高考-数学解答题的解题策略

数学解答题的解题策略

解答题可分为低档题、中档题和高档题三个档次，低档题主要考查基础知识和基本方法与

技能，中档题还要考查数学思想方法和运算能力、思维能力、整合与转化能力、空间想象能

力，高档题还要考查灵活运用数学知识的能力及分析问题和解决问题的能力.

基础训练

(1)已知aeR,求函数y=(a-sinx)(a-cosx)的最小值.

思路点拨：

y=(a-sinx)(a-cosx)=a2-a(sinx+cosx)+sinxcosx，而sinx+cosx与sinxcosx有联

系，可设/=sinx+cosx,则原来的问题可转化为二次函数的闭区间上的最值问题.

22

(2)x、y满足条件标+会=1,求y—3x的最大值与最小值.

思路点拨：

此题令b=y—3x,即y=3x+b,视b为直线y=3x+b的截距，而直线与椭圆必须有公共点，

故相切，b有最值.

(3)不等式2x-1>m(x2-1)对满足me［-2,2］的一切实数m都成立,求x的取值范围.

思路点拨：

此问题由于是常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论，若变换一个角度，以m

为变量，使八加)=(——1)加—(2x-1),则问题转化为求一次函数(或常函数)/(⑼的值在［-2,

2］内恒负时，参数x应满足的条件.

典型例题

(-)以退为进策略

1、由整体向局部退

某些问题，可以退到构成这一整体内容的部分上，用带有整体特征的部分来处理问题，解

题思路便会豁然开朗.

例1、在锐角AABC中，求证：sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.

【解析】VAS,Ce(0,-),：.A+B>-,即A>生一6>0,由于y=sinx在(0,工)上是单调

2222

jr

递减的.sinA>sin(----8)=cosB,同理可证：sinB>cosC,sinC>cosA.

2

上述三式相加，得：sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.

【题后反思】

本题由整体退向局部，由一个角的三角函数或两个角的三角函数关系式入手，进行研究,

解出部分证明了整体.

2、由巧法向通法退

巧法的思维起点高，技巧性也强，有匠心独具、出人意料等特点，而巧法本身的思路难寻,

方法不易把握，而通法则体现了解决问题的常规思路，而顺达流畅，通俗易懂的特点.

例2、已知sinacos"=；,求cosasin，的取值范围.

【解析】由sina8s/?=,，得85?/?=——1—,

24sina

4sin2a-\

sin2夕二1-cos2[3-1------―

4sin,a4sin2a

22222

sin（3cosa=sin/?（1-sina）=*由:_1.（i-sina）

4sina

-4sida+5sifia-1工（si强+））〈一」

4siRa44sin«44

从而得cosasinBe[——.

22

【题后反思】

本题是一典型、常见而又方法繁多、技巧性较强的题目，求解时常常出错，尤其是题目的

隐含条件的把握难度较大，将解法退到常用的数学方法之------消元法上来，则解法通俗、

思路清晰.

(二)合理转化策略

转化思想方法用于研究、解释数学问题时思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化成

另一种情况，也就是转化到另一种情境，使问题得到解释的一种方法，这种转化是解决问题

的有效策略，同时也是成功的思维模式，转化的目的是使问题变的简单、容易、熟知，达到

解决问题的有利境地，通向问题解决之策.

1、常量转化为变量

有的问题需要常、变量相互转化，使求解更容易.

例3、设9cosA+3sinB+tanC=Orin?B-4cosA-tanC=0,求证：|cosA|K一.

6

【解析】令x=3,则有—cosA+xsin8+tanC=0,若cosA=0,则|cosA|=042成立；

6

若COSAHO,则八=$皿2B-4cosA.tanC=0,...方程有两个相等的实数根，即再=/=3,

由韦达定理，.彳2=9=网0,即tanC=9cosA,又sin?3-4cosAtanC=0,

cosA

/.sin25-4cosA9cosA=0,/.36cos2A=sin2<1,|cosA|<—.

6

【题后反思】

把变量变为常量，也就是从一般到特殊，是我们寻找规律时常用的解题方法，而本题反其

道而行之，将常量变为变量，从特殊到一般使问题得到解决.

2、主元转化为辅元

有的问题按常规确定主元进行处理往往受阻，陷于困境，这时可以将主元化为辅元，即可迎

刃而解.

例4、对于满足|p\<2的所有实数p,求使不等式/+px+1>2x+p恒成立的x的取值范围.

【解析】把/+px+1>2x+p转化为(x-Dp?+x2-2x+l>0,则成为关于p的一次不等式,

则|〃区2,W-2<p<2,由一次不等式的性质有：(x-l)p+(x-l)2=(x-l)(x-l+p)>0,

当p=—2时，(x-l)(x-3)>0,：.x<-l^x>3；

当p=2时，(x-l)(x+l)>0,，x<T则>1,综上可得：x<—l曲>3.

【题后反思】

视x为主元，不等式是关于x的一元二次不等到式，讨论其取值情况过于繁琐，将p转化

为主元，不等式是关于p的一次的不等式，则问题不难解决.

3、正向转化为反向

有些数学问题，如果是直接正向入手求解难度较大，可以反向考虑，这种方法也叫“正难

则反”

丫2

例5、若椭圆3+y2=a2(a〉o)与连接A(1,2),B(3,4)两点的线段没有公共点，求

实数a的取值范围.

【解析】设线段AB和椭圆有公共点，由A、B两点的坐标可得线段AB的方程为y=x+l,

X2_2

xe[l,3],则方程组5+?=a,消去y

〔y=x+\

得：—+(x+l)2=a2,BPa2=-x2+2x+1=—(x+—)2+-,

22233

...2941、八.3回「廊

•x€[n1,3],••ci€|r一,—],•〃>(),••---WaK----,

2222

.••当椭圆与线段AB无公共点时，实数a的取值范围为(。，当U(孚―

【题后反思】

在探讨某一问题的解决办法时，如果我们按照习惯的思维方式从正面思考遇到困难，则应

从反面的方向去探索.

4、数与形的转化

数形结合，实质上是将抽象的语言与直观图形结合起来，以便化抽象为直观，达到化难为

易，化简为繁的目的.

例6、已知/(x)是定义在｛x|xwO｝上的奇函数，且在区间(0,+8)上是增函数，若

/⑴=0,a>1,解不等式/(log,x)<0.

【解析】由/(x)在(0,+8)上为增函数，且/(x)是定义域上的奇函数,

二/(x)在(-8,0)上也是增函数.

•••/•⑴=0，.•./(-1)=0，.•./(Io&x)<0=/(1)或/(log„x)<0=_/(—1),

x〉0xv0

由函数的单调性知：或

0<log„X<1[logux<-l

，原不等式的解集为：｛x|l<x<a或0<x<，｝

a

【题后反思】

由已知，/(X)是定义在｛X|XH0｝上的奇函数，且在区

间(0,+8)上是增函数，由/(D=0M>1,则可得/(x)的

大致图像如下图，可知/(-1)=0

5、自变量与函数值的转化

函数单调性的定义明确体现了函数自变量的不等式关系与函数值间不等关系相互转化的思

想，理解它们之间的相互转化关系，有利于灵活运用函数的单调性解题.

例7、设/(幻是定义在(0,+8)上的增函数,且对于定义域内任意x、y,都有f(xy)=f(x)+f(y)

/(2)=1,求使不等式/(x)+/(x-3)42成立的x的取值范围.

r>0

【解析】•••/(©的定义域是(0,+8),"，即x>3,

x-3>0

由于/(盯)=/(")+/(y)，得_/(x)+/(x—3)=/[(x-3)-x],

由7(2)=1,得2=1+1=〃2)+〃2)=/(4),

.••由题设条件得：3)]</(4),

：/(元)是定义在(0,+8)上的增函数，，x(x—3)<4,解之得：—14x44,又x>3,

适合题意的x的取值范围为[3,4].

【题后反思】

这类抽象函数求解是初学者较难掌握的，解题的关键需实现三种转化：

①将函数值间的不等关系转化为自变量的不等关系；②根据函数的单调性意义又能比较两

个值的大小，因此需将/(x)+/(x-3),根据等价转化为3)]；③需将②转化为某自变

量的函数值，从而建立关于x的不等关系，求出x的取值范围.

五、限时课后练习

(1)已知函数/(x)=2,-击

(I)若/(x)N2,求x的值；

(II)若2"(2。+句⑺NO对于fw[l,2)恒成立，求实数m的取值范围.

(2)设函数/⑺=④？+"x+c(a/o),曲线y=/(x)通过点(0,2a+3)且在点(-1,/(-I))

处的切线垂直于x轴.

用a分别表示b和c；

(II)当be取得最小值时，求函数g(x)=-./Xx)eT的单调区间.

(3)在直角坐标系xOy中，点P到两点(0,-g),(0,V3)的距离之和等于4,设点P的

轨迹为C,直线丁=丘+1与C交于A、B两点,

(I)写出c的方程;

(II)若)，为，求k的值;

(III)若点A在第一象限，证明：当k〉0时，恒有|5|>|而|.

(4)已知函数/⑴=J：~,g(x)=cosxf(sinx)+sinxf(cosx),xe(乃

(I)将函数g(x)化简成45也3¥+0)+仇4>0,。>0,°€[0,2乃))的形式；

(ID求函数g(x)的值域.

(5)已知曲线Ci：巴+生=1(。>人〉0)所围成的封闭图形的面积为4㈠，曲线Ci的内切

ab

圆半径为述，记Q为以曲线Ci与坐标轴的交点为顶点的椭圆，

(I)求椭圆Q的标准方程；

(H)设AB是过椭圆C2中心的任意弦，/是线段AB的垂直平分线，M是/上异于椭圆

中心的点，①若|MO|=/L|04|(0为坐标原点)，当点A在椭圆C2上运动时，求点M

的轨迹方程；②若M是/与椭圆C2的交点，求面积的最小值.

答案：

1.(1)x=Iog2(l+V2)；

(2)mG[-5,+oo)

2.(1)c=2a+3,b=2a；

(2)y=g(幻的单调减区间为(-8,-2)和(2,+8),单调增区间为(-2,2)；

2

3.(1)/+2L=i,

4

⑵％=±L

2

(3)略；

4.(1)g(x)=V2sin(x+—)-2,

4

(2)g(x)的值域为[2-行3)；

(2)①兰+二===#0),②竺.

459

探索性问题的基本题型及解题方法

一、考情分析

探索性问题是近几年高考的热点，通过对探索性问题的考查，能考查出考生的创新意识与

创新能力，高考中一般以填空题或大题的形式出现，难度为中、高档.

二、问题特点及解题方法

条件为完备或结论不确定是探索性问题的基本特征，数学探索性问题的解答一般没有固

定、现成的模式可循，它有较强的思维发散性，必须自己设计解决方案，以考查创新意识、

创新精神为目标的此类题型，常以新颖的形式出现，解题入口宽，而且题设条件往往比较隐

蔽，但只要能明确问题特点，根据特点采取相应的策略，仍可以使求解“程序化”，有据可依,

有规可特，

解决这类问题时，应充分运用观察、比较、类比、分析、综合、演绎、归纳、抽象、概括

等思维方式，对试题的条件和结论所提供的外在信息与自身大脑中储存的内在信息进行提取,

组合、加工和转化，明确解题方法，形成解题策略，选择解题步骤.

三、基础训练

21

(1)已知数列｛4｝的前n项和为S,,%=-可且S“+」~+2=a“(〃N2),计算H,邑,83,84,

3Sn

并猜想S”的表达式.

(2)在平面直角坐标系xOy中，如图，过定点C(0,p)作直线与抛物线Y=2〃y(y>0)相

交于A、B两点，

(I)若点N是点C关于原点O的对称点，

求A4M5面积的最小值；

(II)是否存在垂直于y轴的直线/,使得

/被以AC为直径的圆截得弦长恒为定

值？若存在，求出/的方程；若不存在,

说明理由.

(3)设等差数列｛4｝的前n项和为S,,则邑,58—邑,兀-S8，S|6—S|2成等差数列，类比以

上结论有：设等比数列也,｝的前n项和为7；,则.，,,"成等比

数列.

(4)设an/?=E£A8，a=8,Cr>，4=。，由此能否推出BO_L?若不能，需如何改

变条件？

(5)设函数/(x)=sin(5+Q)3>0,-给出以下四个论断：①它的图像关于直

线x=I对称；②它的图像关于点(g,0)对称；③在区间［-J,。］上是增函数；④它

236

的周期为力.以其中的两个论断为条件，另两个论数不结论，写出你认为正确的一个

命题(填写序号).

答案：

J

(I)5,=-|,S2=-^S3=-1,S4=-|猜想：S“=智，〃CN*.

2

(2)(I)(SMW)min=2V2P,(II)满足条件的直线/存在，其方程为y=5.

(3)4,空.

T4"

(4)不能，需加条件AC工所.

(5)②④=①③.

四、典型例题

1、探究型

探究型是依据题目所给予条件或提供的信息，综合所学知识，来探究问题的分析方法

和解决方法，常以常规题形式出现，但往往改变设问方式，或得出探究和方向，或给出探

究的结论，考查学生的判断能力，创新精神和综合素质，解答此类问题时，需要考生提取

题目的有效信息，从有效信息引出思维联想，从而设计解题方法，化归与转化是解决这类

问题常用的数学思想.

例1、已知数列…。30，其中生,。2，。3,…《0是首项为L公差为1的等差数列，

&是公差为d的等差数列，420M21'%,30是公差为。之的等差数列

(dW0)

(I)若。20=40，求d的值；

(II)试写出“30关于d的关系式，并求出仆0的取值范围；

(III)续写已知数列,使。30M31M32,…“40是公差为的等差数列，…,依次类推，把

已知数列推广为无穷数列，提出同(II)类似的问题，((II)应当作为特例)，并进行

研究，你能得到什么样的结论？

【解析】

(I)a1。=10,=10+1图—40,d=3；

(II)当d£(—8,0)U(0,+8),G[7.5+oo)；

(III)所给数列可推广为无穷数列{2},其中4，2，生，…Go是首项为1，公差为1的

等差数列，当〃21时，数歹!j«!0„,«IOn+l,«10„+2,•--ai0(n+i)是公差为d”(dw0)的等差

数列，

323

研究的结论可以是：由/=a30+\0d=U\\+d+d+d)(d^0),

l-dn+i

依次类推可得：/O(“+D=10(1+4+/+…+”")=F°x不丁(d*D，

10(〃+1)3=1)

当(d/0)时，605+1)的取值范围是：(0，+8).

【题后反思】

由题设条件给出问题的组成结构，先通过特例研究问题的结论，然后给出问题的推广,

提出探究的方向，让解题者顺着命题者提出的推广方向进行探究，是探究型题的一种常

见题型，解答这类问题时一般不改变命题的结构形式，而提出的探究结论也应该是对特

例的推广.

2、开放型

开放型题是指问题的结论、条件、解题策略是不惟一的或需要探索的一种题型，这类题

型结构新颖，解题方法灵活、知识覆盖面宽，问题结构开放，打破了固定的思维模式和解

题套路，给解题者很大的思考空间和多种分析思路，有利于培养和考查学生的创新思维能

力和探究问题的能力，所以此类问题是当前高考命题的热点之一.

例2、设动点P到定直线x=-4的距离为d,已知F(2,0)且d-用=2

(I)求动点P的轨迹方程；

(II)过圆锥曲线的焦点F,任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB,若点M在x轴上,

且使得MF为AAMB的一条内角平分线，则称点M为该圆锥曲线的“特征点”，问该曲

线是否存在特征点M?若存在，求出点M的坐标，并观察点M是怎样的点，同时将你

的结论推广，若不存在，请说明理由(不用证明推广后的结论).

【解析】

(I)设动点P的坐标为P(x,y),且点P到直线x=-2的距离为d。

•••动点P到定直线x=-4的距离为d,F(2,0)且d—|尸产|=2,

动点P到定直线x=-2的距离为d。F(2,0)且出=|「用，即点P是以坐标原

点为顶点，以F(2,0)为焦点的抛物线，

动点P的轨迹方程是/=8x.

(II)假设抛物线存在特征点M,并设其坐标为M(m,0),

•.•弦AB不垂直于x轴，且抛物线V=8x的焦点为(2,0),

二设直线AB的方程为％=0+2/#0),代入V=8x并整理，得：/-8^-16=0,

设4(.,弘),5(尤2，%)'则M+%=8Z,y%=-16,

被x轴平分，/.kAM+kBM=0,即-21_+_21_=o,

X)-mx2-m

yl(x2-m)+y2(xi-m)=0,即―+2)+为(如+2)-(y+y2)m=0,

V2ky{y2~(yt+y2)(m-2)=0,即一32fc-83(加-2)=0,

&w0,/.m=—2.

故抛物线上存在特征点M,其坐标为M(-2,0),该点是抛物线的准线与x轴的交点,

猜想：对于抛物线y2=2pMp>0),其“特征点M”是抛物线的准线与x轴的交点.

【题后反思】

本题从特例出发，探究一般情况下的结论，解答这类问题时，可以通过特例得到的信息,

从命题提出的探究方向思考，归纳问题的结论(有时不止一个，而有些问题的结论并不成

立)，再给出数学推理证明，本题由于题目的要求没有给出推理证明.

3、定义信息型

定义信息型是近几年来高考出现频率较高的新题型之一，其命题特点是：给出一个新的定

义、新的关系、新的性质、新的定理等创新情境知识，然后在这个新情境下，综合所学知识

并利用新知识作为解题工具使问题得到解决，求解此类问题通常分三个步骤：(1)对新知识

进行信息提取，确定化归方向；(2)对新知识中所提取的信息进行加工，探究解题方法；(3)

对提取的知识加以转换，进行有效组合，进而求解.

例3、根据定义在集合A上的函数y=/(x),构造一个数列发生器，其工作原理如下:

①输入数据与eA,计算出X]=/(/)；②若％eA,则数列发生器结束工作，若X]eA,

则输出X|,并将X|反馈回输入端，再计算出々=/(%)，并依此规律继续下去，现在有

A=｛%10<x<1｝,/(x)=—————(meTV*),

m+\-x

(I)求证：对任意此数列发生器都可以产生一个无穷数列｛x,J；

(H)若入0='，记a"=求数列｛x“｝的通项公式.

2%

【解析】(I)证明：当xeA,即0<x<l时，由，"eN,可知m+l>x>0,

..---------->0,又----------1=--------------<0,..-----------<1,..0</(%)<1,

m+\-xm+\-xm+\-xm+\-x

即/(x)eA.故对任意x()eA有X1=/Oo)wA；由玉eA有/=/(西)eA,由9eA有

X3=/(X2)GA；以此类推，可以一直继续下去，从而可以产生一个无穷数列｛x,J.

/“、■+,”、mx„-T4H1m+111

(H)由x向=/(%)=-可得——=------------，

m+1-xnxn+｝mxnm

.m+11im+1八

・・Q〃+l=-------an-----，即RMan\-1=-------(an~D，

mm+m

A,ii；m+1777i1i(m+l)xim+1八

令b”二a「L则l711。〃+1=-------b2又T4=q—l=——1=----------0--1=------00,

mmx^m

数列也,｝是以丝以为首项，以％±1为公比的等差数列,

mm

“广业(上尸=(四)"，于是4=(5)"-1.

mmmm

【题后反思】

本题以算法语言为命题情境，构造一个数列发生器，通过定义工作原理，得到一个无

穷数列｛招｝,这是命题组成的第一部分，解答时只需依照命题程序完成即可，第(H)问

其实是一个常规的数学问题，由上可知，创新题型的解答还是需要考生有坚实的数学解题

功底.

4、类比归纳型

类比是将式子结构、运算法则、解题方法、问题结论等式引申或推广，或迁移，由已知

探索未知，由旧知识探索新知识的一种研究问题的方法；归纳是从个别特殊事例，若干特

殊现象递推出同一类事物的一般性结论，总结出同一种现象的一般规律的一种思考问题的

方法，这两种推理方法可有效地锻炼考生的创造性思维能力，培养考生的创新精神和创造

力.因为这类创新题的思维含量高、知识覆盖面广、综合性强，所以它们在高考中频繁亮

相，已成为高考中的又一个热点.

例4、如下图所示，定义在D上的函数/(X),如果满足：对任意xe。，存在常数A,

都有/(x)NA成立，则称函数/(x)在D上有下界，其中A称为函数的下界(提示：下图

①②中的常数A、B可以是正数，也可以是负数或零.)

(I)试判断函数/(尤)=/+丫在

X

(0,+00)上是否有下界？并说明理由；

(II)具有图②所示特征的函数称为

在D上有上界，请你类比函数有下界

的定义，给出函数/(x)在D上有上界的定义，并判断(I)中的函数在(-00,0)上是否有

上界，并说明理由.

【解析】

AQ

Vf\x)=3x2一一由r(x)=0,得x4=16,,/%G(0,+oo),.,.x=2,

X

•.•当0<x<2时，r(x)<0,...函数/(x)在(0,2)上是减函数;

当x>2时，/(幻>0,二函数/(x)在(2,+8)上是增函数；

.••x=2是函数/(x)在区间(0,+oo)上的最小值点，糯,(x)=/(2)=32,

于是，对任意xe(0,+8),都有/(x)N32,即在区间(0,+00)是存在常数A=32,使得

48

对任意xe(0,+oo),都有/(x)2A成立，所以，函数/(x)=/+—在(0,+8)上有下界.

x

(II)类比函数有下界的定义，函数有上界可以给出这样的定义：定义在D上的函数

/(x),如果满足：对任意XG。，存在常B,都有成立，则称函数/(x)在D上有

上界，其中B称为函数的上界.

设x<0,则-x>0,则(I)知，对任意xw(0,+00),都有/(x)N32,-x)N32,

•.•函数=为奇函数，.232,BPf{x)<-32,

X

即存在常数B=-32,对任意xe(-oo,0)，都有/(%)<8,所以，函数/(x)=/+—在(—o,0)

X

上有上界.

【题后反思】

本题以高等数学中的函数有界性为命题素材，先给出一个定义，研究问题的结论，然后

提出类比的方向，这是一种直接类比的情境题.数学中有许多能够产生类比的知识点，如

等差数列与等比数列的内容有着非常和谐的“同构”现象，立体几何中的很多结论和方法

都可以从平面几何中产生“灵感”进行迁移，我们复习时要注意研究知识间的纵横联系，

把握知识间的内在规律，通过知识间的对比和类比，可以更好地掌握知识，提高解题能力.

五、限时课后练习

(1)已知元素为实数的集合S满足下列条件：①1,0e5；②若aeS,则」一eS.若非空

\-a

集合S为有限集，则你对集合S的元素个数有何猜测？并请证明你的猜测.

22

(2)已知椭圆=+'=1(〃>〃>0)的右准线4:x=2与x轴相交于点P,右焦点F到上顶点

ab

的距离为正，点C(m,0)是线段OF上的一个动点，

(I)求椭圆的方程；

(II)是否存在过点F且与x轴不垂直的直线/,其与椭圆交于A、B两点，且使得

(C4+CB)±