2025年高考数学模拟卷（二）含答案及解析

2025年高考数学全真模拟卷02（新高考专用）

（考试时间：120分钟；满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写

在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.（5分）（2024•山西晋中•模拟预测）若（1—i）z=2,则|z+1|=（）

A.V5B.V3C.1D.5

2.（5分）（2024•陕西咸阳・模拟预测）下列命题中，真命题是（）

A."a>l,b>1”是“ab>1”的必要条件

B.Vx>0,ex>2X

C.Vx>0,2x>x2

D.。+匕=0的充要条件是£=-1

3.（5分）（2024•黑龙江•模拟预测）已知向量同=3,|五一力=自+2耳,则麻+瓦=（）

A.V3B.2C.V5D.3

4.（5分）（2024・四川宜宾・模拟预测）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的

热情，某校举办了“学党史、育新人”的党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整

数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（）

个频率/组距

6a-------------

L/V_I——————I--------->

O丫405060708090100成瓦/分

A.a的值为0.005

B.估计这组数据的众数为75分

C.估计成绩低于60分的有250人

D.估计这组数据的中位数为竽分

5.（5分）（2024•贵州贵阳•三模）过点4（—3,—4）的直线1与圆C:（x—3）2+（y—47=9相交于不同的两点

M,N,则线段的中点P的轨迹是（）

A.一个半径为10的圆的一部分B.一个焦距为10的椭圆的一部分

C.一条过原点的线段D.一个半径为5的圆的一部分

6.（5分）（2024•全国•模拟预测）若函数/（%）=V^sinw®>0）的图象与函数g（%）=的图象的

任意三个连续交点都是一个正三角形的三个顶点，则3=（）

ITIT717T

A.5B.4C.gD.8

7.（5分）（2024•内蒙古包头•一模）如图，底面4BCD是边长为2的正方形，半圆面4PD,底面ABC。，

点尸为圆弧4。上的动点.当三棱锥P-BCD的体积最大时，PC与半圆面4PD所成角的余弦值为（）

A.—B.—C.—D.—

3663

8.（5分）（2023・四川成都•一模）已知函数y=（2—x）（lna）2-41na+;r+2,若久€[0,2]时,y20恒成立,

则实数a的取值范围为（）

A.（0,e]B.[e,+oo）C.（0,1]D.[1,+oo）

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

9.（6分）（2024•新疆喀什•三模）已知函数/（久）=V^sinxcosx-cos2%+T，则下列说法正确的是（）

A.f（x）=sin（2x_

B.函数/（久）的最小正周期为2TT

C.尤=方是函数/（久）图象的一条对称轴

D.函数f（x）的图象可由y=sin2x的图象向右平移工个单位长度得到

10.（6分）（2024•重庆•模拟预测）已知抛物线E：y2=8x的焦点为F,点F与点C关于原点对称，过点C的

直线I与抛物线E交于4B两点（点4和点C在点B的两侧），则下列命题正确的是（）

A.若BF为△力CF的中线，贝U|4F|=2|BF|

B.\AF\>4

C.存在直线使得|4C|=四|4尸］

D.对于任意直线都有|4F|+|BF|>2|CF|

11.（6分）（2024•重庆•三模）已知函数/（x）=e2x-a%2®为常数），则下列结论正确的是（）

A.当a=l时，f（x）在（0/（0））处的切线方程为2x—y+l=0

B.若/（x）有3个零点，贝b的取值范围为（e2,+8）

C.当a=e2时，x=1是/'（久）的极大值点

D.当a=：时，/（久）有唯一零点血，且—1<孙<—T

第H卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）（2024•四川宜宾•模拟预测）已知数列｛an｝是公差不为0的等差数列，的=1,且满足a2"3,。6

成等比数列，则数列｛an｝前6项的和为.

13.（5分）（2024•陕西安康•模拟预测）已知且1—cos2a=则黑兽=.

14.（5分）（2024•浙江台州•二模）若排一张有三首歌曲和三支舞蹈的演出节目单，共有720种不同的

排法（用数字作答），其中恰有两首歌曲相邻的概率为.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.（13分）（2024•山东青岛•三模）设三角形ABC的内角力、B、C的对边分别为a、b、c且sin（B+C）=2

V3sin2p

（1）求角4的大小；

（2）若b=3,BC边上的高为学，求三角形4BC的周长.

16.（15分）（2024•黑龙江•模拟预测）已知/O）=ax+bcosx在点处的切线方程为x+2y-it

=0.

⑴求a力的值；

（2）求/（%）在区间［O,TT］的单调区间和极值.

17.（15分）（2024•江西宜春•模拟预测）如图1,在五边形2BCDE中，AB=BD,ADLDC,£4=ED且

EALED,将△AED沿4。折成图2,使得EB=4B,F为AE的中点.

图1图2

（1）证明：BF〃平面ECD；

（2）若EB与平面A8CD所成的角为30。，求二面角4-EB-。的正弦值.

18.（17分）（2024•全国•模拟预测）2024年九省联考后很多省份宣布高考数学采用新的结构，多选题由4

道减少到3道，分值变为一题6分，多选题每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，全部选对得6

分,有错选或全不选的得0分.若正确答案是“两项”的，则选对1个得3分；若正确答案是“三项”的，则选对1

个得2分，选对2个得4分.某数学兴趣小组研究答案规律发现，多选题正确答案是两个选项的概率为p,正确

答案是三个选项的概率为1-P（其中0<p<1）.

（1）在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若「=求学生甲该题得

2分的概率；

（2）针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案：

I：随机选一个选项；II：随机选两个选项；in：随机选三个选项.

①若P=且学生甲选择方案i,求本题得分的数学期望；

②以本题得分的数学期望为决策依据，P的取值在什么范围内唯独选择方案I最好?

19.（17分）（2024•江苏苏州•模拟预测）点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列.过曲线C：y=X3

上的点P1（X1，V1）作曲线C的切线A与曲线C交于「2（乂242），过点P2作曲线C的切线6与曲线C交于点「3（”3，乃），

依此类推，可得到点列：尸2（%2，，2），「3（%3》3），…，Pn&,yn），…，已知%1=1.

⑴求数列佛卜｛y九｝的通项公式；

（2）记点P九到直线。+1（即直线乙+1P九+2）的距离为〃，

（I）求证:十+2+…+:＞2；

（II）求证：t■+'T----＞《（1一］）,若71值（几＞0,九€N*）与（I）相同，则求此时看+看H-------卜今的最小

值.

2025年高考数学全真模拟卷02（新高考专用）

（考试时间：120分钟；满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写

在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.（5分）（2024•山西晋中•模拟预测）若（1—i）z=2,则|z+1|=（）

A.V5B.V3C.1D.5

【解题思路】先由（l-i）z=2求出复数z,从而可求出z+1,进而求出|z+l|.

【解答过程】由（1—i）z=2,得2=2V=l+i,

所以z+1=2+i,

所以上+1|=，22+12=遮,

故选：A.

2.（5分）（2024•陕西咸阳•模拟预测）下列命题中，真命题是（）

A."a>l,b>1”是“ab>1”的必要条件

B.Vx>0,ex>2X

C.\fx>0,2x>x2

D.。+6=0的充要条件是蔡=一1

【解题思路】举反例来判断ACD,利用指数函数的性质判断B.

【解答过程】对于A,当a=2,6=1时，满足ab>l,但不满足a>1力>1,故"a>1力>1”不是“ab〉1”的

必要条件，故错误；

对于B,根据指数函数的性质可得，对于即e，>2。故正确；

对于C,当x=3时，2X<%2,故错误;

对于D,当a=b=O时，满足a+6=0,但,=—1不成立，故错误.

故选：B.

3.（5分）（2024,黑龙江,模拟预测）已知向量|可=313-瓦二江+2瓦,则|五+瓦=（）

A.V3B.2C.V5D.3

【解题思路】对同-瓦=|2+2臼两边平方化简可得片+2限石=0,再对同+向平方化简后再开方即可.

【解答过程】由—向=同+2由两边平方得，a2+b2-2a-b=a2+4fo2+4a-b,

所以片+2a-b=0,

所以恒+评=a2+f+2a-b=\a\2=9,

所以同+同=3,

故选：D.

4.（5分）（2024・四川宜宾•模拟预测）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的

热情，某校举办了“学党史、育新人”的党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整

数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（）

6a

5a

3a

2a

a

O"405060708090100成统/分

A.a的值为0.005

B.估计这组数据的众数为75分

C.估计成绩低于60分的有250人

D.估计这组数据的中位数为等分

【解题思路】对A,根据频率和为1求解即可；对B,根据频率分布直方图的众数判断即可；对C,计算成

绩低于60分的频率，进而可得人数；对D,根据成绩低于中位数的频率为0.5计算即可.

【解答过程】对A,由题意，10x（2a+3a+3a+6a+5a+a）=1,解得a=0.005,故A正确；

对B,由直方图可得估计这组数据的众数为誓=75分，故B正确；

对C,由直方图可得成绩低于60分的频率为10x(0.01+0.015)=0.25,故估计成绩低于60分的有

1000x0.25=250人，故C正确；

对D,由A可得区间[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的频率分别为0.1,0.15,0.15,0.3,0.25,0.05,

因为0.1+0.15+0.15+0.3>0.5,0.1+0.15+0.15<0.5,故中位数位于[70,80)内.

设中位数为X,®0.1+0.15+0.15+0.03x(X-70)=0.5,解得％=亍，故D错误.

故选：D.

5.(5分)(2024・贵州贵阳•三模)过点力(-3,-4)的直线/与圆。。-3)2+5-4)2=9相交于不同的两点

M,N,则线段的中点P的轨迹是()

A.一个半径为10的圆的一部分B.一个焦距为10的椭圆的一部分

C.一条过原点的线段D.一个半径为5的圆的一部分

【解题思路】设P(x,y),根据垂径定理得到CPL4P,再转化为而•而=0,写出相关向量，代入化简即可.

【解答过程】设p(x,y),根据线段MN的中点为P,则CP1MN,即CP14P,

所以而AP=O,又4(-3,-4),C(3,4),而=(%+3,y+4),CP=(x-3,y-4),

所以(％+3)(x—3)+(y+4)(y—4)=0,即久2+y2=25,

所以点P的轨迹是以(0,0)为圆心，半径为5的圆在圆C内的一部分，

6.(5分)(2024•全国•模拟预测)若函数/(%)=V^sin3%(3>0)的图象与函数g(%)=逐cosa%的图象的

任意三个连续交点都是一个正三角形的三个顶点，则3=()

IT71717T

A.5B.C.gD.g

【解题思路】解法一，令/'(x)=g(x)，可得a>x=kn+：(keZ),不妨取k=0,1,2,得三个连续的交点依

次为力C?旬，B(瑞-陶，。吃,遮)，求得△回，的高,再根据/(x)与g(x)图象求得△4BC的高,建立

方程求得结果.

解法二，在同一平面直角坐标系中，作出函数/(%)=Vasins;和g(%)=遥cos3%的图象，求得的高

为2遮，可得的边长为4即/(久)的周期为4,得解.

【解答过程】解法一由咪《：理烧，令f(x)=g(%)，得tas=l,

所以3X=Mt+?keZ),不妨取k=0,1,2,得三个连续的交点依次为4七,⑹，B(g-V3),C

(”)，

因为△ABC为正三角形，"一套为△4BC的边长，弓第一卷)为△ABC的高，

由正弦函数、余弦函数的图象可知在/(%)=V^sin3%和g(%)=遥Cosco%的图象的交点处sin3%=cosoox=±

V2

所以△ABC的高为2xV6X^=2遮，

所以*伊一；)=2存

2\434"

解得3=

故选：A.

解法二：如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数/㈤=V^sina%和g(%)=V^cosa%的图象，

设两图象的三个连续交点分别为4,B,C,连接AB,AC,BC,

则为正三角形，过点B作8D1/C,垂足为。，

由正弦函数、余弦函数的图象可知在f(%)=Vasins:和g(x)=V^cossr的图象的交点处sins:=cosa%=±

V2

可

所以|BD|=2*返乂乎=271,

所以|阳=4,所以/(x)=Vasins的最小正周期T=4,即§=4,所以3=与

故选：A.

7.(5分)(2024•内蒙古包头•一模)如图，底面ZBCO是边长为2的正方形，半圆面4尸。，底面ABCD,

点尸为圆弧力D上的动点.当三棱锥P-BCD的体积最大时，PC与半圆面APD所成角的余弦值为（）

【解题思路】过点P作。4。于点。，易得点P位于圆弧4。的中点时，，P_BCD最大，证明面P40,则

"PD即为PC与半圆面4PD所成角的平面角，再解四△PCD即可.

【解答过程】过点P作。P14。于点。，

因为面2PD1底面4BCD,面2PDC底面OPu面240,

所以。Pl平面4BCD,

则VP_BcD=|x|x2x2-0P=|0P<|,

当且仅当。p=l,即点P位于圆弧4）的中点时，Vp_BCD最大,此时。为2D的中点，

因为面4PD1底面4BCD,面力PDn底面ABC。=AD,CD1AD,CDu面4BCD,

所以CDJ.面PAD,

所以NCPD即为PC与半圆面力PD所成角的平面角，

在Rt△PCD中，CD=2,PD=V1+1=y/2,PC=V4+2=V6,

所以cos/CPD=等=乎，

即PC与半圆面APD所成角的余弦值为圣

故选：D.

8.（5分）（2023・四川成都•一模）已知函数y=（2—%）（lna）2-41na+x+2,若久E[0,2]时，yNO恒成立,

则实数Q的取值范围为（）

A.(0,e]B.[e,+oo)C.(0,1]D.[1,+oo)

【解题思路】当x=0时，y=2(lna)2-41na+2=2(lna-l)2>0,所以问题转化为-41na+420,求解即

可.

【解答过程】由y=(2-x)(lna)2-41na+x+2可得y=[l-(lna)2]%+2(lna)2-41na+2,

当a=e时，y=0符合题意；

当aKe时，y是关于x的一次函数，此时只需区间端点的函数值不小于0即可，

又当x=0时，y=2(lna)2-41na+2=2(Ina—l)2>0,

当x=2时，y=-41na+4,

所以—41na+420,即InaWl,解得0<a<e,

综上，0<aWe.

故选；A.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.(6分)(2024•新疆喀什•三模)已知函数/'(%)=V^sinxcosx-cos2久+，则下列说法正确的是()

A./(%)=sin(^2x—

B.函数/'(%)的最小正周期为2TT

C.久若是函数/(x)图象的一条对称轴

D.函数/'(%)的图象可由y=sin2x的图象向右平移工个单位长度得到

【解题思路】A由降哥公式，辅助角公式可得答案；

B由周期计算公式可得答案；

C将x=或弋入由A选项所得化简式中可得答案；

D由函数图象平移知识可得答案.

【解答过程】A选项，/(%)=V3sinxcosx-cos2x+1=^sin2x-|cos2x=sin(2x-故A正确；

B选项，由A选项结合周期计算公式可知最小正周期为三=it,故B错误；

C选项，将％=与代入2支三=去/(%)在此时得最大值，故％=方是函数f(%)图象的一条对称轴，故C正确；

D选项，y=sin2x的图象向右平移已个单位得sin2(久=sin(2久一故D正确.

故选：ACD.

10.（6分）（2024・重庆•模拟预测）已知抛物线E:y2=8x的焦点为F,点F与点C关于原点对称，过点C的

直线I与抛物线E交于48两点（点4和点C在点B的两侧），则下列命题正确的是（）

A.若BF为△ACF的中线，贝“4F|=2|BF|

B.\AF\>4

C.存在直线使得|4C|=或|力9|

D.对于任意直线Z,都有|4F|+|BF|>2|CF|

【解题思路】取4B两点都在第一象限，设l:x=ky—2,k>0,4（的必）凤%2）2），联立抛物线，利用韦达定

理以及抛物线的定义来判断各项正误.

【解答过程】不妨取4B两点都在第一象限，过4B分别作抛物线准线的垂线，垂足为DE,

设=ky-2,k>0,4（无1）1*（如丫2）血>%C（-2,0）,F（2,0）,

联立E:y2=8%，得外―8ky+16=0且A=64（^2—1）>0,gpfc2>1,

所以yi+及=8fc,yiy2=16,

则+x2=k（y1+y2）-4=8k2-4,XIX2=。皆不=4,

对于A：若BF为△4CF的中线，则>2=矍，结合=16得，1二,所以｛,=,，

所以4（4,4近），B（l,2V2）,

此时|4F|=4+2=6,|BF|=1+2=3,所以|4F|=2|BF|,A正确；

对于B：由求根公式月=竺罗=虹/乎亘=4（k+痴二T）>4,

则X1=1>2,所以|AF|=刈+2>4,B正确;

对于C：若［4。|=四|4月，即M。=鱼|2。|,明显等腰直角三角形，

此时|C£>|=|力即4仇一2,月），所以济=8yi-16,解得yi=4,此时y2=4,

此时4B为同一点，不合题意，C错误；

2

对于D：|4F|+田?|=|力0+|BE|=Xi+x2+4=8k,

又2|CF|=8,结合/>1,都|4F|+|BF|>2|CF|恒成立，D正确;

故选：ABD.

11.(6分)(2024・重庆•三模)已知函数/(X)=e2x-a%2(a为常数)，则下列结论正确的是()

A.当a=l时，f(x)在(0/(0))处的切线方程为2x—y+l=0

B.若/(约有3个零点，贝b的取值范围为(e2,+8)

C.当a=e2时，x=1是/'(久)的极大值点

D.当寸，/(x)有唯一零点劭，M-l<x0<-|

【解题思路】根据导数的几何意义，可判定A正确；根据题意，转化为g(x)=詈与y=a的图象有3个交点,

利用导数求得函数9(%)的单调性与极值，可判定B正确；当a=e2时，得到尸(%)=2(e2x-e2x),讨论函数

/(约的单调性，结合极值点的定义，可判定C错误.当a=［时，得到广(久)>0,函数f(x)单调递增，结合

可判定D正确；

【解答过程】对于A中，当a=l时，可得f(x)=e2x—则f(0)=l/(x)=2e2x_2x，r(0)=2,所以切线

为2%-y+1=0,A正确：

对于B中，若函数/(%)=e2》-a%2有3个零点，即e?久=a"有三个解，

其中汽=0时，显然不是方程的根，

2x

当工K0时，转化为g(x)=*与y=a的图像有3个交点,

2e2*x2-2e2*x=2e2x(x-l)

又由g'(x)=

X4X3

令g，(x)>0,解得％<0或x>l；令g，(x)<0,解得0<x<l,

所以函数9。)在(-8,0),(1,+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减;

所以当久=1时，函数g(x)取得极小值，极小值为g(l)=e2,

又由x70时，g(x)7+8,当x-—8时，g(x)7O且g(久)>0,

如下图：

所以a>e2,即实数a的取值范围为(e2,+8),所以B正确：

对于C中，当a=e?时，/(%)=e2x—e2%2,可得/(%)=2e2%—2e?%=2缶2工—e2%),

令0(%)=e2x—e2%,g'Qr)=202%七2在R上单调递增，

且，(0)=2-e2<00(1)=e2>0,所以存在如G(0,1)使得欧⑹=0,

所以在(一8,第0)上夕(%)<0,g(%)单调递减，

在(配,+8)上］(汽)>0,g(%)单调递增，又g(l)=0,

所以在(%o，l)上g(%)V0,即/(%)单调递减，

在(1,+8)上g(%)>0,即/(%)单调递增，

所以％=1是/(%)的极小值点，所以C错误.

对于D中，当a=T时，p(x)=2e2x—x=2^e2x—

设h(%)=e2x-|x,可得〃(%)=2e2x-1,

当第V吗时，"(%)<0,九(%)在(一8,呜)单调递减；当久>吗时，"(%)>0旗%)在(呜,+8)单调递增，

所以当％=靖时，Wmin=^(ln=e21n2-1ln1=^+|ln2>0,所以h(%)>0,

所以((%)>0,所以函数/(%)在R上单调递增，

又因为/(-1)=e-2-1<0/(-1)=e-/>0,EP/C-l)0,

所以/'(x)有唯一零点％o且-1<Xo<所以D正确；

故选：ABD.

第n卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(5分)(2024•四川宜宾•模拟预测)己知数列｛an｝是公差不为0的等差数列，即=1,且满足a2，。3，。6

成等比数列，则数列｛时｝前6项的和为—二24_.

【解题思路】设数列｛斯｝公差为d,再根据。2/3,。6成等比数列求解可得d=-2,进而可得｛an｝的通项公式求

解即可.

【解答过程】设数列｛an｝公差为d,由。2&延成等比数列可得后=a2a6，

即(l+2d)2=q+d)(l+5d),BPd2+2d=0,因为公差不为0,故d=-2.

故册=1-2(n—1)=-2n+3.

故｛即｝前6项的和为1-1-3-5-7-9=-24.

故答案为：-24.

13.（5分）（2024•陕西安康•模拟预测）已知a,066中），且1—cos2a=*黑⑹，则言答襄=一！_

【解题思路】利用二倍角公式，同角关系，两角和与差的正切公式变形求解.

sin2asin(5+0)7曰1-cos2acos/3

【解答过程】由1—cos2a=

-1+sin/?、sin2a1+si*

2siMQ二cos2g：sin25

2sinacos«-cos^f+sin^+2sinfcosf'

一一.sincrcos--sin-tan—tan-

所以号吧=力2,即tana=42=tan(：今

cosacos-+sin-1+tan-tan-

2242

又a-e&ir）,所以a=W+m即戊+与=季

tana+tan-

所以2=tan(a+1)

1—tanatan-=tan7=L

2

故答案为：1.

14.（5分）（2024•浙江台州・二模）若排一张有三首歌曲和三支舞蹈的演出节目单，共有」22__种不同的

排法（用数字作答），其中恰有两首歌曲相邻的概率为_|.

【解题思路】（1）直接利用排列数计算即可;

（2）相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法，计数后，利用古典概型求概率.

【解答过程】排一张有三首歌曲和三支舞蹈的演出节目单，共有鹿=6x5x4x3x2xl=720种不同的

排法；

记事件/:恰有两首歌曲相邻，则事件/包含：甩x/x题=3x2x1x3x2x4x3=432

故P（4）=糕=1.

故答案为：720；I

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.（13分）（2024•山东青岛•三模）设三角形ABC的内角力、B、C的对边分别为a、b、c且sin（B+C）=2

V3sin21.

（1）求角力的大小；

（2）若b=3,BC边上的高为亨，求三角形2BC的周长.

【解题思路】（1）利用内角和为180°化简sin（B+C）=sin4利用二倍角公式化简siM^=上箸，再利用

辅助角公式化简即可求得4=3

（2）由面积公式和余弦定理，联立方程组求解三角形即可.

【解答过程】（1）因为4B,C为的内角，所以sin（8+C）=sin4

因为sin2^=1一:\所以sin（B+C）=2V^sin2g可化为：sin4=g（1一cos4）,

即sinA+VScos/l=V3,即sin（4+勺=等，

因为4+三倍,?），解得：4+詈与，即2=1

（2）由三角形面积公式得Jb.csina=Jx*ia,b=3代入得：＜X3•csin£=Jx蜉a,

NN7zoz7

所以＜2=孝的由余弦定理a?=炉+©2-26ccosA=为2得：c?+4c—12=0,

解得：c=2或c=一6舍去，即a=77,

所以△力BC的周长为5+V7.

16.（15分）（2024•黑龙江•模拟预测）已知/'（x）=ax+6cosx在点处的切线方程为久+2y-n

=0.

（1）求a,b的值；

（2）求f（久）在区间［O,TT］的单调区间和极值.

【解题思路】（1）由题意可得卜+2对1\=°,解方程组可求出a,b的值；

（2）由导数的正负可求出函数的单调区间，从而可求出极值.

【解答过程】(1)由/'(x)=ax+bcosx,得((%)=a-6sinx,

因为f（久）=ax+6cosx在点g,/（3）

处的切线方程为x+2y-ir=0,

—71=0

所以2

—F2

所以2

a—bsin^=—a—b=--

解得a=,b=1；

(2)/(x)=-%+cosx,fr(x)—--sinx,令［(x)=0,

因为工€［0,伺，所以%1=5,或刀2=詈

当Xe（05）时，f（%）>0,/。）单调递增，

当％69片）时，r（x）<0J（x）单调递减，

当xe僧,冗）时，f（x）>0/（x）单调递增.

所以人支）极大值为啜）=：X1="+容极小值为：X*+COS?=*容

综上所述，/（%）在区间［0,1T］上的单调递增区间为（0,g和偿刀），单调递减区间为g,§；

极大值为"+手，极小值为冷孚

17.（15分）（2024•江西宜春•模拟预测）如图1,在五边形2BCDE中，AB=BD,ADVDC,EA=ED且

EA1ED,将△AED沿4）折成图2,使得EB=AB,F为4E的中点.

图1图2

⑴证明：BF〃平面ECD；

（2）若EB与平面4BCD所成的角为30。，求二面角4-EB-D的正弦值.

【解题思路】（1）取4。的中点G,连接BG,FG,从而证明2G〃平面EC。，FG〃平面EC。，即可得到平面

BFG〃平面ECD,即可得证.

（2）推导出4E1平面BFG,BG1平面E4D,平面瓦4。J.平面4BCD,连接EG,以G为坐标原点，GB,GD,

GE所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角4-EB-C的正弦值.

【解答过程】（1）取2。的中点G,连接8G,FG,

■■■AB=BD,G为4D的中点,■­■BGA.AD,

y.AD1DC,：.BG//CD.

又BGC平面ECD,CDu平面ECD,.•.BG〃平面ECD.

•••F为4E的中点，.-.FG//ED.

又FGC平面EC。，EDu平面ECD,FG//平面EC。，

又BGCFG=G,BG,FGc^BFG,二平面BFG〃平面ECD,

又BFu平面BFG,；.8尸//平面ECO.

（2）-EAIED,由（1）知FG//ED,••.FG1AE,

又EB=4B,F为4E的中点，.-.BF1AE,

又BFCFG=F,8F,FGu平面BFG,.•.4E1平面BFG,

又BGu平面BFG,：.BGX.AE,

y.BG!AD,ADCtAE=A,4D/Eu平面EAD,BG1平面E2D,

又BGu平面ABC。，.♦・平面E4D1平面48C。，

连接EG,-：EA=ED,G为AD的中点，•••EG14D,

又平面E40n平面48CD=AD,EGc平面比4D,

EG15FBJXBCD,BGu平面ABC。，:.EGLBG,

以G为坐标原点，GB,GD,GE所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

NEBG是EB与平面4BCD所成的角，即NE8G=30。,

■：EA=ED,设E4=t（t>0）,则4。=鱼3EG=*EB=&t,BG=净,

G（0,0,0）1E（0,0,gt）,力（0,—孝t,0）,D（0,日t,0）,B（乎t,0,0）,

•••丽=（争,0,—苧t）,族=（0,先?t）,反=（o,一畀苧t）,

设平面/BE的法向量为九1=

（ni-EB=—=0__

则TTAE-^tv+^tz-O'令"1=1'得用=（1，3，回‘

设平面DBE的法向量为尼=（x2,y2,z2）,

nJ•EB=~tX2-^tZ2=0厂一

则］—>%2被,令刀2=1，得行=（1,丹遥），

^-DE=-^ty2+^tz2=0

设二面角A—EB-D的平面角为仇

I而•何I11

・•・IcosOI=|cos（可，怒>|=而向=京万=7

所以sine=所-cos2J=茅,即二面角a—EB—D的正弦值为竽.

18.(17分)(2024•全国•模拟预测)2024年九省联考后很多省份宣布高考数学采用新的结构，多选题由4

道减少到3道，分值变为一题6分，多选题每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，全部选对得6

分，有错选或全不选的得。分.若正确答案是“两项”的，则选对1个得3分；若正确答案是“三项”的，则选对1

个得2分，选对2个得4分.某数学兴趣小组研究答案规律发现，多选题正确答案是两个选项的概率为p,正确

答案是三个选项的概率为1-P(其中0<p<1).

(1)在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若「=求学生甲该题得

2分的概率；

(2)针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案：

I：随机选一个选项；II：随机选两个选项；in：随机选三个选项.

①若P=且学生甲选择方案i,求本题得分的数学期望；

②以本题得分的数学期望为决策依据，P的取值在什么范围内唯独选择方案I最好？

【解题思路】(1)由全概率公式求解即可；

(2)①记X为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，求出X的可能取值及其概率，即可求出X的分布列，

再由期望公式求出；

②记xyz分别为“从四个选项中随机选择一个选项、两个选项和三个选项的得分”，求出xyz的数学威望,

2-<

fP1

由题意可得J|(i_p)<|,解不等式即可得出答案.

10<p<I2

【解答过程】(1)记事件4为“正确答案选两个选项”，事件B为“学生甲得2分”.

P[B)=P(4)P(B|4)+P(X)P(BZ)=|x0+|x^=p

即学生甲该题得2分的概率为今

(2)①记X为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，贝!IX可以取0,2,3,

-121131-1o

P(X=0)=5X豆+5x豆=王P(X=2)=5X0+5x渡=土

P(X=3)=|x^+|x