专题11.12 三角形中的几个重要几何模型（知识梳理与考点分类讲解）（人教版）（学生版） 2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题11.12三角形中的几个重要几何模型（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【模型归纳】【模型一】燕尾模型如图：这样的图形称之为“燕尾模型”结论：∠BDC=∠A+∠B+∠C【模型二】8字模型如图：这样的图形称之为“8字模型”结论：∠A+∠D=∠B+∠C【模型三】三角形角平分线（内分分模型）如图：这样的图形称之为“三角形双内角平分线模型”条件：BI、CI为角平分线结论：【模型四】三角形角平分线（内外分模型）如图：这样的图形称之为“三角形内外角平分线模型”条件：BP、CP为角平分线结论：【模型五】三角形角平分线（外外分模型）如图：这样的图形称之为“三角形双外角平分线模型”条件：BP、CP为角平分线结论：【模型六】角平分线+平行线模型条件：CP平分∠ACB,DE平行于BC结论：ED=EC第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】燕尾模型【例1】如图所示，已知四边形，求证．【变式1】（2021九年级·全国·专题练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（

）．A． B． C． D．【变式2】如图，．【题型2】8字模型【例2】如图，求的度数.【变式1】如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（

）A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D【变式2】下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应（填“增加”或“减少”）度．【题型3】三角形的角平分线（内内分模型）【例3】（22-23八年级上·江西赣州·期中）如图，在△ABC中，（1）如果AB=4cm，AC=3cm，BC是能被3整除的的偶数，求这个三角形的周长．（2）如果BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线．a、当∠A=45°时，求∠BPC的度数．b、当∠A=x°时，求∠BPC的度数．【变式1】如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①和都是等腰三角形②；③；④若，则．其中正确的有（

）个A．1 B．2 C．3 D．4【变式2】如图，在中，已知，、的平分线、相交于点O，则的度数为．

【题型4】三角形的角平分线（内外分模型）【例4】如图，在△ABD中，∠ABD的平分线与∠ACD的外角平分线交于点E，∠A=80°，求∠E的度数【变式1】如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是A2BD∠的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1=α，则∠A2013为（

）A． B． C． D．【变式2】如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……以此类推，若，则．【题型5】三角形的角平分线（外外分模型）【例5】如图，已知在中，、的外角平分线相交于点，若，，求的度数.【变式1】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，设∠A=m，则∠BOC=（）A． B． C． D．【变式2】如图，△ABC中，分别延长△ABC的边AB、AC到D、E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律：（1）若∠A＝60°，则∠P＝°；（2）若∠A＝40°，则∠P＝°；（3）若∠A＝100°，则∠P＝°；（4）请你用数学表达式归纳∠A与∠P的关系．【题型6】角平分线+平行线模型【例6】（23-24八年级上·四川泸州·期末）如图，在中，平分平分，过点作的平行线与分别相交于点．若．（1）求的度数；（2）求的周长．【变式1】如图，△EFG的三个顶点E，G和F分别在平行线AB，CD上，FH平分∠EFG，交线段EG于点H，若∠AEF＝36°，∠BEG＝57°，则∠EHF的大小为（

）A．105° B．75° C．90° D．95°【变式2】如图，的三个顶点，和分别在平行线，上，平分，交线段于点，若，，则的大小为．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则度．【例2】（2019·辽宁铁岭·中考真题）如图，在中，，，，，连接BC，CD，则的度数是（）A．45° B．50° C．55° D．80°【例3】（2020·北京·中考真题）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（

）A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠52、拓展延伸【例1】如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题：（1）观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果；②如图3，平分，平分，若，求的度数；③如图4，的10等分线相交于点，若，求的度数．【例2】如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．

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