人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册课时作业6：7 4 1 第2课时 二项分布的综合问题练习

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE1第2课时二项分布的综合问题课时对点练1．设X～B(40，p)，且E(X)＝16，则p等于()A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4〖答案〗D〖解析〗∵E(X)＝16，∴40p＝16，∴p＝0.4.2．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－k，k＝0,1,2，…，n，且E(X)＝24，则D(X)的值为()A.eq\f(2,9)B．8C．12D．16〖答案〗B〖解析〗由题意可知X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(2,3)))，所以eq\f(2,3)n＝E(X)＝24，所以n＝36，所以D(X)＝n·eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝36×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝8.3．已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是()A．6和2.4 B．2和2.4C．2和5.6 D．6和5.6〖答案〗B〖解析〗因为X＋Y＝8，所以Y＝8－X.所以E(Y)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(Y)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.4．某同学上学路上要经过3个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是eq\f(1,3)，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的，记X为遇到红灯的次数，若Y＝3X＋5，则Y的标准差为()A.eq\r(6) B．3C.eq\r(3) D．2〖答案〗A〖解析〗因为该同学经过每个路口时，是否遇到红灯互不影响，所以可看成3重伯努利试验，即X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,3)))，则X的方差D(X)＝3×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(2,3)，所以Y的方差D(Y)＝32·D(X)＝9×eq\f(2,3)＝6，所以Y的标准差为eq\r(DY)＝eq\r(6).5．(多选)设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(3，p)，若P(ξ≥1)＝eq\f(5,9)，则()A．p＝eq\f(1,3) B．E(ξ)＝eq\f(2,3)C．D(η)＝1 D．P(η≥2)＝eq\f(7,27)〖答案〗ABD〖解析〗∵P(ξ＝0)＋P(ξ≥1)＝1，∴Ceq\o\al(0,2)(1－p)2＋eq\f(5,9)＝1，∴p＝eq\f(1,3)，∴E(ξ)＝2×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，D(η)＝3×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3).P(η≥2)＝Ceq\o\al(3,3)p3＋Ceq\o\al(2,3)p2(1－p)＝eq\f(1,27)＋eq\f(6,27)＝eq\f(7,27).6．(多选)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A＝a1a2a3a4a5(例如10100)，其中A的各位数中ak(k＝2,3,4,5)出现0的概率为eq\f(1,3)，出现1的概率为eq\f(2,3)，记X＝a2＋a3＋a4＋a5，则当程序运行一次时()A．X服从二项分布B．P(X＝1)＝eq\f(8,81)C．X的均值E(X)＝eq\f(8,3)D．X的方差D(X)＝eq\f(8,3)〖答案〗ABC〖解析〗由二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能填0,1，且每个数位上的数字再填时互不影响，故以后的5位数中后4位的所有结果有4类：①后4个数出现0，X＝0，记其概率为P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4＝eq\f(1,81)；②后4个数位只出现1个1，X＝1，记其概率为P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3＝eq\f(8,81)；③后4个数位出现2个1，X＝2，记其概率为P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(24,81)；④后4个数位上出现3个1，X＝3，记其概率为P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(32,81)；⑤后4个数位都出现1，X＝4，记其概率为P(X＝4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))4＝eq\f(16,81)，故X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2,3)))，故A正确；又P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3＝eq\f(8,81)，故B正确；∵X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2,3)))，∴E(X)＝4×eq\f(2,3)＝eq\f(8,3)，故C正确；∴X的方差D(X)＝4×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(8,9)，故D错误．7．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答)．〖答案〗0.9477〖解析〗至少3人被治愈的概率为Ceq\o\al(3,4)×0.93×0.1＋0.94＝0.9477.8．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝eq\f(5,9)，则D(Y)＝________.〖答案〗eq\f(8,9)〖解析〗由随机变量X～B(2，p)，且P(X≥1)＝eq\f(5,9)，得P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－Ceq\o\al(0,2)×(1－p)2＝eq\f(5,9)，解得p＝eq\f(1,3).由Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3)))，得随机变量Y的方差D(Y)＝4×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(8,9).9．某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是eq\f(2,3)，出现绿灯的概率都是eq\f(1,3).记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这4盏装饰灯闪烁一次时：(1)求ξ＝2时的概率；(2)求ξ的均值．解(1)依题意知，ξ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯的概率都是eq\f(2,3)，故P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(8,27).(2)方法一ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，依题意知，P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4－k(k＝0,1,2,3,4)．∴ξ的分布列为ξ01234Peq\f(1,81)eq\f(8,81)eq\f(8,27)eq\f(32,81)eq\f(16,81)∴E(ξ)＝0×eq\f(1,81)＋1×eq\f(8,81)＋2×eq\f(8,27)＋3×eq\f(32,81)＋4×eq\f(16,81)＝eq\f(8,3).方法二∵ξ服从二项分布，即ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2,3)))，∴E(ξ)＝4×eq\f(2,3)＝eq\f(8,3).10．为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，均值E(X)为3，标准差eq\r(DX)为eq\f(\r(6),2).(1)求n和p的值，并写出X的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．解由题意知，X～B(n，p)，P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1，…，n.(1)由E(X)＝np＝3，D(X)＝np(1－p)＝eq\f(3,2)，得1－p＝eq\f(1,2)，则n＝6，p＝eq\f(1,2).X的分布列为X0123456Peq\f(1,64)eq\f(3,32)eq\f(15,64)eq\f(5,16)eq\f(15,64)eq\f(3,32)eq\f(1,64)(2)记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)＝P(X≤3)，得P(A)＝eq\f(1,64)＋eq\f(3,32)＋eq\f(15,64)＋eq\f(5,16)＝eq\f(21,32)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或PA＝1－PX>3＝1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,64)＋\f(3,32)＋\f(1,64)))＝\f(21,32)，))所以需要补种沙柳的概率为eq\f(21,32).11．袋中有3个白球和i个黑球，有放回的摸取3次，每次摸取一球，设摸得黑球的个数为ξi，其中i＝1,2，则()A．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)B．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)D．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)〖答案〗A〖解析〗当i＝1时，ξ1可能的取值为0,1,2,3，则P(ξ1＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))3＝eq\f(27,64)，P(ξ1＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2＝eq\f(27,64)，P(ξ1＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2×eq\f(3,4)＝eq\f(9,64)，P(ξ1＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))3＝eq\f(1,64)，所以ξ1～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,4)))，所以E(ξ1)＝3×eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，D(ξ1)＝3×eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(9,16)；当i＝2时，ξ2可能的取值为0,1,2,3，则P(ξ2＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))3＝eq\f(27,125)，P(ξ2＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＝eq\f(54,125)，P(ξ2＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2×eq\f(3,5)＝eq\f(36,125)，P(ξ2＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))3＝eq\f(8,125)，所以ξ2～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,5)))，所以E(ξ2)＝3×eq\f(2,5)＝eq\f(6,5)，D(ξ2)＝3×eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))＝eq\f(18,25)，所以E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)．12．如果X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20，\f(1,3)))，Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20，\f(2,3)))，那么当X，Y变化时，关于P(X＝xk)＝P(Y＝yk)成立的(xk，yk)的个数为()A．10B．20C．21D．0〖答案〗C〖解析〗由题意知＝，对比二项展开式得xk＋yk＝20，所以符合题意的(xk，yk)有(0,20)，(1,19)，…，(20,0)，共21个．13．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,9)))3×eq\f(4,9) B.eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,4),C\o\al(4,5))C.eq\f(3,5)×eq\f(1,4) D．Ceq\o\al(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,9)))3×eq\f(4,9)〖答案〗A〖解析〗由题意知前3次取出的均为黑球，第4次取得的为白球．故其概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,9)))3×eq\f(4,9).14．若随机变量ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(19，\f(2,3)))，则P(ξ＝k)取最大值时k的值为________．〖答案〗13〖解析〗∵随机变量ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(19，\f(2,3)))，∴P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,19)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))19－k，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(k,19)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))19－k≥C\o\al(k－1,19)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))k－1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))20－k，,C\o\al(k,19)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))19－k≥C\o\al(k＋1,19)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))k＋1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))18－k，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3k≤40，,3k≥37，))解得eq\f(37,3)≤k≤eq\f(40,3)，又k取整数，∴k＝13.15．掷骰子游戏：规定掷出1点，甲盒中放一球，掷出2点或3点，乙盒中放一球，掷出4点、5点或6点，丙盒中放一球，共掷6次，用x，y，z分别表示掷完6次后甲、乙、丙盒中球的个数．令X＝x＋y，则E(X)＝________.〖答案〗3〖解析〗将每一次掷骰子看作一次实验，实验的结果分丙盒中投入球(成