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文档简介
辽宁省辽阳市太子河区2024年中考数学四模试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.如图,AD∥BC,AC平分∠BAD,若∠B=40°,则∠C的度数是()A.40° B.65° C.70° D.80°2.2017上半年,四川货物贸易进出口总值为2098.7亿元,较去年同期增长59.5%,远高于同期全国19.6%的整体进出口增幅.在“一带一路”倡议下,四川同期对以色列、埃及、罗马尼亚、伊拉克进出口均实现数倍增长.将2098.7亿元用科学记数法表示是()A.2.0987×103 B.2.0987×1010 C.2.0987×1011 D.2.0987×10123.点M(1,2)关于y轴对称点的坐标为()A.(﹣1,2) B.(﹣1,﹣2) C.(1,﹣2) D.(2,﹣1)4.1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中,是轴对称图形的是()A. B. C. D.5.如图,BD∥AC,BE平分∠ABD,交AC于点E,若∠A=40°,则∠1的度数为()A.80° B.70° C.60° D.40°6.若关于x的分式方程的解为正数,则满足条件的正整数m的值为()A.1,2,3 B.1,2 C.1,3 D.2,37.分式方程=1的解为()A.x=1 B.x=0 C.x=﹣ D.x=﹣18.下列关于x的方程一定有实数解的是()A. B.C. D.9.不解方程,判别方程2x2﹣3x=3的根的情况()A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根C.有一个实数根 D.无实数根10.方程的解是().A. B. C. D.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.如图△ABC中,AB=AC=8,∠BAC=30°,现将△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△ACD,延长AD、BC交于点E,则DE的长是_____.12.用48米长的竹篱笆在空地上,围成一个绿化场地,现有两种设计方案,一种是围成正方形的场地;另一种是围成圆形场地.现请你选择,围成________(圆形、正方形两者选一)场在面积较大.13.2017我市社会消费品零售总额,科学记数法表示为_____.14.如图,把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中,使OA、OC分别落在x轴、y轴上,连接OB,将纸片OABC沿OB折叠,使点A落在点A′的位置,若OB=,tan∠BOC=,则点A′的坐标为_____.15.因式分解:(a+1)(a﹣1)﹣2a+2=_____.16.为迎接五月份全县中考九年级体育测试,小强每天坚持引体向上锻炼,他记录了某一周每天做引体向上的个数,如下表:其中有三天的个数被墨汁覆盖了,但小强已经计算出这组数据唯一众数是13,平均数是12,那么这组数据的方差是_____.三、解答题(共8题,共72分)17.(8分)为节约用水,某市居民生活用水按阶梯式水价计量,水价分为三个阶梯,价格表如下表所示:某市自来水销售价格表类别月用水量(立方米)供水价格(元/立方米)污水处理费(元/立方米)居民生活用水阶梯一0~18(含18)1.901.00阶梯二18~25(含25)2.85阶梯三25以上5.70(注:居民生活用水水价=供水价格+污水处理费)(1)当居民月用水量在18立方米及以下时,水价是_____元/立方米.(2)4月份小明家用水量为20立方米,应付水费为:18×(1.90+1.00)+2×(2.85+1.00)=59.90(元)预计6月份小明家的用水量将达到30立方米,请计算小明家6月份的水费.(3)为了节省开支,小明家决定每月用水的费用不超过家庭收入的1%,已知小明家的平均月收入为7530元,请你为小明家每月用水量提出建议18.(8分)如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A作BC的平行线交CE的延长线与F,且AF=BD,连接BF。求证:D是BC的中点;如果AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论。19.(8分)如图,在中,,垂足为D,点E在BC上,,垂足为,试判断DG与BC的位置关系,并说明理由.20.(8分)化简求值:,其中x是不等式组的整数解.21.(8分)抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),与y轴正半轴交于点C.(1)如图1,若A(-1,0),B(3,0),①求抛物线的解析式;②P为抛物线上一点,连接AC,PC,若∠PCO=3∠ACO,求点P的横坐标;(2)如图2,D为x轴下方抛物线上一点,连DA,DB,若∠BDA+2∠BAD=90°,求点D的纵坐标.22.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为直径的⊙O交AB于点D,切线DE交AC于点E.(1)求证:∠A=∠ADE;(2)若AD=8,DE=5,求BC的长.23.(12分)某电器超市销售每台进价分别为200元,170元的A,B两种型号的电风扇,表中是近两周的销售情况:销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周3台5台1800元第二周4台10台3100元(进价、售价均保持不变,利润=销售收入-进货成本)求A,B两种型号的电风扇的销售单价.若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台,则A种型号的电风扇最多能采购多少台?在(2)的条件下,超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标?若能,请给出相应的采购方案;若不能,请说明理由.24.如图,已知△ABC,分别以AB,AC为直角边,向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD,∠EAB=∠DAC=90°,连结BD,CE交于点F,设AB=m,BC=n.(1)求证:∠BDA=∠ECA.(2)若m=,n=3,∠ABC=75°,求BD的长.(3)当∠ABC=____时,BD最大,最大值为____(用含m,n的代数式表示)(4)试探究线段BF,AE,EF三者之间的数量关系。
参考答案一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1、C【解析】
根据平行线性质得出∠B+∠BAD=180°,∠C=∠DAC,求出∠BAD,求出∠DAC,即可得出∠C的度数.【详解】解:∵AD∥BC,∴∠B+∠BAD=180°,∵∠B=40°,∴∠BAD=140°,∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠BAD=70°,∵A∥BC,∴∠C=∠DAC=70°,故选C.【点睛】本题考查了平行线性质和角平分线定义,关键是求出∠DAC或∠BAC的度数.2、C【解析】将2098.7亿元用科学记数法表示是2.0987×1011,故选:C.点睛:本题考查了正整数指数科学计数法,对于一个绝对值较大的数,用科学记数法写成的形式,其中,n是比原整数位数少1的数.3、A【解析】
关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变,横坐标变为相反数.【详解】点M(1,2)关于y轴对称点的坐标为(-1,2)【点睛】本题考查关于坐标轴对称的点的坐标特征,牢记关于坐标轴对称的点的性质是解题的关键.4、D【解析】
根据轴对称图形的概念求解.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.【详解】A、不是轴对称图形,故A不符合题意;B、不是轴对称图形,故B不符合题意;C、不是轴对称图形,故C不符合题意;D、是轴对称图形,故D符合题意.故选D.【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点.确定轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.5、B【解析】
根据平行线的性质得到根据BE平分∠ABD,即可求出∠1的度数.【详解】解:∵BD∥AC,∴∵BE平分∠ABD,∴故选B.【点睛】本题考查角平分线的性质和平行线的性质,熟记它们的性质是解题的关键.6、C【解析】试题分析:解分式方程得:等式的两边都乘以(x﹣2),得x=2(x﹣2)+m,解得x=4﹣m,且x=4﹣m≠2,已知关于x的分式方的解为正数,得m=1,m=3,故选C.考点:分式方程的解.7、C【解析】
首先找出分式的最简公分母,进而去分母,再解分式方程即可.【详解】解:去分母得:x2-x-1=(x+1)2,整理得:-3x-2=0,解得:x=-,检验:当x=-时,(x+1)2≠0,故x=-是原方程的根.故选C.【点睛】此题主要考查了解分式方程的解法,正确掌握解题方法是解题关键.8、A【解析】
根据一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件、分式方程的增根逐一判断即可得.【详解】A.x2-mx-1=0中△=m2+4>0,一定有两个不相等的实数根,符合题意;
B.ax=3中当a=0时,方程无解,不符合题意;
C.由可解得不等式组无解,不符合题意;
D.有增根x=1,此方程无解,不符合题意;
故选A.【点睛】本题主要考查方程的解,解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件、分式方程的增根.9、B【解析】一元二次方程的根的情况与根的判别式有关,,方程有两个不相等的实数根,故选B10、B【解析】
直接解分式方程,注意要验根.【详解】解:=0,方程两边同时乘以最简公分母x(x+1),得:3(x+1)-7x=0,解这个一元一次方程,得:x=,经检验,x=是原方程的解.故选B.【点睛】本题考查了解分式方程,解分式方程不要忘记验根.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11、【解析】
过点作于,根据三角形的性质及三角形内角和定理可计算再由旋转可得,,根据三角形外角和性质计算,根据含角的直角三角形的三边关系得和的长度,进而得到的长度,然后利用得到与的长度,于是可得.【详解】如图,过点作于,∵,∴.∵将绕点逆时针旋转,使点落在点处,此时点落在点处,∴∵∴在中,∵∴∴,在中,∵,∴,∴.故答案为.【点睛】本题考查三角形性质的综合应用,要熟练掌握等腰三角形的性质,含角的直角三角形的三边关系,旋转图形的性质.12、圆形【解析】
根据竹篱笆的长度可知所围成的正方形的边长,进而可计算出所围成的正方形的面积;根据圆的周长公式,可知所围成的圆的半径,进而将圆的面积计算出来,两者进行比较.【详解】围成的圆形场地的面积较大.理由如下:设正方形的边长为a,圆的半径为R,∵竹篱笆的长度为48米,∴4a=48,则a=1.即所围成的正方形的边长为1;2π×R=48,∴R=,即所围成的圆的半径为,∴正方形的面积S1=a2=144,圆的面积S2=π×()2=,∵144<,∴围成的圆形场地的面积较大.故答案为:圆形.【点睛】此题主要考查实数的大小的比较在实际生活中的应用,所以学生在学这一部分时一定要联系实际,不能死学.13、1.88×1【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.【详解】解:科学记数法表示为1.88×1,故答案为:1.88×1.【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.14、【解析】
如图,作辅助线;根据题意首先求出AB、BC的长度;借助面积公式求出A′D、OD的长度,即可解决问题.【详解】解:∵四边形OABC是矩形,∴OA=BC,AB=OC,tan∠BOC==,∴AB=2OA,∵,OB=,∴OA=2,AB=2.∵OA′由OA翻折得到,∴OA′=OA=2.如图,过点A′作A′D⊥x轴与点D;设A′D=a,OD=b;∵四边形ABCO为矩形,∴∠OAB=∠OCB=90°;四边形ABA′D为梯形;设AB=OC=a,BC=AO=b;∵OB=,tan∠BOC=,∴,解得:;由题意得:A′O=AO=2;△ABO≌△A′BO;由勾股定理得:x2+y2=2①,由面积公式得:xy+2××2×2=(x+2)×(y+2)②;联立①②并解得:x=,y=.故答案为(−,)【点睛】该题以平面直角坐标系为载体,以翻折变换为方法构造而成;综合考查了矩形的性质、三角函数的定义、勾股定理等几何知识点;对分析问题解决问题的能力提出了较高的要求.15、(a﹣1)1.【解析】
提取公因式(a−1),进而分解因式得出答案.【详解】解:(a+1)(a﹣1)﹣1a+1=(a+1)(a﹣1)﹣1(a﹣1)=(a﹣1)(a+1﹣1)=(a﹣1)1.故答案为:(a﹣1)1.【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式,找出公因式是解题关键.16、【解析】分析:根据已知条件得到被墨汁覆盖的三个数为:10,13,13,根据方差公式即可得到结论.详解:∵平均数是12,∴这组数据的和=12×7=84,∴被墨汁覆盖三天的数的和=84−4×12=36,∵这组数据唯一众数是13,∴被墨汁覆盖的三个数为:10,13,13,故答案为点睛:考查方差,算术平均数,众数,根据这组数据唯一众数是13,得到被墨汁覆盖的三个数为:10,13,13是解题的关键.三、解答题(共8题,共72分)17、(1)1.90;(2)112.65元;(3)当小明家每月的用水量不要超过24立方米时,水费就不会超过他们家庭总收入的1%.【解析】试题分析:(1)由表中数据可知,当用水量在18立方米及以下时,水价为1.9元/立方米;(2)由题意可知小明家6月份的水费是:(1.9+1)×18+(2.85+1)×7+(5.70+1)×5=112.65(元);(3)由已知条件可知,用水量为18立方米时,应交水费52.2元,当用水量为25立方米时,应交水费79.15元,而小明家计划的水费不超过75.3元,由此可知他们家的用水量不会超过25立方米,设他们家的用水量为x立方米,则由题意可得:18×(1.9+1)+(x-18)×(2.85+1)75.3,解得:x24,即小明家每月的用水量不要超过24立方米.试题解析:(1)由表中数据可知,当用水量在18立方米及以下时,水价为1.9元/立方米;(2)由题意可得:小明家6月份的水费是:(1.9+1)×18+(2.85+1)×7+(5.70+1)×5=112.65(元);(3)由题意可知,当用水量为18立方米时,应交水费52.2元,当用水量为25立方米时,应交水费79.15元,而小明家计划的水费不超过75.3元,由此可知他们家的用水量不超过18立方米,而不足25立方米,设他们家的用水量为x立方米,则由题意可得:18×(1.9+1)+(x-18)×(2.85+1)75.3,解得:x24,∴当小明家每月的用水量不要超过24立方米时,水费就不会超过他们家庭总收入的1%.18、(1)详见解析;(2)详见解析【解析】
(1)根据两直线平行,内错角相等求出∠AFE=∠DCE,然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等,再根据全等三角形的性质和等量关系即可求解;(2)由(1)知AF平行等于BD,易证四边形AFBD是平行四边形,而AB=AC,AD是中线,利用等腰三角形三线合一定理,可证AD⊥BC,即∠ADB=90°,那么可证四边形AFBD是矩形.【详解】(1)证明:∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE,∵点E为AD的中点,∴AE=DE,在△AEF和△DEC中,,∴△AEF≌△DEC(AAS),∴AF=CD,∵AF=BD,∴CD=BD,∴D是BC的中点;(2)若AB=AC,则四边形AFBD是矩形.理由如下:∵△AEF≌△DEC,∴AF=CD,∵AF=BD,∴CD=BD;∵AF∥BD,AF=BD,∴四边形AFBD是平行四边形,∵AB=AC,BD=CD,∴∠ADB=90°,∴平行四边形AFBD是矩形.【点睛】本题考查了矩形的判定,全等三角形的判定与性质,平行四边形的判定,是基础题,明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键.19、DG∥BC,理由见解析【解析】
由垂线的性质得出CD∥EF,由平行线的性质得出∠2=∠DCE,再由已知条件得出∠1=∠DCE,即可得出结论.【详解】解:DG∥BC,理由如下:
∵CD⊥AB,EF⊥AB,
∴CD∥EF,
∴∠2=∠DCE,
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠DCE,
∴DG∥BC.【点睛】本题考查平行线的判定与性质;熟练掌握平行线的判定与性质,证明∠1=∠DCE是解题关键.20、当x=﹣3时,原式=﹣,当x=﹣2时,原式=﹣1.【解析】
先化简分式,再解不等式组求得x的取值范围,在此范围内找到符合分式有意义的x的整数值,代入计算可得.【详解】原式=÷=•=,解不等式组,解不等式①,得:x>﹣4,解不等式②,得:x≤﹣1,∴不等式组的解集为﹣4<x≤﹣1,∴不等式的整数解是﹣3,﹣2,﹣1.又∵x+1≠0,x﹣1≠0∴x≠±1,∴x=﹣3或x=﹣2,当x=﹣3时,原式=﹣,当x=﹣2时,原式=﹣1.【点睛】本题考查了分式的化简求值及一元一次不等式组的整数解,求分式的值时,一定要选择使每个分式都有意义的未知数的值.21、(1)①y=-x2+2x+3②(2)-1【解析】分析:(1)①把A、B的坐标代入解析式,解方程组即可得到结论;②延长CP交x轴于点E,在x轴上取点D使CD=CA,作EN⊥CD交CD的延长线于N.由CD=CA,OC⊥AD,得到∠DCO=∠ACO.由∠PCO=3∠ACO,得到∠ACD=∠ECD,从而有tan∠ACD=tan∠ECD,,即可得出AI、CI的长,进而得到.设EN=3x,则CN=4x,由tan∠CDO=tan∠EDN,得到,故设DN=x,则CD=CN-DN=3x=,解方程即可得出E的坐标,进而求出CE的直线解析式,联立解方程组即可得到结论;(2)作DI⊥x轴,垂足为I.可以证明△EBD∽△DBC,由相似三角形对应边成比例得到,即,整理得.令y=0,得:.故,从而得到.由,得到,解方程即可得到结论.详解:(1)①把A(-1,0),B(3,0)代入得:,解得:,∴②延长CP交x轴于点E,在x轴上取点D使CD=CA,作EN⊥CD交CD的延长线于N.∵CD=CA,OC⊥AD,∴∠DCO=∠ACO.∵∠PCO=3∠ACO,∴∠ACD=∠ECD,∴tan∠ACD=tan∠ECD,∴,AI=,∴CI=,∴.设EN=3x,则CN=4x.∵tan∠CDO=tan∠EDN,∴,∴DN=x,∴CD=CN-DN=3x=,∴,∴DE=,E(,0).CE的直线解析式为:,,解得:.点P的横坐标.(2)作DI⊥x轴,垂足为I.∵∠BDA+2∠BAD=90°,∴∠DBI+∠BAD=90°.∵∠BDI+∠DBI=90°,∴∠BAD=∠BDI.∵∠BID=∠DIA,∴△EBD∽△DBC,∴,∴,∴.令y=0,得:.∴,∴.∵,∴,解得:yD=0或-1.∵D为x轴下方一点,∴,∴D的纵坐标-1.点睛:本题是二次函数的综合题.考查了二次函数解析式、性质,相似三角形的判定与性质,根与系数的关系.综合性比较强,难度较大.22、(1)见解析(2)7.5【解析】
(1)只要证明∠A+∠B=90°,∠ADE+∠B=90°即可解决问题;(2)首先证明AC=2DE=10,在Rt△ADC中,求得DC=6,设BD=x,在Rt△BDC中,BC2=x2+62,在Rt△ABC中,BC2=(x+8)2-102,可得x2+62=(x+8)2-102,解方程即可解决问题.【详解】(1)证明:连接OD,∵DE是切线,∴∠ODE=90°,∴∠ADE+∠BDO=90°,∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,∵OD=OB,∴∠B=∠BDO,∴∠A=∠ADE;(2)连接CD,∵∠A=∠ADE∴AE=DE,∵BC是⊙O的直径,∠ACB=90°,∴EC是⊙O的切线,∴ED=EC,∴AE=EC,∵DE=5,∴AC=2DE=10,在Rt△ADC中,DC=,设BD=x,在Rt△BDC中,BC2=x2+62,在Rt△ABC中,BC2=(x+8)2-102,∴x2+62=(x+8)2-102,解得x=4.5,∴BC=【点睛】此题主要考查圆的切线问题,解题的关键是熟知切线的性质.23、(1)A,B两种型号电风扇的销售单价分别为250元/台、210元/台;(2)A种型号的电风扇最多能采购10台;(3)在(2)的条件下超市不能实现利润为1400元的目标.【解析】
(1)设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元,根据3台A型号5台B型号的电扇收入1800元,4台A型号10台B型号的电扇收入3100元,列方程组求解;(2)设采购A种型号电风扇a台,则采购B种型号电风扇(30-a)台,根据金额不多余5400元,列不等式求解;(3)设利润为1400元,列方程求出a的值为20,不符合(2)的条件,可知不能实现目标.【详解】(1)设A,B两种型号电风扇的销售单价分别为x元/台、y元/台.依题意,得解得答:A,B两种型号电风扇的销售单价分别为250元/台、210元/台.(2)设采购A种型号的电风扇a台,则采购B种型号的电风扇(30-a)台.依题意,得200a+170(30-a)≤5400,解得a≤10.答:A种型号的电风扇最多能采购10台.(3)依题意,有(250-200)a+(210-170)(30-a)=1400,解得a=20.∵a≤10,∴在(2)的条件下超市不能实现利润为1400元的目标.【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系和不等关系,列方程组和不等式求解.24、135°
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