x2+4x+5=0，得到x=−1函数y=−由图知，函数y=−x2故答案为：−∞

2.（20-21高三上·陕西汉中·阶段练习）函数fx=π【答案】1,+∞/【分析】由复合函数单调性进行求解.【详解】因为y=πu在R上单调递增，故y=xy=x2−2x−8的对称轴为x=−−22=1，故故fx=πx2故答案为：1,+3.（2023·海南海口·二模）已知偶函数y=fx+1在区间0,+∞上单调递减，则函数y=fx−1【答案】−【分析】根据偶函数的对称性结合图象平移分析求解.【详解】因为偶函数y=fx+1在区间0,+所以y=fx+1在区间−又因为fx−1=fx−2+1，则函数所以函数fx−1的单调增区间是−故答案为：−∞【点睛】本题考查函数的性质，要求学生了解函数图象的平移与单调性和奇偶性的综合关系．4.（22-23高三上·北京·阶段练习）能够说明“若g(x)在R上是增函数，则xg(x)在R上也是增函数”是假命题的一个【答案】x(答案不唯一，符合题意即可)【分析】根据单调性的概念分析理解.【详解】例如：g(x)=x在R上是增函数，则xg(x)=x2故答案为：x(答案不唯一，符合题意即可).5.（23-24高三上·海南儋州·阶段练习）若fx=aex【答案】(−【分析】由奇函数得f(0)=0，解出a值，再由复合函数单调性可得减区间.【详解】由fx=a则f(0)=a2−1=0当a=2时，f(x)=2则f(−x)=1−当a=2时，gx由(x−3)(x−2)>0解得x<2，或x>3，令t=(x−3)(x−2)，当x<2时，t=(x−3)(x−2)单调递减，y=ln则gx当x>3时，t=(x−3)(x−2)单调递增，y=ln则gx则g(x)的单调递减区间是(−∞故答案为：(−∞6.（22-23高三上·上海杨浦·阶段练习）若函数y=fx在区间I上是严格增函数，而函数y=fxx在区间I上是严格减函数，那么称函数y=fx是区间I上的”缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”.已知函数fx【答案】3【分析】分别求出函数fx的单增区间，再求出y=fxx【详解】二次函数fx=1而y=由对勾函数的性质可知：y=fxx=所以1,3及其非空真子集均为函数fx=12所以满足条件的“缓增区间”I的区间长度最大值为3-1故答案为：3-1考点三、利用函数的单调性求参数的取值范围1.（2023·全国·高考真题）设函数fx=2xx−aA．−∞,−2 C．0,2 D．2,+【答案】D【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【详解】函数y=2x在R上单调递增，而函数fx则有函数y=x(x−a)=(x−a2)2−a所以a的取值范围是2,+∞故选：D2.（2024·湖北·二模）已知函数fx=logA．1,+∞ B．ln2,+∞ C．2,+【答案】C【分析】先由题设条件证明a>2，再验证a>2时条件满足即可.【详解】若fx=log则必然在x=1处有定义，所以a1−2>0，即若a>2，则当x≥1时ax−2≥a−2>0，所以fx再由a>1知ax−2在R上单调递增，所以fx故选：C.1.（2024·广东揭阳·二模）已知函数fx=−x2+ax+1A．2,6 B．−C．4,12 D．−【答案】C【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得.【详解】函数fx=−x2+ax+1的图象对称轴为x=所以a的取值范围为4,12.故选：C2.（2024·吉林·二模）若函数fx=lnax+1在1,2上单调递减，则实数【答案】[−【分析】利用复合函数的单调性可得gx=ax+1在1,2上单调递减且恒大于0，可得a<0g(2)=2a+1≥0【详解】函数fx=ln由函数y=ln所以函数gx=ax+1在则有a<0g(2)=2a+1≥0，解得−故实数a的取值范围是[−13.（2024·全国·模拟预测）命题p:0<a<1，命题q：函数fx=loga6−axa>0,a≠1在A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由命题q求出a的取值范围，再判断充分性和必要性即可.【详解】设t=6−ax，则fx=log充分性：当0<a<1时，函数y=logat在−∞,3上单调递减，t=6−ax在−∞,3必要性：当0<a<1时，y=logat在−∞,3上单调递减，t=6−ax在−∞,3当a>1时，y=logat在−∞,3上单调递增，t=6−ax在−∞,3上单调递减，且t=6−ax>0在−∞,3综上可知，当函数fx=loga6−axa>0,a≠1在−∞,3上单调时，故选：A．【点睛】易错点点睛：本题以含有参数的对数型函数的单调性为背景，考查充分条件与必要条件的判断，体会函数思想、分类讨论思想的应用．先考虑充分性，再考虑命题q为真命题时，参数a的取值范围，对参数a进行分类讨论，同时不要忘记考虑真数大于0这一情况，这是本题的易错点.考点四、函数的奇偶性1.（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的是（

）A．y=ex−x2x2+1 【答案】B【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【详解】对A，设fx=ex−x2x2对B，设gx=cos且g−x=cos对C，设ℎx=ex−x对D，设φx=sinx+4xe|x|，函数定义域为则φ1≠φ−1故选：B.2.（2020·全国·高考真题）设函数f(x)=x3−A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为{x|x≠0}，利用定义可得出函数f(x)为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．【详解】因为函数f(x)=x3−1x所以函数f(x)为奇函数．又因为函数y=x3在(0,+∞)上单调递增，在而y=1x3=x所以函数f(x)=x3−1x故选：A．【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．1.（2020·全国·高考真题）设函数f(x)=lnA．是偶函数，且在(12,+∞)单调递增 C．是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增 【答案】D【分析】根据奇偶性的定义可判断出fx为奇函数，排除AC；当x∈−12,12【详解】由fx=ln2x+1−又f−x∴fx当x∈−12∵y=ln2x+1在−12,∴fx在−当x∈−∞,−12∵μ=1+22x−1在−∞,−1根据复合函数单调性可知：fx在−∞,−故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据f−x与f2.（2024·北京·三模）下列函数中，是偶函数且在区间0,+∞A．fx=1C．fx=2【答案】C【分析】根据题意，由函数的奇偶性以及单调性的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】fx=1x=故A错误；fx=sin故B错误；fx=2x+则fx为偶函数，令t=2x，当x∈则y=t+1t,t>1，由对勾函数的性质可知，y=t+所以fx=2fx故选：C3.（2024·湖北武汉·模拟预测）函数fxA．是偶函数，且在区间0,+∞上单调递增 B．是偶函数，且在区间0,+C．是奇函数，且在区间0,+∞上单调递增 【答案】A【分析】借助函数奇偶性的定义可判断函数奇偶性，借助导数即可得函数单调性.【详解】∵fx的定义域为R，f∴fx当x>0时，f'x=故选：A.4.（2024·北京朝阳·二模）下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（

）A．f（x）=C．fx=x 【答案】D【分析】根据已知的各个函数的性质，可以直接作出判断.【详解】f（x）f（fxfx故选：D.考点五、利用函数奇偶性求参数1.（2023·全国·高考真题）已知f(x)=xexA．−2 B．−1 C．1 D．2【答案】D【分析】根据偶函数的定义运算求解.【详解】因为fx=x又因为x不恒为0，可得ex−e则x=a−1x，即1=a−1，解得故选：D.2.（2023·全国·高考真题）若fx=x+aA．−1 B．0 C．12 【答案】B【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出a值，再检验即可.【详解】因为f(x)为偶函数，则f(1)=f(−1)，∴(1+a)ln当a=0时，fx=xln2x−12x+1，2x−1则其定义域为x|x>12或f−x故此时fx故选：B.1.（2024·黑龙江·三模）已知函数fx=ex+e−xsinx−2A．−4 B．0 C．2 D．4【答案】A【分析】构造函数gx=fx+2，证明gx【详解】令gx=fx因为fx在−2,2上的最大值和最小值分别为M，N所以gx在−2,2上的最大值和最小值分别为M+2，N+2因为g−x所以gx为奇函数，g所以gx的最大值和最小值互为相反数，即M+2+N+2=0所以M+N=−4，故选：A.2.（23-24高三上·安徽安庆·阶段练习）已知函数fx=x3x2+2+3在区间−2023,2023上的最大值为【答案】6【分析】设gx=x【详解】设gx则gx的定义域为R由gx+g−x设gx在−2023,2023上的最大值为g由奇函数的对称性可知gx在−2023,2023上的最小值为g则函数fx=gx+3在区间−2023,2023上的最大值为所以M+m=gx故答案为：6.3.（23-24高三上·福建莆田·期中）函数fx=x2−6xsinx−3+x+ax∈0,6的最大值为【答案】2【分析】将函数解析式化为fx=[(x−3)2−9]sin(x−3)+x−3+a+3，设x−3=t∈[−3,3]，则f(x)=g(t)=(t2【详解】因为fx设x−3=t∈[−3,3]，则f(x)=g(t)=(t设ℎ(t)=(t则ℎ(−t)=−(t所以ℎ(t)是[−3,3]上的奇函数，最大值为M−(a+3)，最小值为m−(a+3)，所以M−(a+3)+m−(a+3)=0，由M+m=10，得a=2，故答案为：2.4.（2023高三·全国·专题练习）若关于x的函数fx=2tx2【答案】2【分析】根据三角恒等变换和分类常量法可得fx=t+tsinx+x2x2【详解】当−22≤x≤22时，0≤2x2所以fx的定义域为R又fx=2t设gx=tsinx+x2x2+cosx，则则M+N=0，则fx的最大数值为M+t，最小值为N+t∴fx的最大值与最小值之和为M+N+2t=4，得t=2故答案为：2．5.（2024高三·全国·专题练习）如果奇函数fx在3,7上是增函数且最小值5，那么fx在区间A．增函数且最小值为−5 B．减函数且最小值为−5C．增函数且最大值为−5 D．减函数且最大值为−5【答案】C【分析】根据奇函数的性质即可得对称区间上的单调性与最值.【详解】因为fx是奇函数，所以fx在区间−7,−3上的单调性与fx在3,7上的单调性相同，也是增函数，fx在所以fx在区间−7,−3上的最大值为f故选：C.考点六、利用函数奇偶性求解析式1.（23-24高三下·上海·阶段练习）已知函数y=fx,x∈R为奇函数，当x≥0时，fx=2xA．2x3+C．−2x3+【答案】B【分析】根据奇函数定义，结合x≥0的解析式直接求解即可.【详解】当x<0时，−x>0，∴f−x又fx为奇函数，∴f即当x<0时，fx故选：B.2.（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）fx为定义在R上的奇函数，当x>0时，fx=2x+1，则【答案】−【分析】由x<0时，得到−x>0，从而f−x=2−x+1【详解】解：当x<0时，−x>0，则f−x因为fx为定义在R所以fx故答案为：−1.（2024·江西景德镇·三模）已知函数fx=(12A．−12x B．12x 【答案】C【分析】设x>0，利用x<0时，fx=12x【详解】设x>0，则−x<0，所以f−x又函数fx是奇函数，所以f−x=−fx，即−fx=2即gx故选：C2.（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知fx为奇函数，gx为偶函数，且满足fxA．ex−e−x2 B．ex【答案】B【分析】根据题意可得f(x)+g(x)=ex+x【详解】由题意知，f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则f(−x)=−f(x),g(−x)=g(x)，所以f(x)+g(x)=ex+x解得g(x)=e故选：B3.（2024·云南昆明·模拟预测）已知fx，gx分别为定义在R上的奇函数和偶函数，fx+gx【答案】27【分析】根据函数奇偶性的定义，利用方程组法求出函数fx【详解】因为fx，gx分别为定义在而fx+g所以f(−x)+g(−x)=−x3+ax由①+②得f(x)=x3，所以故答案为：27.4.（23-24高一上·甘肃兰州·期末）设函数fx=ax+b1+x2是定义在−1,1上的奇函数，且【答案】f【分析】首先根据f0=0，求b，再根据f1【详解】由奇函数的性质可知，f0=b=0，即又f12=所以fx故答案为：f5.（2023·黑龙江·模拟预测）已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x<0时，fx=x−cosx+1，则当x⩾0【答案】x+【分析】由奇函数的性质即可求解，注意当x=0时要单调独验证.【详解】解：当x>0,−x<0,f−x=−x−cos−x+1所以f−x=−fx又f0=0+cos故答案为：x+cos考点七、利用单调性奇偶性解不等式1.（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）定义在R上的奇函数fx满足对任意的x1,x2∈0,+A．−2,0 B．−C．−2,0∪1,2 【答案】C【分析】根据题意可知fx在0,+∞上单调递增，结合奇函数的对称性可得fx在−【详解】因为对任意的x1,x可知fx在0,+且fx为定义在R上的奇函数，则fx在又因为f2=0,f0当x∈−2,0∪2,+∞时，fx当x∈−∞,−2∪0,2时，f当x∈−2,0,2时，f综上所述：不等式x−1fx≤0故选：C.2.（2024·广西贵港·模拟预测）已知函数f(x)=log4(A．(−∞,−2] B．(−∞,−2]∪[0,+∞)【答案】B【分析】判断函数的奇偶性和单调性，根据函数的性质，把函数不等式转化为代数不等式，再求解即可.【详解】f(x)=log44x+1对函数y=2x+2−x，x∈(0,+因为x∈(0,+∞)，所以2x>1，2−x<1，所以所以函数y=2x+2−x在(0,+所以f(a−1)≤f(2a+1)⇒a−1≤所以a2−2a+1≤4a2+4a+1⇒3故选：B1.（2024·湖北武汉·二模）已知函数fx=xx，则关于xA．13,+∞ B．−∞,1【答案】A【分析】消去绝对值可得函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可得.【详解】由fx=xx=x由f2x>f1−x，有2x>1−x故选：A.2.（2024·江西·模拟预测）已知奇函数fx在R上单调递增，且f2=1A．−1,1 B．−2,2 C．−2,+∞ D．【答案】D【分析】利用函数的奇偶性及单调性计算即可.【详解】由fx+1<0，可得因为fx是奇函数，且f2=1因为fx在R上单调递增，所以x故不等式fx+1<0的解集为故选：D3.（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）已知函数fx是定义在R上的偶函数，当x≥0时，fx=x2A．−∞,−3 C．−∞,−3∪【答案】D【分析】先判断fx在0,+∞上的单调性，再由其为偶函数将f−2>fx+1转化为f【详解】因为y=x2和y=−2所以fx=x因为fx是定义在R所以f−2>fx+1所以−2>x+1，解得故选：D4.（2014·全国·高考真题）已知偶函数fx在0,+∞单调递减，f2=0.若fx−1>0【答案】(−1,3)【详解】因为f(x)是偶函数，所以不等式f(x−1)>0⇔f(|x−1|)>f(2)，又因为f(x)在[0,+∞)上单调递减，所以|x−1|<2，解得−1<x<3.考点：本小题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性，考查绝对值不等式的解法，熟练基础知识是关键.5.（2024·湖南长沙·三模）已知函数fx=x3+2x−1,x≤1,【答案】−【分析】由函数解析式可得fx在R上单调递增，令gx=f【详解】函数fx=x又fx=x+3在(1,+所以fx在R设gx=fx+2+fx−4又g4=f6所以原不等式的解集为−∞故答案为：−∞考点八、函数的对称性1.（·全国·高考真题）函数f(x)=1A．y轴对称 B．直线y=−xC．坐标原点对称 D．直线y=x对称【答案】C【详解】f(x)=12.（2024·四川成都·三模）函数y=32x与A．关于x=2对称 B．关于x=1对称C．关于x=12对称 D．关于【答案】D【分析】首先得到曲线y=32x关于x=a的对称曲线为y=3【详解】因为曲线y=32x关于x=a的对称曲线为y=3y=34a−2x与y=31−2x对比系数可知所以函数y=32x与y=3故选：D1.（2024·吉林长春·模拟预测）函数f(x)=xA．(0,0) B．(1,−2) C．32,−27【答案】B【分析】设fx的对称中心为a,b，利用fa−x+fa+x=2b对任意x【详解】设fx的对称中心为a,b，则fa−x+f代入fx解析式，有a−x即6a−6x2+2所以6a−6=02a3−6a故答案为：B.2.（2024·宁夏银川·三模）已知函数fxA．函数fx单调递增 B．函数fxC．函数fx的图象关于0,1对称 D．函数fx的图象关于【答案】C【分析】分离常数，再根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A；根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B；根据对称性的定义，f2−x与f【详解】fx函数y=2−2t，t=2又内层函数t=2x−1+1在R上单调递增，外层函数y=2−所以根据复合函数单调性的法则可知，函数fx因为2x−1+1>1，所以0<2所以函数fx的值域为0,2f2−x=2所以函数fx关于点1,1故选：C.3.（23-24高三上·北京·开学考试）下列函数中，没有对称中心的是（

）A．f(x)=1x+1 C．f(x)=tanx 【答案】D【分析】结合函数图像及性质分别判断各个选项即可.【详解】f(x)=1x+1的对称中心是f(x)=x3的对称中心是f(x)=tanx的对称中心是f(x)=2故选：D.4.（22-23高三上·北京房山·期中）已知函数y=xA．该函数图象关于点1,1对称；B．该函数的图象关于直线y=−x+2对称；C．该函数在定义域内单调递减；D．将该函数图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位后与函数y=1【答案】C【分析】依题意可得y=xx−1，再根据函数的平移变换及反比例函数【详解】解：∵y=把y=1x向右，向上分别平移1个单位即可得到因为y=1x为奇函数，关于0,0对称，所以y=x则将y=xx−1的图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到由于函数y=1x的图象关于y=−x对称，根据函数的图象的平移可知函数y=xy=1+1x−1在(1,+∞故选：C．考点九、利用函数对称性求解析式1.（高考真题）与曲线y=1A．y=11+x B．y=−11+x C．【答案】A【分析】在与曲线y=1x−1关于原点对称的曲线上任取一点P1x,y，可知点P2−x,−y在曲线【详解】在与曲线y=1x−1关于原点对称的曲线上任取一点则点P1x,y关于原点的对称点P2−x,−y在曲线化简得y=1因此，与曲线y=1x−1关于原点对称的曲线为故选：A.2.（全国·高考真题）下列函数中，其图像与函数y=lnx的图像关于直线A．y=ln(1−x) B．y=ln(2−x) C．【答案】B【详解】分析：确定函数y=详解：函数y=lnx过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有故选项B正确点睛：本题主要考查函数的对称性和函数的图像，属于中档题．1.（22-23高三上·四川成都·阶段练习）下列函数中，其图象与函数f(A．y=−2x B．y=2−x C．【答案】D【分析】根据关于原点对称的性质进行求解即可.【详解】函数f(x)故选：D2.（22-23高三下·河南平顶山·阶段练习）下列函数中，其图象与函数y=log2xA．y=log22+xC．y=log24+x【答案】D【分析】设所求函数的图象上任意一点Px,y，求得关于x=2对称的点为Q【详解】设所求函数的图象上任意一点Px,y，则点P关于x=2对称的点为Q由题意知点Q在y=log2x即函数y=log2x关于x=2故选：D．3.（2022·湖北·模拟预测）下列函数与y=2A．y1=−2C．y1=−2【答案】C【分析】令f(x)=2x−cosx【详解】令f(x)=2x−cosx所以g(x)=−f(−x)=−[2故选：C4.（2023·陕西宝鸡·二模）请写出一个图像关于点1,0对称的函数的解析式．【答案】y=1【分析】可利用关于原点对称的图象，再把对称中心平移到点(1,0)即可得．【详解】y=1x的图象关于原点对称，则y=1x−1的图象关于点故答案为：y=15.（22-23高三上·广东汕头·期末）写出符合如下两个条件的一个函数fx=．①f−x−fx+2=0【答案】−x【分析】先求出对称轴，再结合单调性即可．【详解】∵f∴f∴函数的图象关于x=1对称，又∵函数在−∞∴符合条件的一个函数解析式可以是：fx故答案为：−x6.（20-21高三上·北京西城·期中）函数f(x)的图象与曲线y=log2x关于xA．2x B．C．log2(−x) 【答案】D【解析】任取函数f(x)上的一点x,y，先求出点x,y关于x轴对称的点坐标为x,−y，又点x,−y在曲线y=log【详解】任取函数f(x)上的一点x,y，由函数f(x)的图象与曲线y=log2x则点x,y关于x轴对称的点坐标为x,−y，又点x,−y在曲线y=log可得−y=log则fx故选：D.【点睛】关键点睛：求出点x,y关于x轴对称的点坐标是解题的关键.考点十、函数的周期性1.（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数f2x+5的周期是3，则fA．32 B．3 C．6 【答案】C【分析】根据函数周期的定义，求解即可．【详解】因为f2x+5所以f2x+5=f[2x+3则f(y+5)=f(y+11)，所以f(x)的周期为6，故选：C．2.（2024·全国·模拟预测）德国数学家狄利克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，下列关于狄利克雷函数D(x)=1,xA．D(D(x))有零点 B．D(x)是单调函数C．D(x)是奇函数 D．D(x)是周期函数【答案】D【详解】根据狄利克雷函数的性质即可由D(x)=0或D(x)=1均为有理数求解A，根据D(1)=D(2)=1,D(2)=0即可判断单调性求解B，根据x和−x同为有理数或同为无理数，即可求解C，根据x和【分析】对于A，因为D(x)=0或D(x)=1均为有理数，所以D(D(x))=1>0，故D(D(x))没有零点，A错误，对于B，因为D(1)=D(2)=1,D(2)=0，所以故D(x)不是单调函数，B错误，对于C，因为x和−x同为有理数或同为无理数，所以D(−x)=D(x)，故D(x)是偶函数，C错误，对于D，设T为任意非零有理数，则x和x+T同为有理数或同为无理数，所以D(x+T)=D(x)，故D(x)是周期函数（以任意非零有理数为周期），D正确，故选：D.1.（22-23高三上·广东广州·阶段练习）已知实数a>0，函数fx的定义域为R，则“对任意的x∈R，都有fxA．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分、必要性的定义，结合周期性判断题设条件间的推出关系.【详解】由∀x∈R有f(x)=-f由2a是函数fx的一个周期，则f(x)=f(所以“对任意的x∈R，都有fx-a故选：B2.（20-21高三上·上海崇明·阶段练习）关于函数的周期有如下三个命题：甲：已知函数y=f(x)和y=g(x)定义域均为R，最小正周期分别为T1、T2，如果T1乙：y=f(x)不是周期函数，y=|f(x)|一定不是周期函数；丙：函数y=f(x)在R上是周期函数，则函数y=f(x)在[0,+∞)上也是周期函数.其中正确的命题的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】根据周期的定义，依次判断即可.【详解】对甲：设T1T2=mn∈Q，m,n∈Zf(x+T)+g(x+T)=f(x+nT对乙：f(x)=sin|x|不是周期函数，但对丙：函数y=f(x)在R上是周期函数，则存在非零常数T，对任意x∈R都有f(x+T)=f(x)，故当x≥0时，也有f(x+T)=f(x)，即f(x)仍是周期为T的函数，故丙说法正确.故选：C【点睛】本题主要考查对周期的定义的运用，属于中档题.3.（2024高三·全国·专题练习）已知函数f（x）的定义域为R，且对于x∈R，恒有f（x＋1）＝－f（x），则函数f（x）的周期为．【答案】2【分析】利用已知条件进行代换即可得到答案.【详解】已知fx+1=−fx，用x+1替换式子中的x故答案为：24.（22-23高三·全国·对口高考）若存在常数p>0，使得函数fx满足fpx=fpx−p【答案】12/【分析】令gx【详解】令gx=fpx，对任意的x∈R使得fpx=fpx−故函数gx的一个周期为12，即函数fpx故答案为：12考点十一、奇偶性与周期性求值1.（23-24高三下·云南·阶段练习）定义在R上的函数fx满足f1−x=fx+1，且y=fx+2为奇函数．当x∈A．−5 B．−2 C．−1 D．1【答案】B【分析】由题意求得周期，再根据f2023【详解】因为函数y=fx+2为奇函数，则f即f2−x+f2+x又因为f1−x=fx+1所以fx+fx−2则fx+2=fx−2所以f2023故选：B．2.（2024·福建泉州·模拟预测）已知y=fx+1+1为奇函数，则A．6 B．5 C．−6 D．−5【答案】D【分析】根据奇函数性质对函数fx=fx+1【详解】由题y=fx+1+1为奇函数，则所以f(−x+1)+f(x+1)=−2⇒f(2−x)+f(x)=−2，所以fx关于(1,−1)所以f−1故选：D.1.（2024·江西·二模）已知定义在R上的函数f(x)满足f(0)=0,f(3x)=4f(x)且f(1−x)+f(x)=2，则f2A．32 B．12 C．23【答案】A【分析】根据题意，可得fx关于12,1对称，进一步求得f1=2【详解】由f1−x+fx=2，可知fx关于1又f3x=4fx∴f13=故选：A.2.（2024·贵州黔西·一模）已知f(x+4)=f(−x)，f(x+1)为奇函数，且f(2)=2，则f(2023)+f(2024)=（

）A．4047 B．2 C．−2 D．3【答案】C【分析】根据题意，推得fx=f(x+4)，得到y=fx是周期为4的周期函数，再由f(2)=2，f1=0，求得f(0)=−2【详解】由函数f(x+1)为奇函数，可得fx关于点(1,0)对称，且f所以f(x)=−f(2−x)，即f(−x)=−f(2+x)，又因为f(x+4)=f(−x)，可得f(x+4)=−f(2+x)，即fx=−f(x+2)，则fx+2所以函数y=fx是周期为4因为f(2)=2，f1=0，可得f(0)=−f(2)=−2，所以f(2023)+f(2024)=f(505×4+3)+f(506×4)=f(3)+f(0)=0−2=−2.故选：C.3.（2020·重庆沙坪坝·模拟预测）定义在R上的奇函数fx满足fx+1=f1−x，且x∈[0,1]时，A．−1 B．1 C．7 D．−【答案】A【分析】由题可得f(log【详解】∵f(x+1)=f(1−x)，∴f(log又f(x)是奇函数，且x∈0,1时，f(x)=∴f(−1)=−f(1)=−2∴f(log故选：A.【点睛】本题综合考查了函数奇偶性和对称性的应用，考查简单的指、对数计算，难度不大.4.（2024·宁夏固原·一模）已知定义在R上的函数fx满足对任意实数x都有fx+3=fx+2fx+1，fx【答案】n【分析】由fx=f2−x可得函数fx的对称性，再对fx+3=fx+2fx+1中的x进行赋值，依次得到f(0)【详解】由fx=f2−x可得函数f因f2=1，故f(0)=1，在fx+3=fx+2再令x=0，代入可得f(3)=1，再令x=1，代入可得f(4)=1，⋯，故令x=n−3，代入可得f(n)=1，故k=1n故答案为：n.5.（23-24高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数fx=log2x−a+1，当x∈x【答案】2【分析】由题意条件得到fx的图象关于直线x=4对称，从而得到a=4【详解】由f6+x=f2−x可知，函数f而函数fx=log2x−a所以fx所以f2故答案为：2考点十二、奇偶性与周期性求参数1.2024·全国·模拟预测）若函数fx=4x−4A．0 B．−1 C．1 D．2【答案】C【分析】特殊值法：由图象关于点1,0对称可得f0【详解】解：∵fx的图象关于点1,0∴f0+f2解得a=1,∴fx经检验知fx的图象关于点1,0故选：C.2.（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=1exA．1 B．2 C．e D．e【答案】C【分析】利用函数中心对称的性质，代入化简解方程即可求得a=e【详解】由对称中心性质可知函数fx满足f即1e整理可得e3−x+e解得a=e故选：C1.（2023·江西南昌·三模）若实数m,n满足m3+6mA．-4 B．-3 C．-2 D．-1【答案】A【分析】根据给定等式构造函数f(x)=x3+6【详解】令函数f(x)=x3+6则函数f(x)在R上单调递增，又f(−2+x)+f(−2−x)=+(−2−x)3+6(−2−x)2由m3+6m2+13m=10所以m+n=−4.故选：A2.（2023·山西临汾·模拟预测）若9a+a−2⋅3A．13 B．12 C．1【答案】C【分析】变形给定等式，构造函数并探讨函数性质推理计算即得.【详解】由9a+a−2⋅3由9b+b+1⋅3在函数y=g(x)图象上任取点(x,y)，该点关于直线x=12对称点显然y=3x−1−即点(1−x,y)在函数y=f(x)的图象上，因此函数y=g(x)图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1而点a,0在函数y=fx的图象上，点b,0在函数y=g又函数f(x)在R上单调递减，函数g(x)在R上单调递增，所以a,b的值唯一，于是点a,0与点b,0关于直线x=12对称，所以故选：C【点睛】结论点睛：函数y=f(x)的定义域为R，则函数y=f(a+x)与y=f(b−x)的图象关于直线x=b−a3.（23-24高三上·安徽淮南·阶段练习）函数fx=x2+2xA．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据题意易得方程组f0【详解】因为函数fx=x2+2x所以f0=f2f−1经检验满足题意，所以a+b=2，故选：C.4.（2024高三下·全国·专题练习）已知函数gx=x3−9x2+29x−30，【答案】6【分析】根据给定函数，探讨其图象的对称中心，再利用对称性求出m+n.【详解】设函数fx图象的对称中心为a,b，则有2b=f即2b=x整理得2b=(6a−18)x2−(12因此函数fx图象的对称中心为3,3，又fm=−12，f则点m,fm和点n,f故答案为：65.（23-24高三上·广东东莞·期末）若函数fx=x2−2xx2+ax+b的图象关于x=−2【答案】34−36【分析】由函数的对称性可知，方程x2+ax+b=0的两根分别为x=−4、x=−6，利用韦达定理可求得a、b的值，可得出a+b的值，变形可得出fx=x2+4xx2【详解】因为函数fx=x令fx=0，可得x2−2x=0，可得由对称性可知，方程x2+ax+b=0的两根分别为x=−4、由韦达定理可得−4−6=−a−4×−6所以，fx则f−4−x所以，函数fx=xx−2x+4x+6因为fx令t=x2+4x=所以，ℎt故答案为：34；−36.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是注意到方程x2−2x=0有两个根，利用fx的对称性求得x6.（23-24高三上·山东济宁·期中）已知函数fx=x+alog2x−2【答案】65【分析】先通过定义域关于直线x=b对称求出b，再通过f52=f72求出a，证明函数fx=【详解】∵函数fx=x+a又函数fx关于直线x=b对称，即定义域2,4也关于直线x=b∴b=3∴f5∴5解得a=−3，证明：fx=x−3f6−x故fx=x−3∴2故答案为：658考点十三、奇偶性与周期性解不等式1.（2022·四川凉山·二模）定义在R上的奇函数fx，满足fx+2=−fx，当0≤x≤1时A．12,+∞C．4k+12,4k+【答案】C【分析】根据题意求得函数fx是周期为4的函数，且图象关于x=1对称，进而画出函数的图象，得到当x∈[−1,3]时，求得f【详解】由题意，函数fx满足fx+2=−f所以函数fx又由fx为R上的奇函数，可得f所以fx+2=f−x，可得函数f因为当0≤x≤1时fx可函数fx当x∈[−1,3]时，令fx=12，解得所以不等式fx≥1故选：C.2.（2022·湖北十堰·模拟预测）已知函数f(x−1)是偶函数，f(x)在区间[−1,+∞)内单调递减，f(−3)=0，则不等式A．(−3,−1)∪(1,+∞) C．(−∞,−2)∪(−1,1) 【答案】B【分析】根据f(x−1)是偶函数得到f(x)的图像关于直线x=−1对称，由函数单调性结合f(−3)=0得到f(1)=0，及(−∞,−1)【详解】由f(x−1)是偶函数知f(x)的图像关于直线x=再根据f(x)在区间[−1,+∞)内单调递减和f(x)在区间(−∞,−1)内单调递增，则函数y=f(x)和y=ln由图象可知：当x∈−3,−2∪0,1时，故f(x)⋅ln|x+1|>0的解集为故选：B．1.（23-24高三上·江苏徐州·阶段练习）已知函数fx=xA．13,+∞ B．1,+∞ C．【答案】A【分析】由题意可得f−x+fx=−2，问题转化为【详解】∵fx=x3−所以不等式fx+f2x−1又y=x3在R上单调递增，进而y=−2ex∴2x−1>−x，解得x>1所以原不等式的解集为13故选：A.2.（2023·甘肃张掖·模拟预测）已知函数f(x)的定义域为R，fx−1的图象关于点(1,0)对称，f3=0，且对任意的x1,x2A．−∞,1∪C．−4,−1∪1,2 【答案】C【分析】首先根据f(x−1)的图象关于点(1,0)对称，得出(x)是定义在R上的奇函数，由对任意的x1，x2∈(−∞,0)，x1≠【详解】∵f(x−1)的图象关于点(1,0)对称，∴f(x)的图象关于点(0,0)对称，∴f(x)是定义在R上的奇函数，∵对任意的x1，x2∈(−∞,0)，x1≠x2，满足f(又f3=0所以f−3所以当x∈−∞,−3∪0,3时，f所以由x−1fx+1≥0可得x−1<0,−3≤x+1≤0或解得−4≤x≤−1或1≤x≤2，即不等式x−1fx+1≥0故选：C.3.（23-24高三上·辽宁辽阳·期末）已知fx+1是偶函数，fx在1,+∞上单调递增，fA．1,+∞ B．C．−2,0∪0,2 【答案】D【分析】由条件结合图象平移得到f(x)的图象，结合图象即可求解.【详解】函数f(x)的图象可由fx+1因为fx+1是偶函数，则其图象关于y所以f(x)的图象关于直线x=1对称，又fx在1,+∞上单调递增，则f(x)在又f0=0，则有当x+1>0，即x>−1时，需f(x)>0，解得−1<x<0或x>2；当x+1<0，即x<−1时，需f(x)<0，无解；综上，不等式x+1fx>0故选：D4.（2022·上海·模拟预测）设fx是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间1,2上严格递减，且满足fπ=1，f2π=0【答案】2π−6,4−π【分析】首先根据函数的周期性和奇偶性得到fx区间0,1上严格递增，又根据f4−π=fπ=1【详解】因为fx是偶函数，且在区间1,2所以fx区间−2,−1又因为fx的周期为2，所以fx区间又因为f4−π=fπ所以0≤x≤10≤f解得2π−6≤x≤4−π.故答案为：2π−6,4−π5.（2022·江西景德镇·三模）周期为4的函数fx满足fx=f4−x，且当x∈0,2时fx=【答案】−1,1【分析】由周期性及已知确定函数是偶函数，再说明函数在[0,2]是增函数，然后利用奇偶性与单调性解不等式．【详解】f(x)周期是4，则f(x)=f(4−x)=f(−x)，所以f(x)是偶函数，x∈[0,2]时，f(x)=x3−1不等式fx≤0化为所以x≤1，−1≤x≤1故答案为：[−1,1]．6.（22-23高三上·全国·阶段练习）已知函数f(x)在R上单调递增，若f(4−x)+f(x)=2，且f(3)=2，则0≤f(x−1)≤2的解集为.【答案】2,4【分析】依题意可得fx的图像关于点2,1对称，即可得到f【详解】解：因为f(4−x)+f(x)=2，所以fx的图像关于点2,1因为f(3)=2，所以f1=0，又f(x)在所以0≤f(x−1)≤2等价于f1≤fx−1≤f3所以原不等式的解集为2,4；故答案为：2,41．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数fx=xA．−1 B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】由奇函数的定义可得f(x)+f(−x)=0，结合对数的运算性质计算即可求解.【详解】因为f(x)为R上的奇函数，所以f(x)+f(−x)=0，即x3整理得lna=0，解得a=1故选：C2．（2024·山东泰安·三模）已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x≥0时，fx=−A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由奇函数性质可求得a的值，结合f(−a)=−f(a)计算即可.【详解】由题意得，函数f(x)为奇函数，且定义域为R，由奇函数的性质得，f0=a−1=0，解得所以当x≥0时，fx所以f−a故选：D.3．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数f2x+1为偶函数，若函数gx=fA．1 B．2 C．3 D．0【答案】D【分析】由函数gx的图象关于x=1对称得零点关于x=1对称，但g【详解】因为函数f2x+1为偶函数，所以f所以y=fx的图象关于x=1令ℎx=2可得函数ℎx=2所以函数gx=fx则函数gx的零点关于x=1对称，但g则f1故选：D.4．（2024·四川成都·模拟预测）函数y=3x与A．关于x轴对称 B．关于y轴对称C．关于原点对称 D．关于y=x对称【答案】C【分析】根据函数图象的对称性即可判断，对于两个函数f(x)与g(x)，如果它们的图象关于原点对称，即g(−x)=−f(x)在定义域内恒成立，则称f(x)与g(x)为中心对称，利用指数函数的图象的对称性，得出结论.【详解】令函数y=fx所以g即g(−x)=−f(x)，所以函数f(x)与g(x)的的图象关于原点对称，即函数y=3x与故选：C.5．（2024·青海西宁·模拟预测）已知函数fx是定义在R上的偶函数，且满足fx+4=fx，当x∈−2,0时，f【答案】2【分析】由题意可得T=4且f1【详解】设函数fx的最小正周期为T，则T=4因为fx是定义在R上的偶函数，所以f所以f1故答案为：26．（2024·四川内江·三模）若函数f(x)=x2+ax,x≥0bx【答案】−3【分析】利用奇函数定义，结合分段函数分段探讨求解即得.【详解】函数f(x)=x2+ax,x≥0当x<0时，−x>0，f(x)=−f(−x)=−(x而当x<0时，f(x)=bx2−2x当x>0时，−x<0，f(x)=−f(−x)=−(bx而当x>0时，f(x)=x2+ax所以b=−1,a=−2，a+b=−3.故答案为：−37．（2024·云南曲靖·模拟预测）写出满足f2x−1为R上的偶函数且f0=2【答案】fx【分析】先由题给条件求得fx的图象性质，结合f【详解】由f2x−1为R上的偶函数可得f−2x−1=f则fx的图象关于直线x又f0=2，结合二次函数性质可得故答案为：fx1．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数f(x)=cosx−2A．−∞,−πC．−∞,−π【答案】D【分析】先利用偶函数定义判断fx为偶函数，再利用导数得到fx在0,+∞【详解】函数f(x)=cosx−2f(−x)=cos−x−由f(x)=cosx−2当x>0时，x∈2kπ,2kπ+有f'x∈2kπ+π,2k有f'(x)=−sin所以fx在0,+∞上单调递减，又所以f(x)>32等价于fx>fπ所以−π2<x<故选：D2．（2024·山东青岛·三模）定义x表示不超过x的最大整数.例如:1.2=1A．x+y=C．fx=x−x是偶函数 【答案】B【分析】A选项，取特殊值，判断出A选项的真假；B选项，设y=[x+n]表示不超过x+n的最大整数，可得y与x,n的关系，可得[x]+n=y，判断出B选项的真假；C选项，取特殊值，利用偶函数定义验证，判断出C的真假；D中，取特殊值，判断出函数不是增函数，判断出D的真假.【详解】A选项，取x=1.1,y=1.9，则x+y=1+1=2，[x+y]=3B选项，设y=x+n表示不超过x+n的最大整数，所以y≤x+n所以y−n≤x，所以[x]≤y−n，所以[x]+n≤y，即[x+n]≤y，所以[x+n]=y，所以[x+n]=[x]+n，故B正确；C选项，f(x)=x−[x]，因为f(0.1)=0.1−0=0.1,所以f(0.1)≠f(−0.1)，所以f(x)不是偶函数，故C错误；D选项f(0.1)=0.1,f(1.1)=0.1，所以f(0.1)=f(1.1)，所以故选：B.3．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数fx满足：对任意实数x，y，都有ffx+yA．fx+1为奇函数 B．fC．fx+1为偶函数 D．f(x)−1【答案】D【分析】由题意令x=y=0，可得f1=2，令y=−x，可得2=fx+f−x【详解】令x=y=0，则ff0=f0+f令y=−x，则ff即f1=fx所以y=f(x)关于(0,1)对称，所以fx+1关于(−1,1)f(x)+1关于(0,2)对称，故B不正确；由A可知|fx+1|关于由A可知f(x)−1关于(0,0)对称，故f(x)−1为奇函数，所以|f(x)−1|为偶数，故D正确.故选：D.4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数fx的定义域为R，fA．f0=0 C．fx+1为偶函数 D．f【答案】D【分析】令y=0，fx=0或f0=1，分类讨论可求f0=1，判断A；令x=0，可得【详解】对于A：令y=0，得fxf0−fx=0，即当fx=0时，fx对于B：解法一：令x=0，得f0fy所以fy=1−y，故解法二：令x=0,y=−1，得f0f−1−f0对于C、D：由B选项可知fx=1−x，则fx+1故选：D.5．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）定义在R上的函数gx满足gx=fx+2x，gx+2为偶函数，函数A．−46 B．4 C．−50 D．−4【答案】C【分析】借助抽象函数的奇偶性、对称性以及周期性即可解答.【详解】因为f3x+1关于0,2对称，有f令3x+1=t，则f2−t+ft=4，由gx+2为偶函数，得g2+x=g2−x，则因为f2−t所以f2−t即g2−t+gt=8，则所以gx+g2−x所以gx+g2+x所以gx+4=gx，所以4因为g