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人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE18.2一元线性回归模型及其应用8.2.1一元线性回归模型8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计第一课时一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计基础达标一、选择题1.某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关,则其线性回归方程可能是()A.eq\o(y,\s\up6(^))=-10x+200 B.eq\o(y,\s\up6(^))=10x+200C.eq\o(y,\s\up6(^))=-10x-200 D.eq\o(y,\s\up6(^))=10x-200〖解析〗x的系数为负数,表示负相关,排除B,D;由实际意义可知x>0,y>0,显然C不满足,故选A.〖答案〗A2.根据如下样本数据得到的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))=eq\o(b,\s\up6(^))x+eq\o(a,\s\up6(^)),则()x345678y4.02.5-0.50.5-2.0-3.0A.eq\o(a,\s\up6(^))>0,eq\o(b,\s\up6(^))>0 B.eq\o(a,\s\up6(^))>0,eq\o(b,\s\up6(^))<0C.eq\o(a,\s\up6(^))<0,eq\o(b,\s\up6(^))>0 D.eq\o(a,\s\up6(^))<0,eq\o(b,\s\up6(^))<0〖解析〗画出散点图,知eq\o(a,\s\up6(^))>0,eq\o(b,\s\up6(^))<0.〖答案〗B3.已知x与y之间的一组数据:x0123y1357若y与x线性相关,则y与x的回归直线eq\o(y,\s\up6(^))=eq\o(b,\s\up6(^))x+eq\o(a,\s\up6(^))必过()A.点(2,2) B.点(1.5,0)C.点(1,2) D.点(1.5,4)〖解析〗∵eq\o(x,\s\up6(-))=eq\f(0+1+2+3,4)=1.5,eq\o(y,\s\up6(-))=eq\f(1+3+5+7,4)=4,∴回归直线必过点(1.5,4).故选D.〖答案〗D4.已知x与y之间的一组数据:x0123ym35.57已求得关于y与x的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))=2.2x+0.7,则m的值为()A.1 B.0.85C.0.7 D.0.5〖解析〗eq\o(x,\s\up6(-))=eq\f(0+1+2+3,4)=1.5,eq\o(y,\s\up6(-))=eq\f(m+3+5.5+7,4)=eq\f(m+15.5,4),将其代入eq\o(y,\s\up6(^))=2.2x+0.7,可得m=0.5,故选D.〖答案〗D5.已知表中y与x之间的线性回归方程是eq\o(y,\s\up6(^))=eq\o(b,\s\up6(^))x+5.25,则eq\o(b,\s\up6(^))等于()x1234y4.5432.5A.-0.5B.-0.6C.-0.7D.-0.8〖解析〗由表中数据,得eq\o(x,\s\up6(-))=eq\f(1+2+3+4,4)=2.5,eq\o(y,\s\up6(-))=eq\f(4.5+4+3+2.5,4)=3.5,故回归直线eq\o(y,\s\up6(^))=eq\o(b,\s\up6(^))x+5.25经过样本点的中心(2.5,3.5),得3.5=2.5eq\o(b,\s\up6(^))+5.25,解得eq\o(b,\s\up6(^))=-0.7,故选C.〖答案〗C二、填空题6.在一次试验中测得(x,y)的四组数据如下:x16171819y50344131根据上表可得线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))=-5x+eq\o(a,\s\up6(^)),据此模型预报当x=20时,eq\o(y,\s\up6(^))的值为__________.〖解析〗eq\o(x,\s\up6(-))=eq\f(16+17+18+19,4)=17.5,eq\o(y,\s\up6(-))=eq\f(50+34+41+31,4)=39,∴回归直线过点(17.5,39),∴39=-5×17.5+eq\o(a,\s\up6(^)),∴eq\o(a,\s\up6(^))=126.5,∴当x=20时,eq\o(y,\s\up6(^))=-5×20+126.5=26.5.〖答案〗26.57.某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据:产量x(千件)2356成本y(万元)78912由表中数据得到的线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))=eq\o(b,\s\up6(^))x+eq\o(a,\s\up6(^))中eq\o(b,\s\up6(^))=1.1,则预测当产量为9千件时,成本约为__________万元.〖解析〗由表中数据得eq\o(x,\s\up6(-))=4,eq\o(y,\s\up6(-))=9,代入线性回归方程解得eq\o(a,\s\up6(^))=4.6,∴当x=9时,eq\o(y,\s\up6(^))=1.1×9+4.6=14.5.〖答案〗14.58.期中考试后,某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析,得到数学成绩y对总成绩x的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))=6+0.4x.由此可以估计:若两个同学的总成绩相差50分,则他们的数学成绩大约相差__________分.〖解析〗令两人的总成绩分别为x1,x2,则对应的数学成绩估计为eq\o(y,\s\up6(^))1=6+0.4x1,eq\o(y,\s\up6(^))2=6+0.4x2,所以|eq\o(y,\s\up6(^))1-eq\o(y,\s\up6(^))2|=|0.4(x1-x2)|=0.4×50=20.〖答案〗20三、解答题9.某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系随机统计了某4天的用电量与当天气温如下表:气温(℃)141286用电量22263438(1)求用电量y与气温x的线性回归方程;(2)由(1)的方程预测气温为5℃时,用电量的度数.解(1)由题意知样本值n=4,eq\o(x,\s\up6(-))=10,eq\o(y,\s\up6(-))=30,则eq\o(b,\s\up6(^))=eq\f(\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i=1))(xi-\o(x,\s\up6(-)))(yi-\o(y,\s\up6(-))),\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i=1))(xi-\o(x,\s\up6(-)))2)=eq\f(4×(-8)+2×(-4)+(-2)×4+(-4)×8,16+4+4+16)=eq\f(-80,40)=-2,eq\o(a,\s\up6(^))=eq\o(y,\s\up6(-))-eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(-))=30-(-2)×10=50,所以线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))=-2x+50.(2)令(1)中的回归方程中x=5,代入方程得eq\o(y,\s\up6(^))=40,所以预测当气温是5℃时,用电量是40度.10.有人统计了同一个省的6个城市某一年的人均国民生产总值(即人均GDP)x(单位:万元)和这一年这6个城市患白血病的儿童数量y(单位:人),如下表:人均GDPx/万元1086431患白血病的儿童数y/人351312207175132180(1)画出散点图,并判定这两个变量是否具有线性相关关系;(2)通过计算可知这两个变量的回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))=23.25x+102.15,假如一个城市的人均GDP为12万元,那么可以断言,这个城市患白血病的儿童一定超过380人,请问这个断言是否正确?解(1)根据表中数据画散点图,如图所示.从图中可以看出,在6个点中,虽然第一个点离这条直线较远,但其余5个点大致分布在这条直线的附近,所以这两个变量具有线性相关关系.(2)上述断言是错误的.将x=12代入eq\o(y,\s\up6(^))=23.25x+102.15得eq\o(y,\s\up6(^))=23.25×12+102.15=381.15>380,但381.15是对该城市人均GDP为12万元的情况下所作的一个估计,该城市患白血病的儿童可能超过380人,也可能低于380人.能力提升11.在2020年5月1日,某市物价部门对本市的5家商场某商品的一天销售量及其价格进行了调查,5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示:价格x(元)99.51010.511销售量y(件)1110865由散点图可知,销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系,其线性回归直线方程是:eq\o(y,\s\up6(^))=-3.2x+eq\o(a,\s\up6(^)),则eq\o(a,\s\up6(^))=()A.-24 B.35.6C.40.5 D.40〖解析〗价格的平均数是eq\o(x,\s\up6(-))=eq\f(9+9.5+10+10.5+11,5)=10,销售量的平均数是eq\o(y,\s\up6(-))=eq\f(11+10+8+6+5,5)=8,将(10,8)代入回归方程eq\o(y,\s\up6(^))=-3.2x+eq\o(a,\s\up6(^)),得8=-3.2×10+eq\o(a,\s\up6(^)),∴eq\o(a,\s\up6(^))=8+3.2×10=40,故选D.〖答案〗D12.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:单价x(元)88.28.48.68.89销量y(件)908483807568(1)求回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))=eq\o(b,\s\up6(^))x+eq\o(a,\s\up6(^)),其中eq\o(b,\s\up6(^))=-20;(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,若该产品的成本是4元/件,则为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)解(1)由于eq\o(x,\s\up6(-))=eq\f(1,6)(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5,eq\o(y,\s\up6(-))=eq\f(1,6)(90+84+83+80+75+68)=80,所以eq\o(a,\s\up6(^))=eq\o(y,\s\up6(-))-eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(-))=80+20×8.5=250,从而回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))=-20x+250.(2)设工厂获得的利润为L元,依题意得L=x(-20x+250)-4(-20x+250)=-20x2+330x-1000=-20(x-8.25)2+361.25.当且仅当x=8.25时,L取得最大值,故当单价定为8.25元时,工厂可获得最大利润.创新猜想13.(多选题)某公司过去五个月的广告费支出x(单元:万元)与销售额y(单位:万元)之间有下列对应数据:x24568y▲40605070工作人员不慎将表格中y的第一个数据丢失.已知y对x呈线性相关关系,且回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))=6.5x+17.5,则下列说法正确的是()A.销售额y与广告费支出x正相关;B.丢失的数据(表中▲处)为30;C.该公司广告费支出每增加1万元,销售额一定增加6.5万元;D.若该公司下月广告费支出为8万元,则销售额约为75万元.〖解析〗由回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))=6.5x+17.5,可知eq\o(b,\s\up6(^))=6.5,则销售额y与广告费支出x正相关,所以A正确;设丢失的数据为m,由表中的数据可得eq\o(x,\s\up6(-))=5,eq\o(y,\s\up6(-))=eq\f(220+m,5),把点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5,\f(220+m,5)))代入回归方程,可得eq\f(220+m,5)=6.5×5+17.5,解得m=30,所以B正确;该公司广告费支出每增加1万元,销售额不一定增加6.5万元,所以C不正确;若该公司下月广告费支出为8万元,则销售额约为eq\o(y,\s\up6(^))=6.5×8+17.5=69.5(万元),所以D不正确.故选AB.〖答案〗AB14.(多空题)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位:h)与当天投篮命中率y之间的关系:时间x12345命中率y0.40.50.60.60.4小李这5天的平均投篮命中率为__________;用线性回归分析的方法,预测小李该月6号打6h篮球的投篮命中率为__________.〖解析〗eq\o(y,\s\up6(-))=eq\f(0.4+
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