2024-2025学年河南省创新发展联盟高三上学期联考（二）数学试题及答案

2024-2025年度河南省高三年级联考（二）数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，三角函数，平面向量，数列，不等式.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合Ax2x1，Bxaxa3.，若ABx1x5，则a（）A.0B.1C.2D.32.a(2)，b(,m7).设命题p:m(0,)，ab，则（）A.p:m)，a//b，且p为真命题B.p:m(0,)，a//b，且p为真命题C.p:m)，a//b，且p为假命题D.p:m(0,)，a//b，且p为假命题3.若a|b0，则下列结论一定成立的是（）11ab2a2bab2B.C.a3b3D.accbA.ab2n4.已知等比数列a的前n项和为Sn，且S3，则“m7”是“a的公比为2”的（）n1A.必要不充分条件C.充要条件5.已知函数f(x)log3x，若ba0，且a，b是f(x)的图像与直线ym(m0)的两个交点对应的B.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件横坐标，则4ab的最小值为（A.2B.46.三角板主要用于几何图形的绘制和角度的测量，在数学、工程制图等领域被广泛应用.如图，这是由两块）C.6D.8直角三角板拼出的一个几何图形，其中|AB|AC|，|BD|BC|，BD0.连接AD，若ADxAByAC，则xy（）32A.1B.2C.2D.π6π67.若a0，sinxax2bxc0对x[0,8]恒成立，则（）A.a0B.bc0C.c0D.bc16a8.已知A是函数()fxx图象上的一点，点B在直线l:xy30上，则|AB|的最小值是ex3（）72e2A.B.3C.22D.322e二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.39.设数列a，n的前n项和分别为S，T，且bnan，则下列结论不正确的是（）nnnA.若a是递增数列，则Sn是递增数列nB.若a是递减数列，则Sn是递减数列nC.若a是递增数列，则n是递增数列nD.若a是递减数列，则n是递减数列n10.已知f(3x为奇函数，f1，且对任意xR，都有f(x2)f(4x)，则必有（）A.f1B.f(23)0D.f0C.f(7)111.已知函数f(x)sinxsin3x，则（）A.f(x)的图象关于点(π,0)中心对称πB.f(x)的图象关于直线x对称48383C.f(x)的值域为,99π3πD.f(x)在,上单调递增24三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a1，b3，C，则△ABC外接圆的13面积是__________.13.已知某种污染物的浓度C（单位：摩尔/升）与时间t（单位：天）的关系满足指数模型CCek(t，0其中0是初始浓度（即t1k是常数.第2天（即t2）测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第n天测得该污染物的浓度变为270，则n__________.14.1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法.要用尺规作出正十七边形，就要将圆十七等162分.高斯墓碑上刻着如图所示的图案.设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为，则1k122__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）4在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，A，2acosCccosA.5（1）求sinC的值；（2）若a3，求△ABC的周长.16.（15分）已知函数f(x)Ax)b(A0,0,0π)的部分图象如图所示.（1）求f(x)的解析式；（2）求f(x)的零点；π7π12（3）将f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求g(x)在上的值域.17.（15分）a3x已知函数f(x)（1）求a的值；，且f3f122.33x662fx3x10的解集.2（2）求不等式18.（17分）f(x)(ax2)xx22x.已知函数（1）当a0时，求f(x)的单调区间与极值；（2）当x0时，f(x)0恒成立，求a的取值范围.19.（17分）设数列a的前n项和为S，若对任意的nN，都有SkSn（kn为nn2n“和等比数列，其中k为和公比.（1）若n2n3，判断a是否为“和等比数列”.nn是首项为1，公差不为0的等差数列，且n是“和等比数列，n（2）已知n，数列c的前n2bn项和为n.①求n的和公比；②求n；n4③若不等式Tn2(nm对任意的nN恒成立，求m的取值范围.1n222024-2025年度河南省高三年级联考（二）数学参考答案a，解得a2.1.C由题意可得Ax1x3.因为ABx1x5，所以a352.Ap:m)，a//b，当(m7)2m，即m7时，a//b，所以p为真命题.3.B当a3，b2时，a2bab212，此时a2bab2，则A错误.111ab2因为a|b0，所以ab，且0，所以0，所以，则B正确.a2b2ab2当a2，b1时，a3b31，此时a3b3，则C错误.当a2，b1，c3时，ac1，cb2，此时accb，则D错误.1qqa1.14.A设a的公比为q，则S1a232n3因为10，所以1qqm.2由m7，得1qq27，即qq60，解得q2或q3.2由q2，得m7，则“m7”是“n的公比为2”的必要不充分条件.15.B由题意可得0a1b，b，则4ab4，当且仅当4ab2时，等号成立.故4ab的最a小值为4.6.A如图，以A为原点，AB，AC的方向分别为x，y轴的正方向，建立直角坐标系，设AB1，则(0,0)，B0)，C，故AB，AC.作DFAB，交AB的延长线于点F.设|1，则||1，所以D，所以.因为ADxAByAC，所以xy1，则xy1.πππ7π66π6π67.B因为x[0,8]，所以x,.当x时，sinx0；当x1,7时，66π6π6ππ6π0.因为sinπ6sinx0；当x(7,8]时，sin6xxax2bxc0对x[0,8]6b17,aax2bxc0的两根，且a0，则故ba0，c7a0，恒成立，所以1，7是c17,abc15a，bca0.xx1时，fx0，当8.D由题意可得fx(x.设g(x)fx，则gx(x2)e，当xx1时，gx0，fx单调递增.因为f(0)1，所以fx(xe1，得x0，此时x33(0,3)，故|AB32.29.ABD当an7时，a是递增数列，此时Sn不是递增数列，则A错误.当nn12时，nnna是递减数列，此时Sn不是递减数列，则B错误.由n是递增数列，得b是递增数列，且nb0，则T是递增数列，故C正确.由a是递减数列，得b是递减数列，且n0，则T是递nnnnn增数列，故D错误.10.CD由f(3x为奇函数，可得f(3xf(3x，则f(x)的图象关于点0)对称.又f(x2)f(4x)，所以f(x)的图象关于直线x3对称，则f(x)是以8为周期的周期函数，所以f(7)f1，ff0，ff1，f(23)f(7)1，故选CD.11.ACD因为f(πx)f(πx)sin(πx)sinπx)sin(πx)sinπx)0，所以f(x)的图象关于点(π,0)中心对称，则A正确.由题意可得f(x)sinxsin3x2sin2xx，则π4π2π4π4ffx2sin2xx2cos2xx，πππππ4π4x2sin2xx2cos2xx，所以fxfx，所以4244πf(x)的图象不关于直线x对称，则B错误.由题意可得f(x)2sin2xx4sinx4sin3x.设4tsinx[，则ygt)t3t，故gt)t244t21.由gt)0，得333333t；由gt)0，得1t或t1，则g(t)在和上单调递3333333338393839减，在,上单调递增.因为g(g0，g，g，所以333383838383π3π24gt),，即f(x)的值域是,，则C正确.当x,时，99992π3π243tsinx.因为tsinx在,上单调递减，且g(t)在上单调递减，所以f(x)在23π3π24,上单调递增，则D正确.9π11c2a2b22abC192138，则c22.因为C，12.由余弦定理可得43322c329π所以sinC，则△ABC外接圆的半径R，故外接圆的面积为R2.32sinC4kln3(n0eln3213.7由题意可得则e2k3，解得k.因为0ek(n27C，即Ce2270，所Ce3k0003ln32(n以e227，所以(n273ln3，解得n7.2ππ114.15由题可知，则1tan21tan2，π1721721716216π162π162π则22116.171k1tan2k117k117k12π162π16(2kπ(2kπ33πππ由2sinsinsinsinsin2sin17，1717k117171717k1162π得1，故原式16115.17k124453515.1）因为A，且0Aπ，所以sinA1.5因为2acosCccosA，所以2sinAC3sinCA，34所以2cosC3sinC，即C2sinC.5515因为sin2C2C1，所以sin2C.5因为0Cπ，所以sinC.534525（2）由（1）可知sinA，A，sinC，C，5555325则sinBsin(AC)sinACAsinC45255.5555abc由正弦定理可得，sinAsinBsinCasinCasinB则b25，c5，故△ABC的周长为abc335.3(sinAsinA3(16.1）由图可知A2，b1，227ππ12122π||f(x)的最小正周期T2π.因为T，且0，所以2.π12π12π因为f(x)的图象经过点,3，所以f2sin213，12π6πππ即sin1，所以2π(kZ)，即2π(kZ).623ππ3因为0π，所以.故f(x)2sin2x1.3π31πππ5π（2）令f(x)0，得sin2x，则2x2π(kZ)或2x2π(kZ)，23636π7ππ7π解得xπ或π(kZ)，故f(x)的零点为π或π(kZ).412412（3）由题意可得g(x)2sin2x12sin2x1.1236πππ7π因为xππ4π63，所以2x,.126ππππ6当2x当2x，即x时，g(x)取得最大值g3；626π4π7π7π时，g(x)取得最小值g，即x13.1263127π故g(x)在上的值域为13,3.12a3xa32x9aa33x17.1）因为f(x)，所以f(2x)a，x332x33x193a3x则f(x)f(2x)a.3x33x3又312362，所以f3f12a，从而a2.6666623x6（2）由（1）可知f(x)2，显然f(x)在R上单调递增.3x33x33x10，可得fx3xf(0)，1因为f(0)，所以由2fx222则x3x0，解得x3或x0，22fx3x10的解集为(,(0,).2故不等式18.1）当a0时，f(x)2xx22x，其定义域为()，2x1x2xx(x2)2则fx2x2.x1x1当x(0)时，fx0，fx的单调递增区间为(1,0)，当x)时，fx0，fx的单调递减区间为)，故f(x)的极大值为f(0)0，无极小值.（2）设tx1，t)，2agt)(at2a)lntt21，t)，则gt)atta.ta2atata22，则t)设ht)gt)2.tt2t2amt)tata2，则函数mt)的图象关于直线t对称.2设4①当a2时，mt)在)上单调递减.mt)tata20在)上恒成立，即ht)0在成立，则ht)在)上单调递减，即g(t)在因为m2a40，所以2)上恒)上单调递减，)上恒成所以gt)g0，所以g(t)在)上单调递减，则gt)g0，即f(x)0在立，故a2符合题意.②当a2时，mt)在)上单调递减或在)上先增后减，因为m2a40，所以存在t01，使得mt00.当tt时，mt)0ht)0g(t)，即，所以在t0上单调递增.0g0，故因为g0，所以gt)0在t上恒成立，所以g(t)在t上单调递增，则gt000a2不符合题意.综上，a的