2024-2025学年广西南宁一中高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广西南宁一中高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∈Z|−5<x3<10}，B={x|y=ln(x+1)}A.{0,1,2} B.{0,1} C.{1,2} D.{−1,0,1,2}2.已知a，b∈R，且a−3ib+i=1+2i，其中i是虚数单位，则a+b=(

)A.2 B.−2 C.−4 D.−63.若定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则(

)A.∀x∈R，f(−x)≠f(x) B.∀x∈R，f(−x)=−f(x)

C.∃x0∈R，f(−x04.已知一组数据2x1+1，2x2+1，2x3+1，2x4+1的平均数是3，方差为4A.1，1 B.1，2 C.32, 35.已知递增的等差数列{an}的前n项和为Sn，a1+aA.70 B.80 C.90 D.1006.在△ABC中，BA⋅BC=12BC2，若aA.|b|>|c|>|a| B.|7.已知函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)在区间[0,πA.(23, +∞) B.(23, 8.不等式t(x+y)≤2x+2y对所有的正实数xA.2 B.2 C.24二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.如图，已知AB为圆锥SO的底面的直径，SA=2，C为底面圆周上一点，弧BC的长度是弧AC的长度的2倍，异面直线SB与AC所成角的余弦值为14，则(

)A.圆锥SO的体积为3π3B.圆锥SO的侧面积为2π

C.直线SO与平面SAC所成的角大于30°D.圆锥10.已知抛物线C1：y2=4x，C2：y2=8x的焦点分别为F1，F2，若A，B分别为C1，A.若AF1⊥AB，则|AB|=12

B.若|AB|=43，△F2AB是等腰三角形

C.11.设a>0，定义在R上的函数f(x)满足f(a)=1，且∀x，y∈R，f(x+y)=f(x)f(a−y)+f(y)f(a−x)，则(

)A.f(0)=0 B.f(2a−x)=f(x)

C.f(x)为偶函数 D.f(2025a)=1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(1−2x)(1+3x)6的展开式中，含x2的项的系数为______13.在平面直角坐标系xOy中，若角α的终边过点(−3,−4)，角β的终边与角α的终边关于x轴对称，则sin(α−β)=______．14.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1，若F1关于直线y=2x的对称点A恰好在C四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bsinA=3(acosB−c)．

(1)求角A的大小；

(2)求16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=CD=2，AD=AB=1，AB⊥DA，AB/​/CD，点M是棱PC的中点．

(1)求证：BM//平面PAD；

(2)求平面PAB与平面BMD所成锐二面角的余弦值．17.(本小题15分)

中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了优异的成绩.为了解学生对奥运会的了解情况，某校组织了全校学生参加的奥运会知识竞赛，从一、二、三年级各随机抽取100名学生的成绩(满分：100分，各年级总人数相等)，统计如下：年级[0,60)[60,100]一年级4060二年级2575三年级1090学校将测试成绩分为及格(成绩不低于60分)和不及格(成绩低于60分)两类，用频率估计概率，所有学生的测试成绩结果互不影响．

(1)从一、二年级各随机抽一名学生，记X表示这两名学生中测试成绩及格的人数，求X的分布列和数学期望；

(2)从这三个年级中随机抽取两个年级，并从抽取的两个年级中各随机抽取一名学生，求这两名学生测试成绩均及格的概率．18.(本小题17分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为x±2y=0，A(22,1)为C上一点．

(1)求双曲线C的方程；

(2)若过点A的直线l与C仅有1个公共点，求l的方程；

(3)过双曲线C的右焦点F作两条互相垂直的直线l1，l2，且l1与C交于M，N两点，记MN的中点B，l2与C交于19.(本小题17分)

已知函数f(x)=2x2x−1+1+ax+b(x−1)3(其中a，b∈R)．

(1)当a>0，b=0时，证明：f(x)是增函数；

(2)证明：曲线y=f(x)是中心对称图形；

(3)已知a≠0，设函数g(x)=2参考答案1.A

2.D

3.C

4.A

5.D

6.A

7.B

8.D

9.ABD

10.ABC

11.ABD

12.99

13.242514.1515.解：(1)因为bsinA=3(acosB−c)，

由余弦定理可得：bsinA=3(a⋅a2+c2−b22ac−c)，

整理可得2bcsinA=3⋅(a2−b2−c2)=−3⋅16.解：(1)证明：取PD的中点E，连接ME，AE，

因为E是PD的中点，M是PC的中点，

所以EM//DC，EM=12DC=1，又AB/​/CD，AB=1，

所以EM/​/AB，EM=AB，

所以四边形ABME是平行四边形，所以AE//BM，

又AE⊂平面PAD，BM⊄平面PAD，

所以BM/​/平面PAD．

(2)因为PD⊥平面ABCD，DA，DC⊂平面ABCD，

所以PD⊥AD，PD⊥DC，又AB⊥DA，AB/​/CD，所以AD⊥DC，

以D为坐标原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则D(0,0,0)，P(0,0,2)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，所以M(0,1,1)，

设平面BDM的一个法向量n=(x,y,z)，又DB=(1,1,0)，DM=(0,1,1)，

所以n⋅DB=x+y=0,n⋅DM=y+z=0,

令x=1，解得y=−1，z=1，

所以平面BMD的一个法向量n=(1,−1,1)，

设平面PAB的一个法向量m=(a,b,c)，又AP=(−1,0,2)，AB=(0,1,0)，

所以m⋅AP=−a+2c=0,m⋅AB=b=0.

令a=2，解得b=0，c=117.解：(1)一年级学生及格的频率为60100=35，不及格的频率为40100=25，

二年级学生及格的频率为75100=34，不及格的频率为25100=14，

三年级学生及格的频率为90100=910，不及格的频率为10100=110X012P199所以E(X)=0×110+1×920+2×920=272018.解：(1)由题意可得ba=128a2−1b2=1，

解得a=2b=1，

所以双曲线C的方程为x24−y2=1．

(2)当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y−1=k(x−22)，

代入x24−y2=1，

可得(1−4k2)x2−8k(1−22)k−4[(1−22k)2+1]=0，

当1−4k2=0时，即k=±12时，直线l与双曲线的渐近线平行，只有一个公共点，

即直线l的方程为x−2y+2−22=0，x+2y+2−22=0；

当1−4k2≠0时，Δ=64k2(1−22k)2+16(1−4k2)[(1−22k)2+1]=0，

即(2k−1)2=0，

可得k=22，

此时直线l与双曲线相切，

直线l的方程为2x−2y−2=0，

显然，当直线l斜率不存在时，直线l与双曲线有两个公共点，不满足；

综上所述，与双曲线C仅有1个公共点的直线有3条：x−2y+2−22=0，x+2y+2−22=0，2x−2y−2=0．

(3)当直线l的斜率不存在时，则B与F重合，又c2=4+1=5，即c=5，

所以F(5,0)，D(0,0)，此时直线BD的方程为y=0，

则G到BD的距离为0；

当直线l1的斜率为0时，则D与F重合，D(5,0)，B(0,0)，

此时直线BD的方程为y=0，则G到BD的距离为0；

当直线l1的斜率存在且不为0时，设1l的方程为y=k(x−5)，

设M(x1,y1)N(x2,y2)P(x3,y3)Q(19.解：(1)证明：当a>0，b=0时，f(x)=2x2x−1+1+ax+b(x−1)3=2−22x−1+1+ax，

∵f′(x)=2xln2(2x−1+1)2+a>0，

∴f(x)为增函数；

(2)证明：∵f(2−x)+f(x)=22−x21−