专题08 一元一次不等式的认识与解法（解析版）2022-2023学年七年级数学下学期期中期末考点大串讲（苏科版）

专题08元一次不等式的认识与解法

思维导图

生活中的不等式——不宜一用不等号表示不等关系的式子

r不等式的解一能使不等式成立的未蹦的值

不等云工将美一-不等式的解集------个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合

一元一次不等式的认识与解法（解不等式一求不等式解集的过程

性质1—不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变

性质2—不等式的两边都乘（或除以）同一个正数,不等号的方向不变；如果是负数，则改变

一元一次不等式一都只含有T未瞰，并且未知数的烛都是1,系数不等于0.

一、生活中的不等式

一般地，用“<”、或“2”表示大小关系的式子，叫做不等式.用

表示不等关系的式子也是不等式.

要点诠释：

（1）不等号“V”或“〉”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对

的数较大.

⑵五种不等号的读法及其意义：

符号读法意义

它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能

“#，，读作“不等于”

确定哪个大，哪个小

“v，，读作“小于”表示左边的量比右边的量小

“〉，，读作“大于”表示左边的量比右边的量大

读作“小于或等即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量

于“

读作“大于或等即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量

于“

⑶有些不等式中不含未知数，如3V4,-l>-2；有些不等式中含有未知数，如

2x>5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不

等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不

等式不成立.

二、不等式的解及解集

不等式的解是具体的未知数的值，不是一个范围

是一个集合，是一个范围.

其含义：（1）证集中的每一个数值都能使不等式成立

不等式的解

集②能够使不等式成立的所有数值都在解集

中

不等式的解集的表示方法

（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解

集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示.如：不等式X-2W6的解

集为xW8.

（2）用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等

式的无限个解.如图所示：

xNax<a

i>i>

借助数轴可以将不老式的解集直观地表祭出来，在应用数轴表示不等式的解

集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向.（1）确定“边

界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则

用空心圆圈；（2）确定“方向三对边界点a而言，x>a或x》a向右画；对边界

点a而言，xVa或xWa向左画.

注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点.

三、不等式的基本性质

不等式的基本性质1：用式子表示：如果a>b,那么a土c>b土c.

不等式的基本性质2：用式子表示：如果a>b,c>0,那么ac>bc（或q>2）.

cc

不等式的基本性质3：用式子表示：如果a>b,c<0,那么acVbc（或0<2）.

cc

不等式的基本性质的掌握注意以下几点：

（1）不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与

等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会.

（2）运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，

在乘（或除以）同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不

等号的方向要改变.

四、解一元一次不等式

（1）一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式（单项式或多项式）；

②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数为1.

（2）一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：

相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1,“左边”和“右边”

都是整式.

不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号或

连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“=”连接，等号没

有方向.

一元一次不等式的解法

与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化

为：x<a（或x〉a）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：（1）去分母；

⑵去括号；⑶移项；（4）化为公>8（或⑪<。）的形式（其中。工0）；（5）两

边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.

（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵

活运用.

(2)解不等式应注意：

①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；

②移项时不要忘记变号；

③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；

④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变.

不等式的解集在数轴上表示：

在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限

多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助.

在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：

(1)边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；

(2)方向：大向右，小向左.

(2023春•全国•七年级专题练习)若实数3是不等式1+2机<-3的一个解，则用可取的最大

整数是()

A.-1B.2C.-3D.3

【答案】C

【分析】解不等式可得x<-6，〃-9,结合题意"实数3是不等式鼻+2加<-3的一个解"，可得

-6m-9>3,解该不等式即可获得答案.

【详解】解：由不等式鼻+2〃?<-3,得x<-6m—9,

回实数3是不等式《+2相<-3的一个解，

0-6/72-9>3,

解得“<-2,

回”?可取的最大整数为-3.

故本题选：C.

【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及解一元一次不等式，结合题意得到不等

式-6机-9>3是解题关键.

【融会贯通】

1.(2023春•全国•七年级专题练习)不等式4xW10+x的所有正整数解的和为_.

【答案】6

【分析】解不等式，求得不等式的所有正整数解，即可获得答案.

【详解】解：4x<10+x,

移项，得4x—xV10,

合并同类项，得3x410,

系数化为1,得X〈与，

回不等式的所有正整数解为1,2,3,

则不等式的所有正整数解的和是1+2+3=6.

故答案为：6.

【点睛】本题主要考查了求不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题关键.

2.(2023春♦全国•七年级专题练习)若不等式2。+1)-5<3。-1)+4的最小整数解是关于》的

方程gx—g=5的解，求式子加2—2加+2023的值.

【答案】2023

【分析】求出不等式2(x+l)-5<3(x-l)+4的解集，在解集中找出最小的整数解，将最小的

整数解代入方程中，得到关于”的方程，求出方程的解得到的值，将，”的值代入所求代

数式中计算，即可求出值.

【详解】解：不等式2(x+l)-5<3(x-l)+4,

去括号得：2x+2-5<3x-3+4,

移项合并得：-x<4,

解得：x>-4,

则不等式最小的整数解为-3,

又不等式最小整数解是方程;x-/nr=5的解，

将x=—3代入方程得：—1+3m=5,

解得：m=2,

则w2-2m+2023=22-2x2+2023=2023.

【点睛】此题考查了一元一次不等式的整数解，代数式的求值，以及一元一次方程的解，找

出不等式的最小整数解是解本题的关键.

3.(2023春•全国•七年级专题练习)求一元一次不等式1-誓4^的负整数解.

【答案】—2,-1

【分析】求出不等式的解集，可得结论.

【详解】去分母，得6-2(8+x)W3x,

去括号,得6-16-2xW3x,

移项、合并同类项，得-5xW10,

系数化为1,得xN—2,

回负整数解为-2,7.

【点睛】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是掌握一元一次不等式的解法.

Qr+8Y

4.(2023春•全国•七年级专题练习)解不等式：=丫并写出该不等式的最小整

63

数解.

【答案】X2-2,最小整数解是-2

【分析】根据解一元一次不等式的方法，可以求得该不等式的解集，然后写出最小整数解即

可.

【详解】解：怨*-经-1,

63

去分母，得：9x+8-2x>-6,

移项及合并同类项，得：7x2-14,

系数化为1，得：x>-2,

回该不等式的最小整数解是-2.

【点睛】本题考查解一元一次不等式、一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确解

一元一次不等式的方法.

类型二、一元一次不等式中最值

【解惑】

(2023秋•四川绵阳•八年级统考期末)已知n为正整数,若一个三角形的三边边长分别是小

〃+2、w+5,则满足条件的三角形中周长最短的为()

A.13B.16C.19D.22

【答案】C

【分析】根据三角形三边关系列出不等式组，求得〃的最小整数解为4,即可求解.

【详解】解：团(〃+5)—(〃+2)<〃<(〃+5)+(w+2)

即3<〃<2〃+7

回〃的最小整数解为4,

回三角形三边分别为4,6,9,周长为4+6+9=19,

故选：C.

【点睛】本题考查了求不等式组的整数解，三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系

是解题的关键.

【融会贯通】

1.(2023春•全国•七年级专题练习)若x+y=3,x>0,yNO,则2x+3y的最小值为()

A.0B.3C.6D.9

【答案】C

【分析】把问题转化为2x+3y=6-2y+3y=6+y,利用不等式的性质解决最值问题.

【详解】解：.x+y=3,

:.x=3-y,

Ul2x+3y=6-2y+3y=6+y,

,x>0,

.­-3-y>0,即y43,

0<y<3,

.\6<j+6<9,

即642x+3y49,

y=0时,2x+3y的值最小,最小值为6.

故选：C.

【点睛】本题考查代入消元法、不等式的性质，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键.

2.(2022•全国•七年级专题练习)已知(|x+l|+|x+3|)+(|y-2|+|y+3|)=20,则x+y的最大

值与最小值的差为.

【答案】20

【分析】利用绝对值的性质得出(|x+l|+|x+3|)+(|y-2|+|y+3|以x+l+x+3+y-2+y+3|,

进一步列出不等式，并化简，即可求得x+y的最大值和最小值.

【详解】解:(|x+l|+|x+3|)+(|y-2|+|y+3|)Rx+l+x+3+y-2+y+3|

|x+l+x+3+y-2+y+3归20,化简得：

|2x+2y+5]420

|2(x+y)+5|<20

-20<2(x+y)+5<20

25,/5

-------sx+ys—

22

・•・x+y的最大值为：?IS，x+y的最小值为：-?胃5

22

1525

比+丁最大值与最小值的差为：y-(-y)=20.

故答案为：20.

【点睛】本题主要考查绝对值的性质和不等式的化简，熟练绝对值的性质并懂得化简不等式

是解题的关键.

3.（2023春・全国•七年级专题练习）已知非负数x,八z满足?=中=9，设

M=3x-2y+z.则M的最大值与最小值的和为

【答案】-6

【分析】首先设芋=与=彳=&，再根据苍丫是非负数求得A的取值范围，进而求得

拉的取值范围即可解答.

【详解】解：设言=弓2=个=无，

则x=-2A+3,y=3k-2tz=4k-5,

x,y,z均为非负实数，

-2）l+3>0

・•.<3"2N0,

4*-5>0

53

解得：

团M=3x-2），+z=3（-2Z+3）-2（3%-2）+（4"5）=-8%+8,

35

/.-8x—4-8<-Sk+8<-8x—+8,

24

即TWMW-2.

..A/的最大值是-2,最小值是-4,

・•.M的最大值与最小值的和为-6,

故答案为：-6.

【点睛】本题考查了最值问题，设个=乎=9=々求出火的取值范围是解题的关键.

4.（2023春•全国•八年级专题练习）已知不等式xN2,x的最小值是a；x<-6,x的最大

值是8,贝Q+6=.

【答案】-4

【分析】解答此题要理解〃“〃〈〃的意义，判断出〃和〃的最值即可解答.

【详解】解：因为xN2的最小值是〃，。=2；

x<-6的最大值是力，则力=-6；

则。+/?=2—6=Y,

所以a+b=-4.

故答案为：-4.

【点睛】本题考查了不等式的定义，解答此题要明确，XN2时，x可以等于2；xW-6时，

x可以等于-6.

5.（2023春,七年级单元测试）若4、b、c、d是正整数，且a+b=22,a+c=26,a+d=28,

则a+6+c+4的最小值为.

【答案】34

【分析】先将3个等式变形为6=22-a,c=26-a,4=28-a,进而得到

a+8+c+d=76-2a,然后根据它们都是正整数,可求出。的取值范围，进而可得。+6+c+d

的最小值.

【详解】解：由题意可得6=22—a,c=26—a,d=28—a,

Sa+b+c+d=76-2a.

函、b、c、d都是正整数，

a>\

b=22-a>\

0'c=26-a>\'

J=28-a>l

解得：I4a«21,且a为整数，

E134<76-2«<74,

3a+b+c+d的最小值为34.

故答案为：34.

【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，根据题意用a表示出a+b+c+d,并求出取

值范围是解题的关键.

6.（2023春•江苏•七年级专题练习）（1）①比较4"?与川+4的大小：（用<"或"="填

充）

当m=3时，nr+44w；当m=2时，nr+44m；当〃?=-3时，nr+44/w；

②观察并归纳①中的规律，无论加取什么值，川+4—4m（用">"、"<"、（"2"或""），

并说明理由.

（2）利用上题的结论回答：

①当〃2=_时，+4有最小值，最小值是_；

②猜想：/+不的最小值是_

X

【答案】（1）①>；=;>:②2；（2）①0,4；②6

【分析】（1）①当，〃=3时，当,〃=2时，当团=-3时，分别代入计算，再进行比较即可；②

根据（小+4）-4〃?=（〃?-2）220,即可得出答案；

QQQ

（2）①根据题意即可得到结论；②把原式配方得至IJX2+《=（X-±）2+6,于是得至！］当x=2

XXX

时，/十马O的值最小，即可得到结论.

X

【详解】解：（1）①当加=3时,4/??=12,trr+4=13,则>+4>4机，

当机=2时，4/?2=8,ni2+4=8,贝I」加2+4=4/〃，

当昨-3时，47n=12,m2+4=13,则疗+4>4加,

故答案为：>,二，>;

②团（疗+4）—4m=（772-2）2>0,

团无论取什么值，总有>+4之4加；

故答案为：2;

（2）①当机=0时，〃，+4有最小值，最小值是4,

故答案为：0,4；

②团/+==工2-2.%.—+（—）2+6=（%--）2+6,

XXXX

39

0当x=—，即Y=3时，f+r的值最小，

XX

Q

回当V=3时，x?+r的最小值是6,

x

故答案为：6.

【点睛】本题考查了配方法的应用，不等式的性质，用到的知识点是不等式的性质、完全平

方公式、非负数的性质，关键是根据两个式子的差比较出数的大小.

类型三、一元一次不等式中特殊不等式

【解惑】

（2020秋•黑龙江大庆•九年级统考期末）当x时，|x-2|=2-x.

【答案】42

【分析】由题意可知x-2为负数或0,进而解出不等式即可得出答案.

【详解】解：由|x-2|=2-x,可得x-2<0,解得：x<2.

故答案为：42.

【点睛】本题考查绝对值性质和解不等式，熟练掌握绝对值性质和解不等式相关知识是解题

的关键.

【融会贯通】

1.（2023春•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）【问题提出】

*1|+|°-2|+卜-3|+…+|a-2021|的最小值是多少?

【阅读理解】

为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手.利的几何意义是〃这个数在数轴上对应的

点到原点的距离，那么可以看作。这个数在数轴上对应的点到1的距离；+就

可以看作。这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和.下面我们结合数轴研究

+的最小值.

我们先看。表示的点可能的3种情况，如图所示：

(1)如图①，“在1的左边，从图中很明显可以看出“到1和2的距离之和大于1.

(2)如图②，。在1和2之间(包括在1,2上)，可以看出。到1和2的距离之和等于1.

(3)如图③，”在2的右边，从图中很明显可以看出。到1和2的距离之和大于1.

Il.lIIII>IIIl.lII.

-2-la01234-2-101。234

图①图②

IIIIII.Iy

-2-10123a4

图③

所以“到1和2的距离之和最小值是1.

।1II!I1》IIIIIIIIII1

-2-101234-5-4-3-2-1012345

图④图⑤

【问题解决】

⑴|a-3|+|a-6|的几何意义是；请你结合数轴探究：|a-3|+|a-6|的最小值是

⑵请你结合图④探究：|。-1|+|。-2|+卜-3|的最小值是,此时“为；

(3)|a-l|+|a-2|+|a-3|+|a-4|+|a-5|+|a-6|的最小值为；

⑷打一1|+打一2|+卜一3|+--卜一101|的最小值为_____.

【拓展应用】

⑸如图⑤，已知。到-1,2的距离之和小于4,请写出。的范围为.

【答案】(1)。这个数在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和；3；

(2)2；2；

(3)9；

⑷2550；

(5)-1.5<a<2.5.

【分析】(1)根据题干绝对值的几何意义，再结合数轴即可得到答案；

(2)由数轴可知，取中间值2时绝对值之和最小，求解即可得到答案;

(3)由数轴可知，取中间值3和4之间(包括在3,4上)，绝对值之和最小，利用。=3进

行计算即可得到答案；

(4)由数轴可知，取中间值50时绝对值之和最小，求解即可得到答案；

(5)由已知得分三种情况讨论：①此2时；②-/<"2时；③aW-1

时，求解绝对值不等式即可得到答案.

【详解】(1)解：根据题意可知，|"-3|+k-6|的几何意义是“这个数在数轴上对应的点到3

和6两个点的距离之和，

当。在3的左边，可以看出“到3和6的距离之和大于3；

a

I1A.I111I

-2-I01234s6

当。在3和6之间(包括在3,6上)，可以得到。到3和6的距离之和等于3；

a

IAAi11A.AAA

-2-1()123456

当〃在6的右边，从图中很明显可以看出〃到3和6的距离之和大于3；

a

11:111311.1，

2101234s67

所以。到3和6的距离之和最小值是3,

故答案为：”这个数在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和；3；

(2)解：如图所示，当a取中间数时，绝对值之和最小，

即a=2时，|"1|+|。-2|+|。一3|的最小值是1+0+1=2,

故答案为：2；2；

a

，1I，11■a

-2-1012345

(3)解：当“在3和4之间(包括在3,4上)，绝对值之和最小；

当a=3时,|a-l|+|a-2|+|a-3|+|a—4|+|a—5|+|a—6|=2+]+0+]+2+3=9,

故答案为：9;

(4)解：1,2,3,4,5……101的中间数为：51,

・•・当。取中间数51时，绝对值之和最小，

.•"1|+,―2|+|〃_3|+…+卜―101|

=50+49+48+47+…+1+0+1+2+3…M7+48+49+50

=(l+50)XyX2

=51x50

=2550,

故答案为：50；

（5）解：。至IJ-1,2的距离之和小于4,

卜-（-1）|+,-<4,

①当a22时，a-（-1）+a-2<4,

解得：”2.5,

.\2<^<2.5；

②当一/V”2时，«-（-1）+[-（«-2）]=3<4,

—1vav2；

③当1时，叨+0（"2）]v4,

解得：a>—1.5,

—1.5<a41

综上可知，当。到T,2的距离之和小于4时，a的范围为-1.5<a<2.5.

【点睛】本题考查/绝对值的几何意义与性质，解不等式求解集，利用数形结合与分类讨论

的思想，熟练掌握绝对值的性质，理解绝对值的几何意义是解题关键.

2.（2023春・全国•八年级专题练习）（1）【阅读理解】"同"的几何意义是：数。在数轴上对

应的点到原点的距离，所以"问*2"可理解为：数。在数轴上对应的点到原点的距离不小于2,

则：

①"同<2"可理解为」

②请列举两个符号不同的整数，使不等式成立，列举的。的值为一和

我们定义:形如"I*区m,|x|>/n,\x\<m,Ix|>旭”（加为非负数）的不等式叫做绝对值不

等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集.

（2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式.

_|---1----\----1----1----1----1---------------1----1----1----1----1---------

-3-2-101234-3-2-101234

由上图可以得出：绝对值不等式凶>1的解集是x<-1或x>l,

绝对值不等式IX《3的解集是-3MxM3.则：

①不等式W24的解集是

②不等式lgx|<2的解集是一.

（3）【拓展应用】解不等式|x+U+|x-3]>4,并画图说明.

【答案】（1）①数“在数轴上对应的点到原点的距离小于2；0-3；3；

（2）①xWY或x24；②T<x<4；（3）x<-l或x>3,见解析.

【分析】（1）①类比题目所给的信息即可解答；②写出符合题意的两个整数即可（答案不

唯一）；

（2）①类比题目中的解题方法即可解答：②类比题目中的解题方法即可解答：

（3）根据绝对值的几何意义可知，不等式上+1|+氏-3|>4的解集，就是数轴上表示数x的

点到表示-1与3的点的距离之大于4的所有x的值，由此即可确定不等式k+"+|x-3|>4的

解集.

【详解】（1）①由题意可得，"同<2"可理解为数〃在数轴上对应的点到原点的距离小于2.

故答案为：数。在数轴上对应的点到原点的距离小于2；

②时>2

令Ia|=3,

a=±3

使不等式"I"l>2”成立的整数为-3,3,

故答案为：-3,3.

（2）①由题意可知，

不等式冈24的解集是或x"，

故答案为：4或xN4；

②由题意可知，不等式l；x|<2的解集为：

—2<—x<2,

2

BR-4<x<4,

故答案为：—4<x<4；

（3）根据绝对值的几何意义可知，不等式|x+l|+|x-3|>4的解集就是数轴上表示数x的点，

到表示-1与3的点的距离之和大于4的所有x的值，

如下图所示，

-3-2-101234

可知不等式|X+1HX-3|>4的解集是x<—l或x>3.

【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键.

3.（2023春•江苏•七年级专题练习）阅读求绝对值不等式子国<3解集的过程：因为冈<3,

从如图所示的数轴上看：大于-3而小于3的数的绝对值是小于3的，所以凶<3的解集是

-3<x<3,解答下面的问题:

-3<x<3

—«------•----6-----«-_1------------1-------------1-----------6------------1-------------L

-5-4-3-2012345

⑴不等式W<“(4>0)的解集为.

(2)求卜-5|<3的解集实质上是求不等式组.的解集，求卜-5|<3的解集.

［答案］⑴_〃<x<a；

x—5〉-3

⑵），2Vx<8.

x-5<3

【分析】(1)根据题中所给出的例子进行解答即可；

(2)根据题中所给的实例列出关于元的不等式组，求出其解集即可.

【详解】(1)解：用<3的解集是-3<x<3,

，不等式|x|<a(a>0)的解集为：-a<X<a.

故答案为：-a<x<a.

(2)解：冈<3的解集是-3<x<3,

求|x-51V3的解集是一3<x-5<3,

fx—5>—3

—3<x—5<3可化为｛,,,

[x-5<3

fx-5>-3

・••求lx-5|v3的解集实质上是求不等式组,

[工一5<3

解得2vxv8.

故答案为：\[x—5〉-3.

[x-5<3

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意利用数形结合求•元一次不等式的解集

是解答此题的关键.

4.(2020秋,四川凉山,九年级阶段练习)先阅读理解下面的例题，再按要求解决问题.

例题：解一元二次不等式f一9>0.

解：回f—9=(x+3)(x—3),

团(x+3)(x-3)>0.

由有理数的乘法法则〃两数相乘，同号得正〃，有

Ix+3>0

①r-3>0解不等式组①，得光>3

|x+3<0…

②，c解不等式组②，得x<-3,

故原不等式的解集为x>3或x<-3,

即一元二次不等式》2-9>0的解集为x>3或x<—3.

问题：（1）求关于x的两个多项式的商组成的不等式R<0的解集.

2x-9

（2）若“，匕是（1）中解集x的整数解，以a,b,c为ABC为边长，c是ABC中的最长

的边长，①求c的取值范围：②若c为整数，求这个等腰二ABC的周长.

7Q

【答案】（1）（2）①3VcV6或4VcV8或4VcV8；②10或11或13或14或

15.

3r-7-j3x—7>0f3x-7<0

【分析】（1）利用不等式J<0得到①o0八，②。八，进而求出即可；

2x-9[2x-9<0[2]一9>0

（2）根据（1）中所求，得出a,b的值，再求c,进而求出这个等腰包ABC的周长即可.

【详解】（1）回三<0，

2x-9

团由〃两数相除，异号得负〃，有：

八f3x-7>0乙-x79

①*解不等式组①得：T<X<-；

ILX—V<UjL

②解不等式组②得：无解；

回原不等式的解集为7:9

32

7g

（2）①a,b的解集的整数解,

Ela=3,b=3；a=3,b=4；a=4,b=4.

0c是ISABC的最大边，

当a=3,b=3时，3<c<6；

当a=3,b=4时，4<c<7；

当a=4,b=4时>4<c<8；

②当a=3,b=3时,3<c<6,

0c=4或5,

13CABC=10或11;

当a=3,b=4时,4<c<7,

Elc=4,

因CABC=11；

当a=4,b=4时

04<c<8,

0c=5,6,7,

回CABC=13或14或15.

【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用和三角形三边关系等知识，利用已知得出

分式中分子与分母的关系是解题关键.解第（2）问时注意分类讨论.

5.（2023春•江苏•七年级专题练习）解不等式：|x-l|+|x-3|>4.

【答案】x<0或x>4

【详解】试题分析：此题是一个带绝对值的复合不等式，应分为xU,1<XS3,x>3,三种

情况，再根据绝对值的性质化简原式，解不等式即可.

试题解析：当X41时，原式可变形为

1—x+3—x=4—2x>4,解得x<0.

当1<XV3时，原式可变形为

X—1+3—x>4,得2>4,不合题意.

当x>3时，原式可变形为

x—1+x—3=2x—4>4,解得x>4.

0x<O或x>4.

点睛：此题主要考查了带绝对值的复合不等式的解法，解题关键是要根据绝对值的性质，分

情况讨论，然后根据绝对值的性质求解不等式既能解决，解题时注意不等式的基本性质的应

用.

6.（2022•全国•七年级专题练习）对于不等式a*>〃（a>0且aR1）,当时，x>y，当

0<。<1时，X。

请根据以上信息，解答下列问题：

⑴解关于x的不等式：>2^+,

（2）解关于x的不等式其解集中无正整数解，求左的取值范围

【答案】⑴x>l;

（2）k<4.

【分析】（1）根据题意列出一元一次不等式求解即可；

（2）根据题意列出一元一次不等式求解，并根据解集中无正整数解求出k的取值范围即可.

【详解】（1）解:025'-1>23X+I>2>1,

团5x—1>3x+l,

移项得：5x-3x>\+\

合并同类项得：2x>2

系数化为1得：x>\

⑵哈广成,。<六，

>5x-2,

移项合并得：（fc-5）x>-l；

当A-5>0,即4>5时，解得：x>-丁］（可以取遍所有正整数，不合题意）；

K-J

当％-5=0,即％=5时，化简得0>-1（恒成立，可以取遍所有正整数，不合题意）;

当么一5<0,即&<5时，解得：%<一~—,

k-5

回解集中无正整数解，

去分母得：-1"-5,Ck-5<0,不等号改变方向）

解得：氏44.

【点睛】本题考查解一元一次不等式与不等式的性质，掌握解一元一次不等式的一般步骤与

不等式的性质是解题的关键.

7.（2023春•江苏•七年级专题练习）【阅读理解】

我们在分析解决某些数学问题时.，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般

要进行转化，其中“作差法"就是常用的方法之一.其依据是不等式（或等式）的性质：若

x—y>0,则x>y；若x_y=0,则工=^；若x-y<0,则

例：已知机=〃+"，n=3ab-b2,其中b.求证：m>n.证明：

m—n=cr+ab—3ab+b2=a2—2ab+b2=（a—Z7）'.

13alb,

叫>0.

0/7?>n.

【新知应用】

（1）比较大小：x-12+x.

（2）甲、乙两个长方形的长和宽如图所示（〃?为正整数），其面积分别为5、邑.试比较5、

邑的大小关系.

m+7〃?+4

6+1甲加+2乙

【实际应用】

(3)请用"作差法”解决下列问题：

某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，有A、B两种方案可供选择，A方案：每次按原价打

八五折；B方案：第一次按照原价，从第二次起每次打八折.请问游泳的同学选择哪种方案

更合算？

【拓展提升】

(4)已知x、y、z满足x+2y-5z=-7,x-y+z=2,比较代数式――产与？z2的大小.

【答案】(1)<;(2)St>S2(3)当0<x<4时，A方案合算；当x=4时，此时两个方案

的总价相同；当x>4时，B方案合算：(4)x2-y2<2z2

【分析】(1)做片1与2+x的差，再根据差的正负性即可判断；

(2)分别用，〃表示5、S2,然后计算$2的差的正负性，即可得到答案；

(3)根据题意分别写出表示两种方案的总价的代数式，然后作差，再分情况讨论即可；

(4)先将z看作常数，解关于X、)，的二元一次方程组，然后带入并作差，根据差的正负性

即可得到答案；

【详解】解：(1)根据材料得，x-l-(2+x)=-3<0

团x—1<2+x

故填<;

(2)由图知：，=(6+7)(m+1)=Tn?+8〃z+7

2

S2=(rn+4)(/〃+2)=m+6m+8

回S|-S?=m2+8/n+7-(w2+6m+8)=2zn-1

回机是正整数

Sm>l

02/n-l>l>O

团耳>S2

(3)设原价为“(a>0),去的次数为x(x为正整数)，总价分别为叫、叫

根据题意可知：w*=0.85ax,/=a+0.8x“x(x-l)

W

WA~B=0.85ar-[tz+0.8xax(x-l)]=0.05a(x-4)

0a>O,x为正整数，

回当0<x<4时，町-%<0,故叱此时A方案合算；

当x=4时，%一畋=0,故叱(=%，此时两个方案的总价相同；

当x>4时，wA-wB>0,故叫>喙，此时B方案合算；

（4）由x+2y—5z=-7、x—y+z=2得x+2y=5z—7、x—y=2.—z,

fx=z—1

联立方程组并解得cQ

[y-2z-3

0x2-r-2z2=（z-l）2-（2z-3）2-2z2=-5z2+lOz-8=-5（z-l）2-3<-3<O

3x2-y2<2z2

【点睛】本题是材料题，考查了对所给信息的获取能力，涉及了二元一次方程组，不等式的

性质等相关知识,掌握所需知识，理解题意并根据题目所给方法做出结论是本题的解题关键.

类型四、一元一次不等式与二元一次方程中的取值范围

【解惑】

（2023春•安徽合肥•七年级合肥市第四十二中学校考期中）关于x,y的方程组

{2x—y=2k—3

：,的解满足x+y的值不大于5,则氏的取值范围为（）

[x-2y=K

A.k>SB.Z>8C.k&8D.k<8

【答案】C

【分析】根据方程组，得到x+y=4-3,再根据x+），的值不大于5,列出不等式求解即可

得到答案.

【详解】解：方程组2x—/y—2，台k—3①，

①-②得：x+y=k-3,

关于x,V的方程组的解满足犬+了的值不大于5,

k—3K5,

:.k<8,

故选c.

【点睛】本题考查二元一次方程组、不等式，将两式相减得到X与y的和是解题关键.

【融会贯通】

f3x—y=A:—3

L（2023•山东滨州•模拟预测）关于x,y的方程组-，的解，满足x-y<4,则出

=3K-1

的取值范围是（）

A.k>5B.k>5C.k<5D.k<5

【答案】C

【分析】将2个方程相加得出x-y=%-1,根据不等式的解集的情况，得出％-1<4,进而

即可求解.

【详解】解：1[一3x-;y==3k-13®②

由①+②得：4x-4y=4k-4

E]x-y=左一1,

0x-y<4,

0*-1<4

解得：Z<5,

故选：C.

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意得出x-y的表达式是解答此题的关键.

2.（2023春•全国•七年级专题练习）关于X,），的方程组尸'二的解中x与y的和不

=K'

小于5,则％的取值范围为.

【答案】k>8

【分析】把两个方程相减，可得x+y=4-3,x与y的和不小于5,即可求出答案.

【详解】把两个方程相减，可得x+y=A-3

x与y的和不小于5

k-325

解得：k>8

.X的取值范围为&28.

故答案为ZN8.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解二元一次方程组，掌握解一元一次不等式知识点

是解题的关键.

（3x+y=a+l

3.（2023春・广东中山•九年级校考阶段练习）若方程组­。的解x、y满足x+y>5,

[x+3y=3

则a的取值范围为.

【答案】a>16

【分析】由题意解不等式组，用含a的式子表示x+y的值，再根据取值范围求解即可.

3x+y=a+l①

【详解】解:

x+3y=3②

①+②得：4x+4y=a+4,

_a+4

^x+y=——.

4

团工+y>5,

G+4

团>5,

4

解之得：4>16;

故答案为：a>16.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解二元一次方程组用的加减法，观察方程组及方程

组的解所满足的条件，只要将方程组的两个方程相加即可得到x+y的值，这是关键.

4.（2023春•福建漳州•七年级统考期中）已知关于x,y的方程组尸：'=的解满足

[x+2y=4

x+y>5,求左的取值范围.

【答案】Q4

【分析】由①+②得至IJ3（x+y）=3Z+3即x+y=々+l,结合x+y>5可得％+1>5,解不等式

即可.

2x+y=3&-l①

【详解】解:

x+2y=4②

由①+②得：3（x+y）=3Z+3,

即x+y=k+1,

.x+y>5,

:,k+l>5,

解得：k>4.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，解一元一次不等式；解题的关键是巧解方

程组得至iJx+y=R+i.

5.（2023春•黑龙江哈尔滨•八年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）已知方程组

x+3y=-2m+i

是一个关于x,y的二元一次方程组，其中3x与2），的和是非负数，求相的

2x-y=m+3

取值范围.

【答案】m<4

【分析】利用加减消元法求出x、y,然后列出不等式，再解关于加的一元一次不等式即可

得解.

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