湖北省武汉市2021年中考数学试卷（含答案）

湖北省武汉市2021年中考数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、单选题1．3的相反数是（）A．3 B．-3 C．13 D．2．下列事件中是必然事件的是（）A．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B．随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数C．打开电视机，正在播放广告 D．从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级3．下列图形都是由一个圆和两个相等的半圆组合而成的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．​​ B．​​ C．​​ D．​​4．计算(−aA．−a6 B．a6 C．−5．如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（） A． B． C． D．6．学校招募运动会广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人，则两人恰好是一男一女的概率是（）A．13 B．12 C．237．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱.多出3钱；每人出7钱，差4钱.问人数，物价各是多少？若设共有x人，物价是y钱，则下列方程正确的是（）A．8(x−3)=7(x+4) B．8x+3=7x−4C．y−38=y+48．一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返同，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离y（单位：km）与慢车行驶时间t（单位：ℎ）的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是（）A．53ℎ B．32ℎ C． 第8题图 第9题图9．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将BC沿BC翻折交AB于点D.再将BD沿AB翻折交BC于点E.若BE=DE，设∠ABC=α，则A．21.9°<α<22.3° B．22.3°<α<22.7°C．22.7°<α<23.1° D．23.1°<α<23.5°10．已知a，b是方程x2−3x−5=0的两根，则代数式A．-25 B．-24 C．35 D．36二、填空题11．计算(−5)2的结果是12．我国是一个人口资源大国，第七次全国人口普查结果显示，北京等五大城市的常住人口数如下表，这组数据的中位数是.城市北京上海广州重庆成都常住人口数/万2189248718683205209413．已知点A(a，y1)，B(a+1，y2)在反比例函数y=m2+114．如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上；航行12n mile到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上.小岛A到航线BC的距离是n mile（3≈1.7315．已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c①若抛物线经过点(−3，0)，则b=2a；②若b=c，则方程cx2+bx+a=0③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；④点A(x1，y1)，B(x2，16．如图（1），在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等，设x=AD，y=AE+CD，y关于x的函数图象如图（2），图象过点(0，2)，则图象最低点的横坐标是.三、解答题17．解不等式组2x≥x−1  ①4x+10>x+1  ②（1）解不等式①，得；（2）解不等式②，得；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（4）原不等式组的解集是.18．如图，AB//CD，∠B=∠D，直线EF与AD，BC的延长线分别交于点E，F.求证：∠DEF=∠F.19．为了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t（单位：ℎ），按劳动时间分为四组：A组“t<5”，B组“5≤t<7”，C组“7≤t<9”，D组“t≥9”.将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图.​​根据以上信息，解答下列问题：（1）这次抽样调查的样本容量是，C组所在扇形的圆心角的大小是；（2）将条形统计图补充完整；（3）该校共有1500名学生，请你估计该校平均每周劳动时间不少于7ℎ的学生人数.20．如图是由小正方形组成的5×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形ABCD的四个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.（1）在图（1）中，先在边AB上画点E，使AE=2BE，再过点E画直线EF，使EF平分矩形ABCD的面积；（2）在图（2）中，先画△BCD的高CG，再在边AB上画点H，使BH=DH.21．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O上两点，C是BD的中点，过点C作AD的垂线，垂足是E.连接AC交BD于点F.（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若DCDF=622．在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品，A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg.生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其他成本9元.市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒.（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）；（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润.23．问题提出如图（1），在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，BC=AC，EC=DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F，线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？（1）问题探究：先将问题特殊化.如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；（2）再探究一般情形.如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立.（3）问题拓展如图（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，BC=kAC，EC=kDC（k是常数），点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F，直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系.24．抛物线y=x2−1交x轴于A，B两点（A在B（1）▱ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上.①如图（1），若点C的坐标是(0，3)，点E的横坐标是32，直接写出点A，D②如图（2），若点D在抛物线上，且▱ACDE的面积是12，求点E的坐标；（2）如图（3），F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点，若直线l与抛物线只有一个公共点，求证FG+FH的值是定值.

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：根据相反数的定义知：3的相反数是-3，故答案为：B.【分析】只有符号不同的两个数叫作互为相反数，根据定义即可直接得出答案.2．【答案】D【解析】【解答】解：A、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上是随机事件；B、随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数，是随机事件；C、打开电视机，正在播放广告，是随机事件；D、从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级，是必然事件.故答案为：D.【分析】必然事件是指一定会发生或一定不会发生的事件。随机事件是指可能发生也可能不发生的事件.根据定义并结合各选项即可判断求解.3．【答案】A【解析】【解答】解：A选项中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项正确；B选项中的图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不正确；C选项中的图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不正确；D选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不正确；故答案为：A.【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；

在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形；根据定义并结合图形即可判断求解.4．【答案】A【解析】【解答】解：(−a故答案为：A.【分析】根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可求解.5．【答案】C【解析】【解答】∵的主视图是，故答案为：C.【分析】主视图是从物体正面看所得到的图形，其中看得到的棱长用实线表示，看不到的棱长用虚线的表示，结合已知的几何体可求解．6．【答案】C【解析】【解答】解：画树状图如图：共有12种等可能的结果，恰好选出是一男一女两位选手的结果有8种，俗好选出是一男一女两位选手的概率为812故答案为：C.【分析】由题意画出树状图，由树状图的信息可知共有12种等可能的结果，恰好选出是一男一女两位选手的结果有8种，然后根据概率公式可求解.7．【答案】D【解析】【解答】解：设共有x人，则有8x-3=7x+4设物价是y钱，则根据可得：y+3故答案为：D.【分析】若设共有x人，根据物价不变可列方程，即8x-3=7x+4；若设物价是y钱，根据人数不变可列方程.8．【答案】B【解析】【解答】解：设慢车离甲地的距离y（单位：km）与慢车行驶时间t（单位：ℎ）的函数关系为y=kt过（6，a），代入得a=6k，解得k=a∴慢车解析式为：y=a设快车从甲地到乙地的解析式y=k过（2，0），（4，a）两点，代入解析式的2k解得k1快车从甲地到乙地的解析式y=a设快车从乙地到甲地的解析式y=k过（4，a），（6，0）两点，代入解析式的6k解得k2快车从乙地到甲地的解析式y=−a快车从甲地到乙地与慢车相遇y=a解得x=3y=快车从乙地到甲地与慢车相遇y=a解得x=9两车先后两次相遇的间隔时间是92-3=3故答案为：B.【分析】设慢车离甲地的距离y（单位：km）与慢车行驶时间（单位：ℎ）的函数关系为y=kt过（6，a），代入解析式可将k用含a的代数式表示，由题意用的待定系数法可求得快车从甲地到乙地的解析式；同理可求得快车从乙地到甲地的解析式；分别把慢车解析式和快车从甲地到乙地的解析式、慢车解析式和快车从乙地到甲地的解析式联立解方程组可求解.9．【答案】B【解析】【解答】解：将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，则⊙O、⊙O′、⊙O″为等圆.∵⊙O与⊙O′为等圆，劣弧AC与劣弧CD所对的角均为∠ABC，∴AC=同理：DE=又∵F是劣弧BD的中点，∴DE=∴AC=∴弧AC的度数=180°÷4=45°.∴∠B=12∴α所在的范围是22.3°<α<22.7°；故答案为：B.【分析】如图，连接AC，CD，DE．证明∠CAB＝3α，利用三角形内角和定理求出α即可求解．10．【答案】D【解析】【解答】解：∵已知a，b是方程x2∴a2−3a−5=0，∴2a故答案为：D.【分析】由一元二次方程的根的定义和根与系数的关系可得：a2-3a-5=0，b2-3b-5=0，a+b=3，然后用整体的代换计算即可求解.11．【答案】5【解析】【解答】解：原式=|-5|=5

故答案为：5

【分析】根据二次根式的性质，一个数的平方的算术平方根，等于这个数的绝对值，即可得出答案。12．【答案】2189【解析】【解答】解：∵这组数据按照从小到大的顺序排列为：1868，2094，2189，2487，3205∴中位数为：48.故答案为：填：2189.【分析】中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；根据定义并结合表格中的信息计算即可求解.13．【答案】-1＜a＜0【解析】【解答】解：∵m2∴图象经过第一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小，∵点A(a，y1)，B(a+1，y2)在反比例函数y=m∴a<0a+1>0∴−1<a<0，故答案为：-1＜a＜0.【分析】由平方的非负性可得m2+1＞0，根据反比例函数的性质“图象经过第一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小”并结合题意“y1＜y2”可得a＜a+1，于是可得关于b的不等式组a＜0，a+1＞0，解不等式组可求解.14．【答案】10.4【解析】【解答】过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意，得∠ABC=30°，∠ACD=60°，∴∠ABC=∠CAB=30°，∴AC=BC=12，∵sin60°=ADAC∴AD=ACsin60°=12×32=6故答案为：10.4.【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，由已知条件易得∠ABC=30°，∠ACD=60°，根据锐角三角函数sin60°=ADAC15．【答案】①②④【解析】【解答】解：∵抛物线经过点(−3，0)∴0=(−3)∵a+b+c=0∴b=2a故①正确；∵b=c，a+b+c=0∴a=-2c，∵cx2+bx+a=0∴cx2+cx-2c=0，即x2+x-2=0∴一定有根x=-2故②正确；当b2-4ac≤0时，图象与x轴少于两个公共点，只有一个关于a、b、c的方程，故存在a、b、c使b2-4ac≤0，故③错误；若0<a<c，则有b<0且|b|>|c|>|a|，|b|>2|a|，所以对称轴−b2a>1，因为a>0在对称轴左侧，函数单调递减，所以当x1<x2<1时，y1>y2故填：①②④.【分析】①由题意把点（-3，0）的代入抛物线的解析式可得关于a、b、c的等式，并结合已知的等式可求解；

②由题意把b=c代入已知的等式a+b+c=0可得a=-2c，代入方程cx2+bx+a=0计算可求解；

③计算b2-4ac的值即可判断求解；

④根据二次函数的性质可求解.16．【答案】2【解析】【解答】解：由图可知，当x=0时，AE+CD=AB+AC=2∴AB=AC=1，BC=2，图象最低点函数值即为AE+CD的最小值由题意可得：CD=x2+1∴AE+CD=x2+1+(22−x)∴当这三点共线时，AE+CD最小设该直线的解析式为y=kx+b−1=b22∴y=(当y=0时，x=2−1故填2−1【分析】观察函数图象，根据图象经过点（0，2）即可得AB和AC的长，用勾股定理可求得BC的值，图象最低点函数值即为AE+CD的最小值，用勾股定理可将CD、AE用含x的代数式表示，则AE+CD可用含x的代数式表示，当A、E、N三点共线时，y取得最小值，由y=0可知直线与x轴相交可求解.17．【答案】（1）x≥-1（2）x＞-3（3）解：如下图所示（4）x≥-1【解析】【解答】（1）2x≥x−12x−x≥−1x≥−1（2）4x+10>x+1 4x−x>1 −103x> −9x> −3（4）取x≥−1和x>−3的公共部分，即x≥−1.【分析】根据解一元一次不等式的解题步骤“移项、合并同类项、系数化为1”可先求得每一个不等式的解集，再把各不等式的解集在数轴上表示出来，公共部分即为不等式组的解集.18．【答案】证明：∵AB//CD，∴∠DCF=∠B.∵∠B=∠D，∴∠DCF=∠D.∴AD//BC.∴∠DEF=∠F【解析】【分析】由平行线的性质“两直线平行同位角相等”可得∠DCF=∠B，结合已知得∠DCF=∠D，由内错角相等两直线平行可得AD∥BC，再根据“两直线平行内错角相等”可求解.19．【答案】（1）100；108°（2）解：B组的学生有：100-15-30-10=45（人），补充完整的条形统计图如图所示：​​（3）解：1500×40∴估计该校平均每周劳动时间不少于7ℎ的学生人数大约有600人【解析】【解答】解：（1）这次调查活动共抽取10÷10%=100（人），C组所在扇形的圆心角为360°×30100故答案为：100，108°；【分析】（1）观察条形图和扇形图可知D组的频数和百分数，根据样本容量=频数÷百分数可求得样本容量；根据C组的百分数×360°可求得C组的圆心角；

（2）根据各小组的频数之和等于样本容量可求得B组的频数，于是可将条形图补充完整；

（3）用样本估计整体可求解.20．【答案】（1）解：画图如图（1）过点B沿CB方向取一点M，使得MB=1，△MBE∽△DAE得BEEA=BM（2）解：画图如图（2）画△BCD的高CG，步骤如下：如图，连接M，N(M，N都是格点上的点)交网格线于I，则MI=IN，∴Rt△IQC中IQ=2.5，QC=1∵在Rt△FPB中，BP=1，FP=2.5∴Rt△IQC≌Rt△FPB∴∠BFP=∠CIQ∵∠CIQ=∠ICB，∠ICB+∠CBF=∠CIQ+∠CBF=∠BFP+∠CBF=90°∴∠BGC=90°即CG⊥BD在边AB上画点H，使BH=DH，步骤如下：如图，方法同上，找△XYF≌ΔPBF可得：FY//CG，∵CG⊥BD，F为BD的中点，所以FY⊥BD，即FY为BD的垂直平分线，FY交AB边于H，即为所求点.【解析】【分析】（1）如图取格点M，连接DM交AB于点E，连接BD，取BD的中点F，作直线EF即可求解；

（2）画△BCD的高CG，连接M，N(M，N都是格点上的点)交网格线于I，由题意易证Rt△IQC≌Rt△FPB，结合已知易得CG⊥BD；在边AB上画点H，使BH=DH，同理可求解.21．【答案】（1）证明：连接OC交BD于点G.∵点C是BD的中点，∴BC=∴OC⊥BD.DG=BG，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠EDB=90°.∵CE⊥AE，∴∠E=90°.∴四边形EDGC是矩形，∴∠ECG=90°.∴EC⊥OC，又∵OC为半径，∴CE是⊙O的切线（2）解：连接BC，设FG=x，OB=r.∵DCDF设DF=t，∴DC=6由（1）得，BC=CD=6t，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°.∴∠BCG+∠FCG=90°，∠CFB+∠FCG=90°，∴∠BCG=∠CFB，∴Rt△BCG∽Rt△BFC.∴BC∴BC∴(6解得，x1=t，∴CG=BC2在Rt△OBG中，由勾股定理得OG∴(r−2解得，r=3∴cos【解析】【分析】（1）连接OC交BD于点G，易证明四边形EDGC是矩形，可求得∠ECG＝90°，由圆的切线的判定可得CE是⊙O的切线；

（2）连接BC，设FG＝x，OB＝r，根据已知条件DCDF=6可设DF＝t，DC＝6t，由Rt△BCG∽Rt△BFC的性质可得比例式BC22．【答案】（1）解：设B原料单价为m元，则A原料单价为1.5m元.依题意，得900m解得，m=3，1.5m=4.5.经检验，m=3是原方程的根.∴每盒产品的成本为：4.5×2+4×3+9=30（元）.答：每盒产品的成本为30元（2）解：w=(x−30)[500−10(x−60)]=−10（3）解：∵抛物线w=−10x2+1400x−33000∴当a≥70时，a=70时有最大利润，此时w=16000，即每天的最大利润为16000元；当60<a<70时，每天的最大利润为(−10a【解析】【分析】（1）根据题意列分式方程可求出两种原料的单价，再根据成本＝原料费＋其他成本计算每盒产品的成本即可求解；

（2）根据利润等于售价-成本即可列出函数关系式；

（3）根据（2）中的函数关系式，由函数的性质即可求解．23．【答案】（1）解：BF−AF=2∵∠BCA=∠ECF=90°，∴∠BCE=∠ACF，∵BC=AC，EC=CF，△BCE≌△ACF，∴BE=AF，∴BF-BE=BF-AF=EF=2（2）证明：过点C作CG⊥CF交BE于点G，则∠FCG=∠ACB=90°，∴∠BCG=∠ACF.∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠BCE=∠ACD.又∵AC=BC，DC=EC，∴△ACD≅△BCE，∴∠CAF=∠CBG.∴△ACF≅△BCG.∴AF=BG，CF=CG，∴△CGF是等腰直角三角形.∴GF=2∴BF−AF=BF−BG=GF=（3）解：BF−k⋅AF=1+∵∠BCA=∠ECD=90°，∴∠BCE=∠ACD，∵BC=kAC，EC=kCD，∴△BCE∽△ACD，∴∠EBC=∠FAC，过点C作CM⊥CF交BE于点M，则∠FCM=∠ACB=90°，∴∠BCM=∠ACF.∴△BCM∽△ACF，∴BM：AF=BC：AC=MC：CF=k，∴BM=kAF，MC=kCF，∴BF-BM=MF，MF=MC2∴BF-kAF=1+【解析】【分析】（1）由题意用边角边明△ACD≌△BCE，则BE=AF，根据BF-BE=BF-AF=EF可求解；

（2）