立体几何（解答题）

立体几何(解答题)

1.【2019年高考全国I卷文数】如图，直四棱柱A8CD-4B1G。1的底面是菱形,A4=4,A8=2,ZBAD=60°,

E,M,N分别是8C,BBi,40的中点.

(1)证明：MN〃平面GDE；

(2)求点C到平面C\DE的距离.

2.【2019年高考全国H卷文数】如图，长方体的底面ABCQ是正方形，点E在棱A4上,

BE±ECi.

(1)证明：BE_L平面EBCi；

(2)若4E=4E,AB=3,求四棱锥E-的体积.

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3.【2019年高考全国in卷文数】图1是由矩形4OEB,RtZ\ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其

中AB=1,BE=BF=2,

/■FBC=60。.将其沿A8,BC折起使得BE与BF重合，连结。G,如图2.

(1)证明：图2中的A,C,G,。四点共面，且平面ABCL平面BCGE；

(2)求图2中的四边形ACGO的面积.

4.【2019年高考北京卷文数】如图，在四棱锥P-A3CD中，B4_L平面48。，底部4BCQ为菱形，E

为C。的中点.

(1)求证：8。，平面PAC；

(2)若NABC=60。，求证：平面PAB_L平面PAE；

(3)棱PB上是否存在点尸，使得C尸〃平面PAE?说明理由.

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5.【2019年高考天津卷文数】如图，在四棱锥P—A3C。中，底面ABC。为平行四边形，/\PCD为等

边三角形，平面尸AC，平面PC。，PA±CD,CD^2,AD^3.

(1)设G,H分别为PB,AC的中点，求证：G”〃平面PAD；

(2)求证：R4_L平面PCD；

(3)求直线A。与平面PAC所成角的正弦值.

6.【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC-AliG中，D,E分别为BC,AC的中点，AB=BC.

求证：(1)4囱〃平面OEG；

(2)BELC\E.

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7.【2019年高考浙江卷】如图，已知三棱柱ABC—AAC，平面4ACG，平面ABC,ZABC=90°,

NBAC=30°,AA=4。=AC,E,F分别是/C,/出的中点.

(1)证明：EF工BC；

(2)求直线EF与平面4BC所成角的余弦值.

8.【2018年高考全国I卷文数】如图，在平行四边形A8C"中，A3=AC=3,ZACM=90°,以4C

为折痕将△ACM折起，使点M到达点。的位置，且ABLD4.

(1)证明：平面AC。，平面ABC；

2

(2)Q为线段AO上一点，P为线段BC上一点，且6P=。。=§D4,求三棱锥Q—A5P的体积.

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9.【2018年高考全国口卷文数】如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2y[2

PA^PB=PC=AC=4,。为AC的中点.

(1)证明：尸。1_平面43。；

(2)若点M在棱BC上，且A/C=2用求点C到平面POM的距离.

10.【2018年高考全国U卷文数】如图，矩形ABC。所在平面与半圆弧CO所在平面垂直，M是CD上异

于C,。的点.

(1)证明：平面平面8MC；

(2)在线段40上是否存在点尸，使得MC〃平面PBO?说明理由.

11.【2018年高考北京卷文数】如图，在四棱锥尸-/8CO中，底面为矩形，平面平面/8CD,

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PALPD,PA=PD,E,/分别为NO,PB的中点.

(1)求证：PEIBC；

(2)求证：平面以8,平面尸C£＞；

(3)求证：EF〃平面PCD

12.【2018年高考天津卷文数】如图，在四面体ABCZ)中，△A8C是等边三角形，平面A8CJ_平面A8Z),

点M为棱A8的中点，AB=2,AD=26ZBAD=90°.

(1)求证：ADLBC；

(2)求异面直线8c与例。所成角的余弦值；

(3)求直线CO与平面力8。所成角的正弦值.

13.【2018年高考江苏卷】在平行六面体ABC。-A4GA中，AA}=AB,AB11.

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求证：(1)43〃平面4片。；

(2)平面AB4AJ"平面RBC.

14.【2018年高考浙江卷】如图，已知多面体A8C4BC，AA8山，GC均垂直于平面ABC,乙48c=120。,

Ai4=4,GC=1,AB=BC=BiB=2.

(1)证明：ABi_L平面ABC；

(2)求直线AG与平面ABR所成的角的正弦值.

15.【2017年高考全国I文数】如图，在四棱锥P-ABCZ)中，AB//CD,且N84P=NCOP=90,.

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(1)证明：平面平面PA。；

o

(2)PA=PD=AB=DC,NAPO=90°，且四棱锥PTBCO的体积为§,求该四棱锥的侧面积.

16.【2017年高考全国H卷文数】如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABC。,

AB=BC=-AD,NBAD=ZABC=90°.

2

(1)证明：直线3c〃平面Q4。；

(2)若APCO的面积为2不，求四棱锥P—ABCD的体积.

17.【2017年高考全国」卷文数】如图，四面体A8C。中，AA3C是正三角形，AD=CD.

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(1)证明：ACA.BD；

(2)己知八4仪)是直角三角形，AB=BD.若E为棱8。上与。不重合的点，且AE_LEC,求四面体

A8CE与四面体ACOE的体积比.

18.【2017年高考北京卷文数】如图，在三棱锥P-ABC中，PA±AB,PAVBC,ABLBC,PA=AB=BC=2,

。为线段AC的中点，E为线段PC上一点.

(1)求证：PALBD；

(2)求证：平面平面PAC；

(3)当PA〃平面BOE时，求三棱锥E-8C。的体积.

19.【2017年高考天津卷文数】如图，在四棱锥P-ABCO中，平面PDC,AD//BC,PD±PB，

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AD=\,BC=3,CD=4,PD=2.

(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；

(2)求证：平面PBC；

(3)求直线A3与平面PBC所成角的正弦值.

20.[2017年高考山东卷文数】由四棱柱488-小SC。截去三棱锥CL&CDI后得到的几何体如图所示,

四边形为正方形，O为4C与BD的交点，E为4。的中点，小EJ_平面Z8CD

(1)证明：A。〃平面8C5;

(2)设〃是。。的中点，证明：平面小平面囱C5.

21.【2017年高考江苏卷】如图，在三棱锥A-3CD中，AHLAD,BCLBD,平面AB3,平面BCO,点E,

F(E与A,。不重合)分别在棱A。，80上，且EF_LA£>.

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求证：(1)EF〃平面ABC；

(2)ADLAC.

22.[2017年高考浙江卷】如图，已知四棱锥P-ABCD,&PAD是以4。为斜边的等腰直角三角形，BC//AD,

CD1AD,PC=AD=2DC=2CB,E为尸。的中点.

(1)证明：CE〃平面P4B；

(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.

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立体几何（解答题）参考答案

1.【2019年高考全国I卷文数】如图，直四棱柱A8CD-4B1G。1的底面是菱形,A4=4,A8=2,ZBAD=60°,

E,M,N分别是8C,BBi,40的中点.

（1）证明：MN〃平面GDE；

（2）求点C到平面C\DE的距离.

【答案】（1）见解析；（2）士叵.

17

【解析】（1）连结BC，ME.

因为M，E分别为的中点，所以ME〃&C,且“七=（4。.

又因为N为4。的中点，所以=

由题设知44幺DC,可得4c44。，故ME/ND，

因此四边形MNDE为平行四边形，MN//ED.

又MNZ平面GOE,所以MN〃平面GOE.

（2）过C作CiE的垂线，垂足为4.

由已知可得OE_L8C,DEVCXC,所以DEL平面gCE,故OE_LC〃.

从而C”,平面C.DE,故C”的长即为C到平面CyDE的距离，

由已知可得CE=1,GC=4,所以GE=JI7，故677=¥彳.

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从而点c到平面GOE的距离为4p.

【名师点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离

的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就

是利用线面垂直找到距离问题，当然也可以用等积法进行求解.

2.【2019年高考全国n卷文数】如图，长方体ABCO-ASGQ的底面4BCD是正方形，点E在棱AAl上，

BE±ECi.

(1)证明：BE,平面E3G；

(2)若AE=4E,AB=3,求四棱锥后一8用C0的体积.

【答案】(1)见详解；(2)18.

【解析】(1)由已知得平面ABBA”8EU平面ABBA,

故与G

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又BEd.EQ,所以8EL平面EB,C,.

(2)由(1)知N8E8i=90°.

由题设知RSABE丝RsAliE,所以NAE8=Z^EB,=45°,

故AE=AB=3,A4]=2AE=6.

作垂足为凡则EFL平面34GC,且所=AB=3.

1x3x6x3=18.

所以，四棱锥£一84CC的体积V=

3

【名师点睛】本题主要考查线面垂直的判定，以及四棱锥的体积的求解，熟记线面垂直的判定定理，

以及四棱锥的体积公式即可，属于基础题型.

3.【2019年高考全国III卷文数】图1是由矩形4OE8,RtaABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其

中48=1,BE=BF=2,

NFBC=60。.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合，连结OG,如图2.

(1)证明：图2中的A,C,G,。四点共面，且平面ABC_L平面3CGE；

(2)求图2中的四边形ACGD的面积.

【答案】(1)见解析：(2)4.

【解析】(1)由己知得A。"BE,CG//BE,所以AD〃CG,故AO,CG确定一个平面，从而A,C,G,

力四点共面.

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由已知得A8_L8E,ABlfiC,故平面8CGE.

又因为ABu平面ABC,所以平面ABC_L平面BCGE.

（2）取CG的中点M,连结EM,DM.

因为A8〃OE,/18_1平面8。6£：,所以OEJ_平面8CGE,故OEJ_CG.

由已知，四边形8CGE是菱形，且N£8C=60。得EMJ.CG,故CG_L平面。EM.

因此。MJ_CG.

在Rt^OEM中，DE=1,EM=B故OM=2.

所以四边形ACGO的面积为4.

【名师点睛】本题是很新颖的立体几何考题，首先是多面体折叠问题，考查考生在折叠过程中哪些量

是不变的，再者折叠后的多面体不是直棱柱，突出考查考生的空间想象能力.

4.【2019年高考北京卷文数】如图，在四棱锥P-ABCD中，24_L平面ABC£>,底部ABCO为菱形，E

为C£）的中点.

（1）求证：8。_1_平面丛（7；

（2）若/ABC=60。，求证：平面尸平面P4E；

（3）棱PB上是否存在点凡使得CF〃平面PAE?说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，理由见解析.

【解析】（1）因为B4_L平面A8CD,

所以Q4_LBO.

又因为底面A8C。为菱形，

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所以30,AC.

所以BO_L平面P4C

(2)因为PA_L平面A5C£),AEu平面4BC£>,

所以PALAE.

因为底面ABC。为菱形，NA8C=60。，且E为CO的中点，

所以AELCD

所以ABJ_AE.

所以AEL平面PA8.

所以平面PA8L平面PAE.

(3)棱PB上存在点尸，使得CF〃平面PAE.

取下为PB的中点，取G为PA的中点，连结CF,FG,EG.

则尸G〃AB,且尸G='AB.

2

因为底面ABCO为菱形，且E为C。的中点，

所以CE〃AB,且CE=L从

2

所以FG〃CE,且尸G=CE.

所以四边形CEGF为平行四边形.

所以C尸〃EG.

因为CPU平面PAE,EGU平面PAE,

所以CF〃平面PAE.

【名师点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知

识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

5.【2019年高考天津卷文数】如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCO为平行四边形，△PCD为等

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边三角形，平面PAC，平面PCD,PAA.CD,CD=2,AD=3.

(1)设G,H分别为PB,AC的中点，求证：G”〃平面B4。；

(2)求证：平面PCD；

(3)求直线AZ)与平面PAC所成角的正弦值.

【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)也.

3

【解析】(1)连接80，易知ACn8O=H,BH=DH

又由BG=PG，敬GH〃PD.

又因为(Z平面PAD,PDu平面PAD,

所以G”〃平面为D

(2)取棱尸C的中点N,连接。N.依题意，得ZWJ_PC,

又因为平面PAC_L平面PC。，平面PACA平面PC0=PC，

所以。平面RIC,

又B4u平面RiC,故ON,24.

又已知PA_LCD，CDCDN=D,

所以24_L平面尸CD

(3)连接ZN,ill(2)中OV_L平面a(C,可知NDAN为直线AD与平面RiC所成的角,

因为△PCD为等边三角形，C/A2且N为尸C的中点，

所以。N=百.

又DNLAN,

在RtA4A©中，stnNDAN=史=昱.

AD3

所以，直线4)与平面RIC所成角的正弦值为".

3

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【名师点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成

的角等基础知识.考查空间想象能力和推理论证能力.

6.【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC-A/Q中，D,E分别为BC,AC的中点，AB=BC.

求证：（1）4囱〃平面OEG；

（2）BE_LCiE.

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】（I）因为。，E分别为BC,4c的中点，

所以

在直三棱柱48C-481G中，AB〃A向,

所以

又因为EOu平面DEG,4丛.平面DEC,

所以4囱〃平面。EG.

（2）因为N8=8C,E为/C的中点，所以BEL4c.

因为三棱柱是直棱柱，所以CG_L平面ZBC.

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又因为8氏平面ABC,所以CC」BE.

因为CiCu平面4/CG,4Cu平面/MCG,GCMOC,

所以8EJ_平面/MCG.

因为GEu平面/MCG,所以

【名师点睛】本小题主要考查直线与直线、宜线与平面、平面与平面的位置.关系等基础知识，考查空

间想象能力和推理论证能力.

7.【2019年高考浙江卷】如图，已知三棱柱平面AACq，平面ABC,ZABC=90°,

ZBAC=30°,AA=A。=AC,E,F分别是AC,4向的中点.

（1）证明：EFIBCt

（2）求直线跖与平面小8c所成角的余弦值.

3

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】方法一：

（1）连接4E,因为4A=AC,E是AC的中点，所以4c.

又平面AiACCj_L平面ABC,AiEu平面AMCC”

平面AiACGD平面4BC=AC,

所以,4E_L平面4BC,则AiE_LBC.

又因为AF〃AB,NA8C=90。，故BCJ_AF.

所以8C_L平面4EF.

因止匕EF_L8c.

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（2）取8c中点G,连接EG,GF,则£GF4是平行四边形.

由于4E上平面ABC,故4ELEG,所以平行四边形EGF4为矩形.

由（1）得BC_L平面EGF4,则平面48CJ_平面EGE41,

所以EF在平面ABC上的射影在直线4G上.

连接4G交E尸于。，则/EOG是直线£尸与平面48c所成的角（或其补角）.

不妨设AC=4,则在RsAiEG中，A\E=2S，EG=g.

由于。为4G的中点，故EO=OG=4C=@5

22

EO2+OG2-EG23

所以cos/EOG=

2E00G5

3

因此，直线EF与平面ABC所成角的余弦值是g.

方法二:

（1）连接4E,因为AN=4C,E是AC的中点，所以4E_LAC

又平面4|4。©_1_平面A8C,4EU平面4ACG,

平面AiACCC平面A8C=AC,所以，平面48c.

如图，以点E为原点，分别以射线EC,E4为y,z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E-xyz.

不妨设AC=4,则

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,3,2aC(o,2,0).

4(0,0,)，3(51，0)，4(®3,2扬,

2

因此,1,2®BC=(-73,1,0).

由而反=0得稗_LBC.

（2）设直线EF与平面48c所成角为仇

由(1)可得BC^-s/3,1,0),而=(0,2，-2囚.

设平面418c的法向量为”=（x，y，z）,

BCn=0+y=0

由7得＜

4。〃=0y-y/iz=0

取“=(1,6,1),故sinegcos(EFS")上\EF-n\4

\EF\-\n\~^'

3

因此，直线即与平面A/C所成的角的余弦值为

【名师点睛】本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空

间想象能力和运算求解能力.

8.【2018年高考全国I卷文数】如图，在平行四边形ABCW中，AB=AC=3,NACM=9（）°,以AC

为折痕将△ACM折起，使点用到达点。的位置，且

（1）证明：平面ACDJ_平面A3C；

【答案】（I）见解析；（2）1.

【解析】（1）由已知可得，ZBAC=90°,BA±AC.

又8/J_4D,所以平面/CD.

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又"u平面

所以平面ZCQ_L平面ABC.

(2)由已知可得，DC=CM=AB=3,DA=3亚.

又BP=DQ=§DA,所以BP=2亚.

作0EL4C,垂足为E,则QEggoC.

由已知及(1)可得OCL平面48C,所以。平面Z8C,QE=1.

因此，三棱锥Q-A6P的体积为

vx£x5xlxx3x2

0-^=1GAAfip=|^V2sin45°=l.

【名师点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定以及三棱锥的体

积的求解，在解题的过程中，需要清楚题中的有关垂直的直线的位置，结合线面垂直的判定定理证得

线面垂直，之后应用面面垂直的判定定理证得面面垂直，需要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的

关系，在求三棱锥的体积的时候，注意应用体积公式求解即可.解答本题时，(1)首先根据题的条件，

可以得到ZR4C=90。，即84_LAC,再结合已知条件84，/。，利用线面垂直的判定定理证得

平面月8,又因为/8U平面/5C,根据面面垂直的判定定理，证得平面481.平面48C；(2)根据

已知条件，求得相关的线段的长度，根据第一问的相关垂直的条件，求得三棱锥的高，之后借助于三

棱锥的体积公式求得三棱锥的体积.

9.【2018年高考全国口卷文数】如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=26，

PA=PB^PC=AC=4,。为AC的中点.

(1)证明：P。，平面ABC；

(2)若点M在棱5c上，且MC=2的3,求点C到平面POM的距离.

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【答案】（1）见解析；（2）二士.

5

【解析】（1）因为AP=CP=AC=4,。为AC的中点，所以OPLAC,且OP=2jL

连结。8.因为A8=8C=YZAC，所以△A8C为等腰宜角三角形，MOBLAC,0B=-AC^2.

22

山OP2+OB2=PB2知，。尸J_OB.

由OP_LOB,OP±AC知PO_L平面ABC.

（2）作CH_LOM,垂足为H.又由（1）可得OPLCH,所以CbJ_平面POM.

故CH的长为点C到平面POM的距离.

由题设可知。C=,AC=2,CM=2BC=生旦，ZACB=45°.

所以。仆述，CH=℃即.sinNACB=^l

所以点C到平面POM的距离为逑.

5

【名师点睛】立体几何解答题在高考中难度低于解析几何，属于易得分题，第一问多以线面的证明为

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主，解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明，解答本题时，连接05,欲证平面ABC，

只需证明PO±AC,P0±OB即可；本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解，即过点C作

CH±OM，垂足为M，只需论证C”的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可，本题也可利用

等体积法解决.

10.【2018年高考全国」卷文数】如图，矩形A8CD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是CO上异

于C,。的点.

（1）证明：平面4WD,平面8MC；

（2）在线段40上是否存在点P,使得MC〃平面P8O?说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）存在，理由见解析.

【解析】（1）由题设知，平面CM。_L平面488,交线为CD

因为8C_LCD,8Cu平面A8CO,所以8CJ_平面CMD,故8C_L£）M.

因为M为CO上异于C,。的点，且QC为直径，所以。MLCM.

XBCC\CM=C,所以DW_L平面BMC.

而£>Mu平面AMD,故平面AM£>_L平面BMC.

（2）当P为AM的中点时，A/C〃平面尸80.

证明如下：连结4c交8。于。.因为A8C。为矩形，所以。为AC中点.

连结OP,因为P为AM中点，所以MC〃。尸.

MCN平面PBQ,OPu平面PBO,所以MC〃平面P8D

【名师点睛】本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问

先断出P为中点，然后作辅助线，由线线平行得到线面平行，考查学生空间想象能力，属于中档

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题.

11.【2018年高考北京卷文数】如图，在四棱锥中，底面“BCD为矩形，平面以。，平面/8CQ,

PALPD,PA=PD,E,F分别为4D,尸8的中点.

（1）求证：PE1BC；

（2）求证：平面为8_L平面PCQ；

（3）求证：比7〃平面PCD

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】（1）,:PA=PD，且石为AQ的中点，AO.

•.•底面ABCO为矩形，BC〃AO，

PEVBC.

（2）•.•底面A8CO为矩形，,A3LAD

平面PAD，平面ABCD,：.AB1,平面PAD

ABrPD^PAA-PD，

，PD_L平面PAB■•••平面PAB±平面PCD.

（3）如图，取PC中点G,连接FG,GO.

:EG分别为QB和PC的中点，.••FG〃BC，且FG=gBC.

2

•.•四边形ABC。为矩形，且£为A。的中点，

/.ED//BC,DE=-BC,

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/.ED//FG，且ED=R7，.•.四边形EFG。为平行四边形，

EF//GD.

又所2平面PC。，GOu平面PCD，

七户〃平面PCD.

【名师点睛】证明面面关系的核心是证明线面关系，证明线面关系的核心是证明线线关系.证明线线平

行的方法：（1）线面平行的性质定理：（2）三角形中位线法；（3）平行四边形法.证明线线垂直的常用

方法：（1）等腰二角形三线合一；（2）勾股定理逆定理；（3）线面垂直的性质定理；（4）菱形对角线

互相垂直.

12.【2018年高考天津卷文数】如图，在四面体A8CO中，AABC是等边三角形，平面ABC,平面AB。，

点M为棱AB的中点，AB=2,AD=26ZBAD=90°.

（1）求证：ADLBC；

（2）求异面直线8。与MZ）所成角的余弦值；

（3）求直线CO与平面48。所成角的正弦值.

【答案】（1）见解析；（2）叵;（3）YL

264

【解析】（1）由平面A8C_L平面48/）,平面ABCn平面AD±AB,可得4D_L平面ABC,

故AO_LBC.

（2）取棱AC的中点N,连接MN,ND.又因为M为棱A8的中点，椒MN//BC.所以（或其

补角）为异面直线8c与M。所成的角.

在RtAD4M中，AM=\,DM=y/AD2+AM2=y[13■因为A。L平面ABC,^LADYAC.

在R3DAN中，AN=l,DN=yjAlf+AN2=V13•

_MNi—

在等腰三角形。MN中，MN=1,可得/c2V13.

cosZ.DMN=-....=----

DM26

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所以，异面直线3c与MD所成角的余弦值为'叵.

26

（3）连接CM.因为AABC为等边三角形，M为边A3的中点，故CMLA8,CM=£.又因为平面

ABCJ_平面A3。，而CMU平面ABC,故CM_L平面A8Z）.所以，/CDW为直线CZ）与平面480所成

的角.

在RSC4Q中，CD=JAC2+AD2=4.

在RsCMC中，sin/CDM=^=走.

CD4

所以，直线C。与平面AW）所成角的正弦值为

4

［名师点睛】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识.考

查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.

13.【2018年高考江苏卷】在平行六面体—中，AA}=AB,AB,15.C,.

求证：（1）A3〃平面ABC；

（2）平面，平面ABC.

【答案】（1）见解析：（2）见解析.

【解析】（1）在平行六面体48CDN囚GA中，AB〃AB.

第27页共42页

因为平面48iC,4-u平面48C,

所以42〃平面小81c.

(2)在平行六面体力88/山iGU中，四边形为平行四边形.

又因为/4=/8,所以四边形/8历4为菱形，

因此/8i_L小8.

又因为45i_LBQ,BC/ZBiCx,

所以

又因为48nBe=8,48u平面小8C,8Cu平面/山C,

所以平面48c.

因为4Biu平面/8囱小，

所以平面N88i4_L平面小8C.

【名师点睛】本题可能会出现对常见几何体的结构不熟悉导致几何体中的位置关系无法得到运用或者

运用错误,如柱体的概念中包含“两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形”，

再如菱形对角线互相垂直的条件，这些条件在解题中都是已知条件，缺少对这些条件的应用可导致无

法证明.解答本题时，(1)先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论；(2)先根

据条件得四边形月8囱小为菱形，再根据菱形对角线相互垂直，以及已知垂直条件，利用线面垂直判定

定理得线面垂直，最后根据面面垂直判定定理得结论.

14.【2018年高考浙江卷】如图，已知多面体A5cA山江AA5山,GC均垂直于平面ABC,NABC=120。，

Ai4=4,C,C=1,AB=BC=BiB=2.

(1)证明：ABi_L平面4SG；

(2)求直线AG与平面ABB所成的角的正弦值.

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【答案】（1）见解析；（2）*土.

13

【解析】方法一：（1）由48=2,朋=4,84=2,朋_LAB,B4J.A5得做=4耳=20,

所以4目+4k=A4：.

故AB1J-44.

由6c=2,BB[=2,CCi=l,BB]工BC,C3工BC得B\C\=后,

由AB=BC=2,NABC=120。得AC=2g，

由CC|_LAC,得AG=内，所以A耳+BC；=AC；，故4片，4G.

因此A4_L平面A4G.

（2）如图，过点a作用，交直线44于点。，连结AZX

由AB,，平面AgG得平面44G_L平面.

由G。，4用得CD1平面ABB,,

所以NGAO是AC,与平面ABB,所成的角.

£sinN£A4=1

由4G=石，44=20,4G=亚得©。$/6；44

所以GO=6.

C,D_V39

故sin4AZ）=而一石

第29页共42页

因此，直线AG与平面所成的角的正弦值是叵

13

方法二：（1）如图，以ZC的中点。为原点，分别以射线0c为x,V轴的正半轴，建立空间直角

坐标系O-xyz.

由题意知各点坐标如下:

A(0,-6,0),5(1,0,0),A(0,-A/3,4),旦(1,0,2),G(0,百,1),

UUULLILlUllLUULUl「

因此A4=(1,G,2)，44=(1,6,一2)，AG=(0,26,一3),

UUUUUUU

由=o得Ag_L44.

UUUUULUl

由=0得44_140.

所以A4_L平面4片。「

(2)设直线Aa与平面AB片所成的角为夕

UUU「ULULUUU

由(1)可知AG=(0,2V3,1),AB=(1,<3,0),BBt=(0,0,2),

设平面ABB1的法向量n=（x,y,z）.

nun

n-AB-0,+百y=0,

由＜uuir即〈，可取〃=（一r百,1,0）.

n-BB,=0,〔2z=0,

UUU___

所以sine=|cos（肥,|=火缸电-=叵.

因此，直线A£与平面A6与所成的角的正弦值是叵.

13

【名师点睛】本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空

第30页共42页

间想象能力和运算求解能力.

15.【2017年高考全国I文数】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD,且ZBAP=NCOP=90.

（1）证明：平面PAB_L平面PAQ；

8

（2）PA=PD=AB=DC,=90。，且四棱锥P-A8C。的体积为葭求该四棱锥的侧面积.

【答案】（1）见解析；⑵6+273.

【解析】（1）由已知尸=NQ）P=90°，得ABJ_AP，CDA.PD.

由于AB〃CD,故ABLFD,从而A3_L平面.

由（D知，A3,平面PAD,故A6LPE，可得PEJ_平面ABCO.

B

设=则由已知可得AO=J^x，PE=—x.

2

113

123

故四棱锥尸一ABCD的体积VP_AHCI）=-ABADPE^-x.

1Q

由题设得7；丁=一，故x=2.

33

从而％=?。=2，AD=BC=2O，PB=PC=2叵.

可得四棱锥P—的侧面积为LpA-P0+Lp4A3+LpO-0C+!8C2sin6O°=6+2^.

2222

【名师点睛】证明面面垂直，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；计算点面距

离时，如直接求不方便，应首先想到转化，如平行转化、对■称转化、比例转化等，找到方便求值时再

计算，可以减少运算量，提高准确度，求点面距离有时能直接作出就直接求出，不方便直接求出的看

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成三棱锥的高，利用等体积法求出.解答本题时，（1）由ABLAP，AB±PD^得AB_L平面PAD

即可证得结果；（2）设A8=x，则四棱锥尸一ABC。的体积匕=解得

x=2,可得所求侧面积.

16.【2017年高考全国H卷文数】如图，四棱锥P-ABCD中，侧面P4）为等边三角形且垂直于底面ABCD,

AB=BC=-AD,NBAD=ZABC=90°.

2

（1）证明：直线平面P4。；

（2）若APC。的面积为2S，求四棱锥P—A8CD的体积.

【答案】（1）见解析；（2）4万.

【解析】（1）在平面N88内，因为/84D=NN8C=90。，所以8C〃4）.

又BCZ平面PA。，AOu平面PAO,

故BC//平面PAD.

（2）取/。的中点M,连结PM,CM,

由48=3。=，4£）及8。〃/。，ZN8O90。得四边形N5CM为正方形，则CALL/。.

2

因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面R/OC平面ABCD=AD,

所以PALLN。，尸M_L底面N8CQ,

第32页共42页

因为CMu底面ABC。，所以PMVCM.

设BC=x,则CA/=x,CD=^ix，PM=6X，PC=PD=2X.

取8的中点M连结PM则PNJ_CZ),所以PN=叵

2

因为4PCD的面积为2币,所以，x缶x—x=277，

22

解得x=-2（舍去），x=2,于是4B=BC=2,4£>=4,PM=2^3»

所以四棱锥P-ABCD的体枳V=2x2x(2+』)x=4百.

32

【名师点睛】解答本题时，(1)先由平面几何知识得8C〃N。，再利用线面平行的判定定

理证得结论；(2)取的中点“，利用线面垂直的判定定理证明„底面/BCD,从

而得四棱锥的高，再通过平面几何计算得底面直角梯形的面积，最后代入锥体体积公式即

可.垂直、平行关系证明中应用转化