模态比例因子

1、1 线性系统的运动方程及其矩阵表达式1.1 刚度矩阵、质量矩阵与阻尼矩阵刚度系数kij定义为只在坐标xj上产生单位位移（其他坐标上的位移为零）而在坐标xi上需要加的力： kij=fixi=0r=1,2,n,rjxj=1 1.1.1 对于图所示系统，刚度矩阵为：k=k1+k2-k2-k2k2+k30-k30-knkn+kn+1 1.1.2对于这类弹簧-质量-阻尼系统，一般存在下述规律：（1） 刚度矩阵（或阻尼矩阵）中的对角元素kii或cii为联接在质量mi上的所有弹簧刚度（或阻尼系数）的和；（2） 刚度矩阵（或阻尼矩阵）中的非对角元素kij或cij为直接联接在质量mi与mj之间的弹簧刚度（或阻尼

2、系数），取负值；（3） 一般而言，刚度矩阵和阻尼矩阵都是对称矩阵；（4） 如果将系统质心作为坐标原点，则质量矩阵是对角矩阵，但一般情况下质量矩阵并不一定是对角的。1.2 特征值问题多自由度系统的运动微分方程为：mxt+cxt+kxt=ft 1.2.1式中，xt=x1t,x2t,xntTft=f1t,f2t,fntTm,c,k分别是质量、阻尼和刚度矩阵。1.2.1 无阻尼和比例阻尼系统考虑无阻尼和比例阻尼系统的自由振动，其运动微分方程为：mxt+kxt=0 1.2.2或展开为：j=1nmijxjt+j=1nkijxjt+=0 i=1,2,n 1.2.3为了研究它的解，先试探一种最简单的、特殊形式

3、的解：各质量合拍地进行运动，即各坐标之比xjt/xit等于常数，称这种运动为同步运动。可将同步解写为：xjt=jSt j=1,2,n 1.2.4式中，jj=1,2,n是一组参数；St是依赖时间的实函数，对所有坐标都相同。由此式可推出：xjtxit=ji=const i,j=1,2,n 1.2.5将代入，得：Stj=1nmijj+Stj=1nkijj=0 i=1,2,n将上式分离变量，得：StSt=-j=1nkijjj=1nmijj i=1,2,n 1.2.6方程的左端仅与时间t有关，右端仅与位移（坐标）有关，为使该等式能成立，其两端都必须等于一个常数；由于St是实函数，故该常数必为实数，不妨假

4、定为，于是有St+St=0 1.2.7aj=1nkij-mijj=0 i=1,2,n 对于方程，已知它的解为St=Ccost- 1.2.8式中2=，而是实数，为简谐运动的频率，C和是任意参数。频率（或）不能是任意的，它的确定应该考虑到使方程有非零解。将方程写出矩阵形式k-2mj=0 1.2.9这是一个关于j的n元线性齐次方程组，该方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式等于零，即2=kij-2mij=0 1.2.10式称为系统的特征方程，式成为系统频率方程，该行列式称为特征行列式，将它展开后得到关于2的n次代数方程2n+a12(n-1)+a22(n-2)+an-12+an=0 1.2.11假定

5、系统的质量矩阵与刚度矩阵都是正定的是对称矩阵。在数学上可以证明，在这一条件下，频率方程的n个根均为正实根，它们对于系统的n个自然频率。这里假设各根互补相等，即没有重根，因而可由小到大按次序排列为12<22<<n2其中最低的频率1称为基频，在工程应用中它是最重要的一个自然频率。将各特征根r=r2分别代入方程便可得各相应的解r，称为系统的模态向量或振型向量。自然频率r和模态向量r构成了系统的第r阶自然模态，它表征了系统的一种基本运动模式，即一种同步运动。n自由度系统一般有n种同步运动，每一种均为简谐运动，但频率r不同，而且其振幅在各自由度上的分配方式，即模态向量r也不同。每一种同

6、步运动可写为xtr=rcosrt-r r=1,2,n 1.2.12由于1.22或1.23是齐次方程，因此以上个解的线性组合仍为原方程的解，由此得系统自由振动的通解为xt=r=1nCrxtr=r=1nCrrcosrt-r r=1,2,n 1.2.13 式中r、rr=1,2,n由系统参数决定，Cr、rr=1,2,n为待定常数，由初始条件决定。1.2.2 一般粘性阻尼1.3 正交性、标准化与比例换算因子2 传统振动测试方法获得比例换算因子2.1 解析法模态分析解析法的出发点是根据质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵来估计结构的质量、刚度和阻尼分布。这些矩阵决定了特征值问题，p0MMC+-M00KY=0其特征

7、值就是满足下列方程的p的值pA+B=0特征值r就是系统极点，r=r+jr，既包含阻尼因子，又包含阻尼固有频率。将特征值r（系统极点）代入上式得到特征向量rr=rrr=11nn1*1*n*n*1n1*n*模态a矩阵由特征向量与系统矩阵来确定：11T1Tn*n*Tn*T0MMC11n*n*1n*=aa比例因子Qr等于对应模态ar的逆，或者：QQ=aa-1上式给出了适当的比例换算因子，从而使我们可以借助模态参数构造出频率响应函数，见下式：Hj=r=1nQrrrTj-r+Qr*r*r*Tj-r2.2 实验法模态分析的实验方法是从测量上面这个频率函数矩阵（或其一部分）开始的。然后根据上式（或其等效时域脉

8、冲响应函数，或有关的关系式如直接时间响应）用适当的参数估计法来估计模态参数r、r；按照节提出的某种比例换算方法估计比例因子Qr；根据QQ=aa-1得到模态a矩阵的相应值。因为在一般情况下实验模态数据库是不完整的（自由度树大大超过估计的模态数），所以从这些实验模态数据不可能得到正确估计出系统的质量、刚度和阻尼矩阵。3 OMA中Mass Change Method 推导比例换算因子的方法3.1 E. Parloo et al基于敏感度的比例换算因子推导3.2 Rune Brincker基于运动方程的比例因子推导及改进3.2.1 基本步骤为了获得完备的模态参数（固有频率、阻尼因子和归一化的模态振型）

9、，其步骤如下：（1） 对结构进行OMT测试，然后进行OMA分析得到结构的固有频率1、阻尼因子1和未归一化的模态振型1；（2） 在结构的某些点上附加质量m以改变结构特性；（3） 重新对结构进行OMT测试，然后进行OMA分析得到改变后结构的固有频率2、阻尼因子2和未归一化的模态振型2；（4） 通过附加质量和模态参数得到比例因子。3.2.2 理论基础考虑无阻尼和比例阻尼系统的自由振动，其运动微分方程如：mxt+kxt=0其特征方程为：k-2mj=0在附加质量之前由上式可得：k1=12m1 3.2.1在附加质量之后由上式可得：k2=22m+m2 3.2.2用减去得：k1-2=m121-222-m222 3.2.3这里需要假设附