专题12.17 构造三角形全等方法-截长补短和倍长中线（知识梳理与考点分类讲解）（人教版）（学生版） 2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题12.17构造三角形全等方法——截长补短和倍长中线（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】当不能直接证明两个三角形全等时，可以通过添加适当的辅助线，使它们在两个合适的三角形之中，再证这两个三角形全等，本专题介绍截长补短法和倍长中线法.【知识点一】截长补短法截长法：在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证明剩下的线段与另一短边相等。补短法：延长较短线段至与另一条已知的较短线段的长度相等，然后证明新线段与最长的已知线段的关系。【知识点二】倍长中线法倍长中线：是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则\t"/item/%E5%80%8D%E9%95%BF%E4%B8%AD%E7%BA%BF%E6%B3%95/_blank"对应角对应边都对应相等。常用于构造\t"/item/%E5%80%8D%E9%95%BF%E4%B8%AD%E7%BA%BF%E6%B3%95/_blank"全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“\t"/item/%E5%80%8D%E9%95%BF%E4%B8%AD%E7%BA%BF%E6%B3%95/_blank"SAS”证明）第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】截长补短【例1】已知：如图，在中，，、分别为、上的点，且、交于点．若、为的角平分线．

(1)求的度数；(2)若，，求的长．【变式1】如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD．【变式2】如图所示，AD平分∠BAC，P是射线AD上一点，P与A不重合，．求证：．【题型2】倍长中线【例2】（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知中，，，是的中线，求的取值范围．【变式1】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题：(1)求证：和是兄弟三角形．(2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题．①请在图中通过作辅助线构造，并证明．②求证：．【变式2】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图1，在中，是边上的中线，和的周长之差为，且的长是．

(1)求的长；(2)求长度的取值范围；(3)若，是的中点，如图，直接写出的面积．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例】（2021·黑龙江大庆·中考真题）已知，如图1，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在中，是的内角平分线，则的边上的中线长的取值范围是2、拓展延伸【例1】课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明．(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．【例2】（22-23八年级上·广东汕头·期末）（1）阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是______，中线的取值范围是______；