人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册学案：7 2　第一课时　离散型随机变量

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE17.2离散型随机变量及其分布列第一课时离散型随机变量课标要求素养要求1.通过具体实例，了解离散型随机变量的概念.2.了解分布列对于刻画随机现象的重要性.通过研究离散型随机变量的概念，提升数学抽象及逻辑推理素养.新知探究在奥运射击运动中，运动员射击一次，可能出现命中0环，命中1环，……，命中10环等结果，若用X来表示他一次射击所命中的环数，则X即为随机变量．问题上述情景中，随机变量X的取值情况如何？〖提示〗随机变量X的结果可由0，1，……，10共11个数来表示．1．随机变量随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件．定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．2．离散型随机变量可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值.3.随机变量和函数的关系随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同之处在于Ω不一定是数集．拓展深化〖微判断〗1．随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限可列个．(√)2．离散型随机变量的取值是任意的实数．(×)〖提示〗取值是有限个或可以一一列举的随机变量才是离散型随机变量．3．离散型随机变量是指某一区间内的任意值．(×)〖提示〗离散型随机变量一定是某个区间内有限个或可以一一列举的值．〖微训练〗1．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中无放回地条件下每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为()A．1，2，…，6 B．1，2，…，7C．1，2，…，11 D．1，2，3，…〖解析〗可能第一次就取到白球，也可能把6个红球都取完后，才取得白球，故X的可能取值为1，2，3，4，5，6，7.〖答案〗B2．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分X的所有可能取值是__________．〖解析〗当答对3道题时，X＝300；当答对2道题时，X＝100；当答对1道题时，X＝－100；当答对0道题时，X＝－300.〖答案〗300,100,－100,－300〖微思考〗1．随机变量是自变量吗？〖提示〗不是．它是随试验结果变化而变化的，不是主动变化的．2．离散型随机变量的取值必须是有限个吗？〖提示〗不一定．离散型随机变量的取值可以一一列举出来，所取值可以是有限个，也可以是无限个．

题型一随机变量的概念〖例1〗判断下列各个量是否为随机变量，并说明理由．(1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被抽出卡片的号数；(2)抛两枚骰子，出现的点数之和；(3)体积为8cm3的正方体的棱长．解(1)被抽取卡片的号数可能是1，2，…，10，出现哪种结果是随机的，是随机变量．(2)抛两枚骰子，出现的点数之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，共11种情况，出现哪种情况都是随机的，因此是随机变量．(3)正方体的棱长为定值，不是随机变量.规律方法解答此类题目的关键在于分析变量是否满足随机试验的结果，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能取的值，而不知道在一次试验中哪一个结果发生，随机变量取哪一个值．〖训练1〗指出下列哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某人射击一次命中的环数；(2)掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数；(3)某个人的属相随年龄的变化．解(1)某人射击一次，可能命中的所有环数是0，1，…，10，而且出现哪一个结果是随机的，因此命中的环数是随机变量．(2)掷一枚骰子，出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个，且出现哪一个结果是随机的，因此出现的点数是随机变量．(3)一个人的属相在他出生时就确定了，不随年龄的变化而变化，因此属相不是随机变量．题型二离散型随机变量的判断〖例2〗指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)湖南矮寨大桥桥面一侧每隔30米有一路灯，将所有路灯进行编号，其中某一路灯的编号X；(2)在一次数学竞赛中，设一、二、三等奖，小明同学参加竞赛获得的奖次X；(3)丁俊晖在2017年世锦赛中每局所得的分数．解(1)桥面上的路灯是可数的，编号X可以一一列出，是离散型随机变量．(2)小明获奖等次X可以一一列出，是离散型随机变量．(3)每局所得的分数X可以一一列举出来，是离散型随机变量．规律方法判断离散型随机变量的方法(1)明确随机试验的所有可能结果．(2)将随机试验的结果数量化．(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．〖训练2〗下列随机变量是离散型随机变量的个数是()①掷一枚骰子出现的点数；②投篮一次的结果；③某同学在12：00至12：30到校的时间；④从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件，其中合格品的件数．A．1 B．2C．3 D．4〖解析〗①中骰子出现的点数为1，2，3，4，5，6，可以一一列举出来．②中投篮一次有两种情况，若用1表示投中，0表示不中，则也可以一一列举出来．④中所取3件产品的合格品数可能为0，1，2，3，共4种情况，可以一一列举出来．③中学生到校时间可以是12：00到12：30中的任意时刻，不能一一列举出来，因此③不是离散型随机变量，故只有①②④满足．〖答案〗C题型三用随机变量表示事件的结果〖例3〗写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数．(2)从分别标有数字1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．解(1)设所需的取球次数为X,则X＝1，2，3，4，…，10，11，X＝i表示前(i－1)次取到的均是红球，第i次取到白球，这里i＝1，2，3，4，…，11.(2)设所取卡片上的数字之和为X,则X＝3，4，5，…，11.X＝3,表示“取出标有1，2的两张卡片”；X＝4,表示“取出标有1，3的两张卡片”；X＝5,表示“取出标有2，3或1，4的两张卡片”；X＝6,表示“取出标有2，4或1，5的两张卡片”；X＝7,表示“取出标有3，4或2，5或1，6的两张卡片”；X＝8,表示“取出标有2，6或3，5的两张卡片”；X＝9,表示“取出标有3，6或4，5的两张卡片”；X＝10,表示“取出标有4，6的两张卡片”；X＝11,表示“取出标有5，6的两张卡片”．〖迁移1〗(变条件)若本例(2)中条件不变，所取卡片上的数字之差的绝对值为随机变量Y,请问Y有哪些取值？其中Y＝4表示什么含义？解Y的所有可能取值有：1，2，3，4，5.Y＝4表示“取出标有1，5或2，6的两张卡片”．〖迁移2〗(变条件，变问法)甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”，用X表示需要比赛的局数，写出X所有可能的取值，并写出表示的试验结果．解根据题意可知X的可能取值为4，5，6，7.X＝4表示共打了4局，甲、乙两人有1人连胜4局．X＝5表示在前4局中有1人输了一局，最后一局此人胜出．X＝6表示在前5局中有1人输了2局，最后一局此人胜出．X＝7表示在前6局中，两人打平，后一局有1人胜出．规律方法解答用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果．(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．〖训练3〗(多空题)一个木箱中装有6个大小相同的篮球，编号分别为1，2，3，4，5，6，现随机抽取3个篮球，以X表示取出的篮球的最大号码，则X所有可能的取值为__________，其中X＝4表示的试验结果有__________种．〖解析〗根据题意可知X的可能取值为3，4，5，6，其中当X＝4时，表示取得的一球编号为4，另两个球从1，2，3中选取，有Ceq\o\al(2,3)＝3(种)．〖答案〗3，4，5，63一、素养落地1．通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养．2．所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件．3．写随机变量表示的结果，要看三个特征：(1)可用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取值．二、素养训练1．下列叙述中，是离散型随机变量的为()A．将一枚均匀硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和B．某人早晨在车站等出租车的时间C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数D．袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性〖解析〗选项A，掷硬币不是正面向上就是反面向上，次数之和为5，是常量；选项B，是随机变量，但不能一一列出，不是离散型随机变量；选项D，事件发生的可能性不是随机变量．故选C.〖答案〗C2．掷均匀硬币一次，随机变量为()A．掷硬币的次数B．出现正面向上的次数C．出现正面向上的次数或反面向上的次数D．出现正面向上的次数与反面向上的次数之和〖解析〗掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量，设为X，X的取值是0，1.A项中掷硬币的次数就是1，不是随机变量；C项中的标准模糊不清；D项中，出现正面向上的次数和反面向上的次数的和必是1，对应的是必然事件，试验前便知是必然出现的结果，所以不是随机变量．故选B.〖答案〗B3．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是()A．取到产品的件数 B．取到正品的概率C．取到次品的件数 D．取到次品的概率〖解析〗对于A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B、D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0，1，2，是随机变量．〖答案〗C4.抛掷2枚骰子，所得点数之和记为X，那么“X＝4”表示的随机试验的结果是()A．2枚都是4点B．1枚是1点，另1枚是3点或者1枚是3点，另1枚是1点C．2枚都是2点D．1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点，或者1枚是3点，另一枚是1点〖解析〗抛掷2枚骰子，设其中1枚是x点，另1枚是y点，其中x，y＝1，2，…，6.而X＝x＋y，故X＝4⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\a