2025江苏宿迁高三第一次调研考试数学试题（含答案详解）

2024-2025学年度第一学期高三8月份学情调研

数学试卷

总分：150分考试时间：120分钟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合河=以一20工1}川={-2,-1,0,1},则”C|N=()

A.{-1,1}B.{-2,—1,0}C.{-1,0,1}D.{-1,-2,0,1}

2.命题“HxeR,Y+x+ivo”的否定为()

A.玉eR,尤？+尤+120B.Bx^R,尤2+X+INO

C.VxeR,x2+x+l>0D.Yx史R,%2+x+l>0

3.若。>0力>0,。+26=3,则的最小值为()

ab

A.9B.18C.24D.27

4.已知函数〃x）的值域为[-2,3],则函数f（x-2）的值域为

A.[T,l]B.[0,5]C.D.[-2,3]

0ex-1

5.我们把分子、分母同时趋近于。的分式结构称为《型，比如：当x-0时，」的极限

0x

即为/型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出

洛必达法则:在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如:

2

ex-]exr-1

lim-------=lim—=1，贝Ilim------=)

iox…Xfx->0\exIn%

A.0B.-C.1D.2

2

6.2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国89岁高龄的著名数学家阿蒂亚

爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在1859年，德国数学家黎曼

向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的

黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字x的素数个数

大约可以表示为兀（，人熹的结论.若根据欧拉得出的结论,估计1。。。°以内的素数个数为

（）（素数即质数，lge«0.43,计算结果取整数）

A.1079B.1075C.434D.2500

V71

7.已知“尤=।,若方程〃x)=m("zeR)有四个不同的实数根A，Z,x3,

X2-4.X+5,X>1

X4,则玉,X2・X3,X4的取值范围是()

A.(3,4)B.(2,4)C.[0,4)D.[3,4)

8.lj(x)是在[0』上的连续函数，设从4/代^:/同则().

A.4,B.c.24<D.24VAi

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中,

有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0

分.

9.已知函数/'(司=/+：尤2-4尤，贝U()

A.x=2是f(x)的极小值点B.f(x)有两个极值点

C.的极小值为1D.“X)在［0,2］上的最大值为2

10.下列命题正确的有()

A.函数〃2x)定义域为［-2,2］,则/(巧的定义域为［-2,2］

B.函数f(x)=ln(GTT+x)是奇函数

C.已知函数/'(x)=|lgx|-左存在两个零点工,尤2，则王马=左

D.函数/(x)=x+1在(0,+co)上为增函数

11.已知x>0,y>0,2x+y=l,贝I］()

A.4,+2,的最小值为20B.Iog2*+log2y的最大值为-3

2x2v21

c.y—九一w的最小值为-1D.——H—的最小值为:

x+2y+16

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.VxeR,函数/'(*)=/+依2+3依+4没有极值的充要条件为

13.已知函数"x)=lg(x2-«x+12)在［-1,3］上单调递减，则实数a的取值范围是

试卷第2页，共4页

14.设集合S=｛xeR+|x"=〃,"eN+｝则集合S中最小的元素是,集合S中最大的元素

是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

15.已知集合尸=｛尤|2尤2—3%+1<。｝,。=｛尤|(元一。)(九一。-1)<。｝.

(1)若。=1,求尸cQ；

(2)若无£P是不£(2的充分条件，求实数〃的取值范围.

16.已知函数/(x)=办2+陵+18,/(尤)>0的解集为(-3,2).

(1)求/(%)的解析式；

(2)当x>T时，求y=〃x)-21的最大值.

X+1

17.如图，在四棱锥尸—ABCD中，底面ABC。为梯形，AB//DC,AB=2BC=2CD=2,

ZABD=60°,PB±AD,PB=PD=l.

⑴求点P到平面A3C。的距离；

(2)在棱PC上是否存在点尸，使得平面。8尸与平面PBC夹角的余弦值为2?若存在，求出

点尸的位置；若不存在，请说明理由.

18.已知函数/(x)=2，，若点尸(七,%)在y=/(x)的图像上运动，则点。(―+1)在

y=g(x)的图象上运动

(1)求尸(彳)=/。)+/(-彳)的最小值，及相应的x值

(2)求函数y=g(x)的解析式，指出其定义域。，判断并证明G(x)=/(x)+g(尤)在。上的

单调性

(3)在函数、=/(尤)和、=8(尤)的图象上是否分别存在点48关于直线y=x-l对称，若存

在，求出点A3的坐标；若不存在，请说明理由

19.帕德近似是法国数学家亨利・帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正

整数机，n,函数在尤=0处的[犯耳阶帕德近似定义为：R（x）="；+：x+•一+?：

i+UyX+•••+bnx

且满足：/（0）=A（0）"'（0）=R'（0）"〃（0）=R"（0）,…/"+"）（O）=R（">"）（O）.（注：

rw=[rwLfa）=K〃闻，/⑷⑴=/⑴]J⑸⑴=⑴],…⑴为

"f⑺的导数）已知〃X）=In（X+1）在X=0处的[1』阶帕德近似为g（x）=三、.

⑴求实数机，”的值；

⑵证明：当无2。时，/（%）>§（%）；

⑶设。为实数，讨论方程/（x）-|g（%）=0的解的个数.

试卷第4页，共4页

1.c

【分析】根据集合的交集定义即可求解.

【详解】由题知，

VM={x|-2<x<l},?/={-2,-1,0,1},

McN={-1,0,1},

故选：C.

2.C

【分析】将存在量词改为全程量词，结论中范围改为补集即可得解.

【详解】“玉eR,/+x+i<o，，的否定为“VxwR,一十尤+INO”，

故选：C.

3.A

【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得最小值.

【详解】根据题意可得

36016a6b'

—+->-15+2J---------=9；

ab3va

当且仅当拳=匕，即。=1*=1时，等号成立;

ba

此时的最小值为9.

ab

故选：A.

4.D

【详解】函数/(x-2)的图象由的图象向右平移2个单位得到，故值域相同，故选D.

5.D

【分析】利用洛必达法则直接求解即可

x2-l=1一2x

【详解】1皿=lim=2,

x3InxI(%31nx)X—>13x2Inx+x2

故选：D

6.B

【分析】计算Mwooo)的值，即可得解.

答案第1页，共13页

【详解】因为兀(10000)=-------=-----=25001ge»2500x0.43=1075,

V7In1000041nl0

所以，估计10000以内的素数个数为1075.

故选：B.

7.D

【分析】利用数形结合可得1<〃三2,结合条件可得不2=1,14尤3<2,2<X4<3,且

鼻+匕=4,再利用二次函数的性质即得.

【详解】由方程/(元)=m(meR)有四个不同的实数根，

得函数y=/(x)的图象与直线y=m有四个不同的交点，分别作出函数y=/(x)的图象与直

线y=7".

-4xi-3-2-1X2O1x32x43*

-1-

由函数/(%)的图象可知，当两图象有四个不同的交点时，1V机<2.

设丁=加与丁=|1口(—%)|(%<0)交点的横坐标为4，/，设e<工2，则为v-1，-1<X2<0,

由M(-%)=|ln(-々)1得In(-占)=-ln(-x2),

所以(一%)(-％)=1，即%无2=1-

设y=7"与、=Y一4x+5(x21)的交点的横坐标为鼻，x4,

设了3<%,贝I]1WX,<2,2<x4<3,且X3+X4=4,

所以W%=A3(4-X3)=-(X3-2)"+4G[3,4),

则xtx2x3x4e[3,4).

故选：D.

8.A

【分析】举反例即可反驳BCD,利用绝对值不等式即可判断A正确.

答案第2页，共13页

nkknI

【详解】对CD,取〃力=无，则有A,=£------=£—=i，

k=ln〃k=l几

则4“=1,贝l]24>4.,故C错误，An+m=l,则2A故D错误;

对B,取〃X）=MI）,则4=/（o）-/Q^+/QV/（i）=1.

此时4>4,则B选项错误;

因此选项A正确.

故选：A.

9.BD

【分析】对应/（%）求导，根据其符号确定单调区间并判断极值点、求极值判断ABC；进而

求函数在［0,2］上的最大值判断D.

【详解】由题设/'（尤）=3炉+元-4=（3%+4）0-1）,

令（。）>0,贝|］*<一］或彳>1,令尸（无）<0,则\<X<1,

44

所以（-9-§）、（1,+8）上，（无）递增，（-§,1）上“X）递减，

（4>1045

故/卜§1=方为极大值，"D=一;为极小值，A、C错误，B正确；

在［0,2］上，在口1）上递减，在（1,2］上递增，m/（0）=0</（2）=2,

所以〃x）在［0,2］上的最大值为2,D正确.

故选：BD

10.AB

答案第3页，共13页

【分析】根据抽象函数定义域求解法则判断A,根据奇函数定义判断B,根据零点定义建立

方程，数形结合，判断C,根据对勾函数单调性判断D.

【详解】对于A,由函数/(2x)定义域为[-2,2],则2无w[T,4],

因此在中，x2e[-4,4],解得》且一2,2],即的定义域为[一2,2],故A正确；

对于B,函数〃x)=ln(V?W+q定义域为R,

且/(-x)=ln[](-x)2+l-x)=ln(Jf+l+x)=-〃彳)，所以函数/(x)为奇函数，故B正

确；

对于C,由函数〃x)=|lgX-左存在两个零点网12，即占应为|lgx|=左的两根，

则可得11gxi|=|lg引，令乂=|lgx|,y2=k,

结合函数V=|lgx|图象可设可«0,1),彳2«1，+°°),则疑<0,也2>°，

所以-IgX]=1酩，所以占72=1，而左不一定为1，故C不正确；

对于D,函数/(同=尤+：为对勾函数，在区间(0,1)单调递减，在(1,+8)单调递增，故D

不正确.

故选：AB.

11.ABD

【分析】根据指数运算，结合基本不等式即可判断A；结合对数运算，利用基本不等式可判

断B；将y-x-w化为关于尤的二次函数，结合二次函数性质可判断是c；通过变量代换,

令"?=无+2,〃=y+l,得到2加+〃=6,根据T的巧用，将一^'+二~；变形后，利用基本不

尤+2y+\

等式，即可判断D..

【详解】对于A,由于尤>0,y>0,2尤+y=l,故4N+2y=22-,+2丫22,22*.2»=2巧+丫=2挺，

当且仅当2尤=丫，结合2x+y=l,即尤=；y=：时，等号成立，

42

答案第4页，共13页

即4、+2,的最小值为2啦，A正确；

对于B,由于%>0,y>0,2x^-y=l>2y]2xy,贝!J孙

8

当且仅当x=(,y=g时，等号成立，

log2+log2y=log2(xy)<log21=-3,即logzX+log2y的最大值为-3,B正确;

o

对于C,又％>0,y>0,2%+y=l,得y=l—2%，

^y-x-xy=(1-2x)-x-x(l-2x)=2x2-4x+l

由于0<2%<1/.0<%<工，而y=2必一4%+1对称轴为兀=1,

2

则y=2f_4x+l在(0,g)上单调递减，在(0,g)上无最值，C错误;

对于D,令机=x+2,〃=y+1,则|%=相一2,y二〃一1,

2x2y22m2—8m+8n2—2n+l_81._

故---+——=-----------+---------=2m+n+一+——10,

x+2y+1mnmn

由于％>0,y>0,故相

2m+n=2(X+2)+(y+l)=2x+y+5=6,

当且仅当包=2丝，结合2机+几=6,即根=与,〃=§时，等号成立，

mn55

oiosi

所以2根+〃+—+——10>6+——10=-,

mn66

22

即T?r+5v的最小值为1!，D正确，

x+2y+16

故选：ABD

【点睛】难点点睛：本题考查了基本不等式的应用，主要是求最值问题，难点是选项D的

判断，解答时要通过变量代换，令机=x+2,〃=y+l,得到2m+〃=6,根据力”的巧用，将

22

—2x+\V变形后，利用基本不等式，即可求解.

x+2y+1

12.Q<a<9

【分析】求导后可得尸0)>0恒成立，计算A=4q2一36a40即可得.

【详解】f\x)=3^+2ax+3a,注意到广⑺是开口向上的二次函数,

若“力没有极值，则只能是尸⑺20恒成立,

答案第5页，共13页

即A=4〃一36“40,解得0Wa<9.

故答案为：0<a<9.

13.[6,7)

【分析】根据复合函数的单调性，结合二次不等式恒成立问题，列不等式组求解即可.

【详解】/(x)=lg(x2-ox+12)由y=lgf«>O),r=，-依+i2(-l〈x43)复合而成.

而y=1g9>0)单调递增,只需要f=/一依+12(-1<x<3)单调递减.

［£>3

且在［-整］上f=V一方+i2>o恒成立.则2一即可，解得64a<7.

［32-3O+12>0

故实数。的取值范围是叵7).

故答案为：［6,7).

14.1^3

InYInx1

【分析】构造函数〉=十，借助函数尸三的单调性找到且(尤)=尸的单调性即可求解.

【详解】・〃，XGHG,贝［］布一

.•x"=R+,N+人一"V，匕-fI7,

j巾r®In%r,\,1-lnx

构造函数>=——,xe［l,+a)),贝——--,

xx~

令y'=。，贝!J%=e,

当xw［l,e),/>0,当％«e,+e),/<0,

二函数y=?在［1,e)上单调递增,在(e,+e)上单调递减，

又y==InX*,则ey=,

令g(x)=l，则函数g(x)=C在［l，e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，

且X-+8时，g(x)->1,

11

因此结合函数=(的性质知,%=疝，XGR+,HGN+,

当〃=1时，％min=1'

又当〃=2时，*=6,当〃=3时，％=盯，

又9=(%)6=8,故小>近,因此当〃=3时，Xa=6.

故答案为：1;5.

答案第6页，共13页

【点睛】思路点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的

教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联

系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对

函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据

题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，

如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

15.(1){1}；(2)0,1.

【解析】(1)由集合描述可得「=口无41},Q={x|lVxV2},根据集合交运算即可求

PcQ；(2)由xe尸是尤eQ的充分条件知P=Q列不等式组即可求a的范围.

【详解】(1)P={X|2X2-3X+1V0}={X|，V尤VI},

2

当a=1时，Q={x[(%—1)(兀一2)40}={111«x«2},

则PcQ={l}；

(2)\9a<a+l,

:.Q={x\(<x—a)(<x—a—i)<O}={x\a<x<a+\]

・.・九£「是％£Q的充分条件，

•・P三Q,

；1

d<—1

<2,解得OWaW],

\<a+\

即实数。的取值范围是0,1.

【点睛】本题考查了集合的关系以及基本运算，首先根据集合描述写出集合，利用交运算求

交集，再由充分条件得到包含关系，列不等式组求参数范围.

16.(1)f(x)=—3x2—3x+18；(2)Vmax=-3.

【分析】(1)由/(力>o的解集为(-3,2),结合根与系数关系求可求a,b的值,进而得到f(%)

的解析式；(2)化简函数式为>结合基本不等式求最大值即可；

【详解】⑴因为函数/(力=加+区+18,了(力>0的解集为(-3,2),

那么方程ax?+乐+18=0的两个根是-3,2,且avO,

答案第7页，共13页

-3+2=-l=--

a=-3

由韦达定理有<an

。c「18b=-3

—3-2=—o=——

a

所以“xA-a%27尤+18.

/(x)-21-3X2-3X-32X(x+1)+1(1)「1」,

⑵y=、，—=----——=-3・二——f—=-3x+—-=-3(x+l)+---1,由

X+lx+lx+lIx+l)LX+1_

x>-l,则:

根据均值不等式有：尤+1+422,当且仅当x+l=-^,即尤=0时取等号，

x+lx+l

...当X=0时，Ya=-3.

【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程、不等式，根据一元二次不等式解集求二次函

数解析式，利用基本不等式求函数最值；

(2)存在，在尸C的三等分点处

【分析】(1)根据等边三角形的性质以及线面垂直的判定，结合面面垂直的判定，作图明确

四棱锥的高，利用勾股定理，可得答案；

(2)由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，结合夹角公式建立方程，可得答案.

【详解】(1)由题设，知AB〃QC,所以NAaD=N8DC=60。.

又BC=CD=1,所以△BCD为等边三角形，所以3£>=3C=1.

在△ABO中，AB=2,BD=1,AD2=AB2+BD2-2ABxBDxcosZABD.

BPAD2=22+l2-2x2xlxcos60°=3,贝!]AD=百.

所以AD2+B£)2=即AD_LBD,

又尸8_LAD,PBcB£>=8,且PB,BDu平面PBD,所以AD_L平面PBD.

因为">u平面ABC。，所以平面PBD_L平面ABCD.

如图1,设。为3。的中点，连接尸O,因为PB=PD,所以尸3D.

又因为平面尸3。0平面脑8=皮>，尸O_L平面

所以PO_L平面ABCD,所以PO即为点P到平面ABCD的距离.

在RtAPQB中，PB=1,BO=~,所以PO=，PB2-BO?=立.

22

答案第8页，共13页

即点P到平面ABCD的距离为显

2

图1

(2)如图2,连接。C,则OCJLBO,且OCu平面ABCZ),

所以POLOC,所以尸。，BD,0c两两互相垂直.

以。为原点，OB,0C,。尸所在直线分别为无轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。孙z.

、

则叫,0,0J,C0,6,0,Dl-1,0,0l,P0,0,

2

、\

A/3.lA/3f10V3

所以PC=o,,DB=(l,0,0),BC=-,0,BP=—,u-----

2，2I22

5'T77

若PC上存在点产满足题意，不妨设访=2近,

/、

所以旃=-

7

设沅=(%,y,z)是平面瓦万的法向量,

m-BF=-—x+^-Ay+^-(l-A}z=0A,

2三’2IJ,解得y=2-1

则-1-Z，

m•DB=x=0

不妨取z=l,则平面3D尸的一个法向量为庆=0,

同理，设为=(H%，Zi)是平面P3C的法向量,

n•BP=--xxH———Zi=0

则~21,解得％=gy=括4,不妨取M=4=1,

ri'BC=——xH———y,=0

21y21

则占=若，所以平面PBC的一个法向量为n=(A/3,1,1),

答案第9页，共13页

0+/1+1

1

所以|cos玩，司=

~5

+12XV5

12

化简整理得9万—94+2=0,解得a=§或2=

—.1-.—•?―►

^PF=-PC^PF=-PC.

故在PC的三等分点处存在点F,可使得平面DBF与平面PBC夹角的余弦值为、.

18.(1)尸(%)的最小值为2,对应的元为0；(2)g(x)=21og2(%-1)+1,定义域为(1,+co),

G(x)=2x+21og,(x-l)+l,单调递增，证明见解析；(3)存在4(-2,3,8(1-3)

44

【分析】(1)写出尸(x)=/(x)+/(-%)的解析式，依据基本不等式性质即可求解；

(2)根据点的关系求出y=gQ)解析式，写出G(x)=/(x)+g(x)的解析式即可判断单调性；

(3)设A,8两点的坐标根据位置和对称关系列方程组求解.

【详解】(1)F(x)=f(x)+/(-x)=2、+2一，眼也，2一*=2，当且仅当2*=2T即尤=0时，等

号成立，即F(无)的最小值为2,对应的x为0.

_y-1

彳=%+1

(2)设y=g(x)图象上点。(x,y),由题:,所以不一〒

y=2XQ+1

y0=x-i

点P(x0,%)在y=的图像上运动，则%=2'。,

所以尤-1=2刀，k21陶(》-1)+1,由x-1>0得其定义域为(1,依)

所以g（x）=21ogz（x-1）+1,定义域为=内）

G(x)=/(x)+g(x)=2#+21og2(尤-1)+1在定义域内为增函数,证明如下:

任取1<玉<%，根据指数函数和对数函数单调性有：

2为一2也<0,log2(X[-1)-log2(x2-1)<0,

答案第10页，共13页

XX2

G(X1)-G(X2)=(2'+21og2(^-l)+l)-(2+21og2(x2-l)+l)

=(2^-2-^)+2(log2(x2-1)-log2(x2-1))<0,

即G(X1)<G(X2)

所以G(尤)=f(尤)+g(x)在定义域内是增函数.

(3)假设函数>=/(%)和y=g(x)的图象上分别存在点A,8关于直线y=x-1对称,

设其坐标AO,〃),B(a,b),则有：

n=2mm=-2

Z?=21og(a-1)+11

2n=—

4

『bi解得：

5

m-aci——

n+bm+a<4

----=-------1

22b=-3

故在函数＞=f(X)和y=g(x)的图象上分别存在点A(-2,3,*,-3)关于直线y=X-1对称.

44

【点睛】此题考查根据函数关系求解析式，并判断证明单调性，求解点关于直线对称相关问

题，考查理解辨析数形结合的能力.

19.(1)/7!=1,77=—;

2

⑵证明见解析；

(3)答案见解析.

【分析】(1)根据/'(。)=8'(。),/"(0)=8"(。)列方程组求解可得;

(2)构造函数°(x)=/(x)-g(x),利用导数求单调性，由。(无)之姒0)即可得证；

(3)构造函数/7(x)=〃x)-|g(x),分a«2,a＞2利用导数讨论单调性，利用单调性判

断零点个数.当。＞2时，分单调区间讨论，结合零点存在性定理判断即可.

【详解】⑴由/(x)=ln(x+l),g(x)=倦,有〃O)=g(O),

可知〃上士了(吁卡”=—/()之，

由题意，由(o)=g'(o),/"(o)=g"(o),

m=l