山东省曲阜市夫子学校2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含答案)

2024年山东省济宁市曲阜市夫子学校中考数学一模试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（3分）2024的倒数是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．答案：C．2．（3分）如图，是几个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，则该几何体是（）A． B． C． D．答案：C．3．（3分）下列计算正确的是（）A． B． C．分解因式：a3﹣a＝a（a2﹣1） D．2a2•4a3＝8a5答案：D．4．（3分）不等式组，的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．答案：D．5．（3分）如图，⊙O中，，连接AB，AC，BC，OB，OC，若∠ACB＝65°，则∠BOC的度数为（）A．130° B．115° C．100° D．150°答案：C．6．（3分）2023年全国教育工作会议于1月12日在北京召开，会议重点谈到了要重视学生的“读书问题”，为落实会议精神，某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：册数12345人数25742根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（）A．3，3 B．3，7 C．2，7 D．7，3答案：A．7．（3分）今日，上海疫情防控形势严峻，某工厂计划生产1000套防护服，由于工人加班加点，实际每天比计划多制作20%，结果比原计划提前2天完成任务．设原计划每天制作x套防护服，则可列方程为（）A． B． C． D．答案：B．8．（3分）如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则sin∠ABC的值为（）A． B． C． D．答案：B．9．（3分）函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＜0．以下结论正确的是（）①abc＞0；②点（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，当x1＜0＜x2时，y1＜y2；③一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一个解是﹣4；④3a+c＜0．A．①③ B．①② C．③④ D．②④答案：C．10．（3分）在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为（﹣1，0），每一次将△AOB绕着点O顺时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，依次类推，则点A2023的坐标为（）A．（﹣22023，0） B．（22022，0） C．（﹣22022，22022） D．（﹣22023，﹣22023）答案：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.11．（3分）石墨烯目前是世界上最薄也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其厚度仅0.00000000035cm，将数据0.00000000035用科学记数法表示为3.5×10﹣10．12．（3分）化简分式的结果是．13．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点D，点E，直线DE与交AB交于点F，交AC于点G，CF与BG交于点H，若BC＝2，则HG的长为．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（k＞0，x＞0）的图象与菱形OABC的边OC，AB分别交于点M，N，且OM＝2MC，OA＝6，∠COA＝60°，则N的横坐标为3+．15．（3分）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝2．将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上点D处，折痕交OA于点C，点E为OB的中点，点P为线段CB上一个动点，连接OP，PE，DP，过点D作DF⊥BC于点F，下列说法：①当点P运动到CB的中点时，四边形COPD为菱形，②，③OP+PE的最小值为，④阴影部分面积为，正确的是①③④（填序号）．三、解答题：本大题共7题，满分55分.解答应写出文字说明、证明过程或推演过程.16．（6分）（1）计算：+（2023﹣π）0﹣+2sin60°．（2）先化简，再求值：（x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣（x+3）（x+1），其中x为方程x2﹣6x﹣2023＝0的解．解：（1）+（2023﹣π）0﹣+2sin60°＝3+1﹣（﹣1）+2×＝3+1﹣+1+＝5；（2）（x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣（x+3）（x+1）＝x2﹣2x+1+x2﹣4﹣（x2+4x+3）＝x2﹣2x+1+x2﹣4﹣x2﹣4x﹣3＝x2﹣6x﹣6，∵x2﹣6x﹣2023＝0，∴x2﹣6x＝2023，∴当x2﹣6x＝2023时，原式＝2023﹣6＝2017．17．（7分）为喜迎中国共产党第二十次全国代表大会的召开，红星中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查的样本容量是50，圆心角β＝144度；（2）补全条形统计图；（3）已知红星中学共有1200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？（4）若在这次竞赛中有A，B，C，D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A，C两人同时参赛的概率．解：（1）本次调查的样本容量是：10÷20%＝50，则圆心角β＝360°×＝144°，故答案为：50，144；（2）成绩优秀的人数为：50﹣2﹣10﹣20＝18（人），补全条形统计图如下：（3）1200×＝480（人），答：估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为480人；（4）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A，C两人同时参赛的结果有2种，∴恰好抽到A，C两人同时参赛的概率为＝．18．（7分）某景区研发一款纪念品，每件成本30元，投放景区内进行销售，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分图象如图．（1）若纪念品在成本价的基础上经过两次涨价，售价为67.5元，求这两次平均增长率为多少？（2）当销售单价为多少元时，每天的获利最大，最大利润是多少？（3）物价部门规定该纪念品销售单价不能超过m元，在日销售量y（件）与销售单价x（元/件）保持（1）中函数关系不变的情况下，若要求该纪念品的日销售最大利润是1200元，求m的值．解：（1）这两次平均增长率为x，30（1+x）2＝67.5，解得：x＝0.5或﹣2.5（舍去）．∴这两次平均增长率为50%；（2）设解析式为y＝kx+b，根据图象可知，点（30，100）、（50，60）在y＝kx+b上，∴，解得，∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+160；设每天获利w元，根据题意得w＝（x﹣30）⋅（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，∵﹣2＜0，∴当x＝55时，w取最大值为1250，答：当销售单价55元/件时，每天获利最大，最大利润为1250元．（3）由（2）知，当w最大＝1200时，﹣2（x﹣55）2+1250＝1200，解得x1＝50，x2＝60，∴m的值为50，即m＝50．19．（8分）如图，△ABC中∠ACB＝90°，CD是中线，以CD为直径的⊙O交BC于点E，作EF⊥AB于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若CD＝9，sin∠DCB＝，求EF的长．（1）证明：连接OE，如图，∵△ABC中∠ACB＝90°，CD是中线，∴CD＝BD＝AB，∴∠DCB＝∠B．∵OC＝OE，∴∠DCB＝∠OEC，∴∠OEC＝∠B，∴OE∥BD．∵EF⊥AB，∴OE⊥EF，∵OE为⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：连接DE，如图，∵CD为⊙O的直径，∴∠AED＝90°．在Rt△CDE中，∵sin∠DCB＝，∴DE＝CD＝3．∴CE＝．∵DC＝DB，DE⊥BC，∴BE＝CE＝6．∵DE•BE＝BD•EF，∴DE•BE＝BD•EF，∴3×6＝9EF，∴EF＝2．20．（8分）阅读新知一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．即：在数列a1，a2，a3，…，an（n为正整数）中，若，，…，则数列a1，a2，a3，…，an（n为正整数）叫做等比数列．其中a1叫数列的首项，a2叫第二项，…，an叫第n项，q叫做数列的公比．例如：数列1，2，4，8，16，…是等比数列，公比q＝2．计算：求等比数列1，3，32，33，…，3100的和．解：令S＝1+3+32+33+…+3100，则3S＝3+32+33+34+…+3100+3101．因此3S﹣S＝3101﹣1．所以．即1+3+32+33+…+3100＝．学以致用（1）选择题：下列数列属于等比数列的是CA.1，2，3，4，5B.2，6，18，21，63C.56，28，14，7，3.5D．﹣11，22，﹣33，44，﹣55（2）填空题：已知数列a1，a2，a3，…，an是公比为4的等比数列，若它的首项a1＝3，则它的第n项an等于3×4n﹣1．（3）解答题：求等比数列1，5，52，53，…前2024项的和．解：（1）由题意可得，，故选项A中的数列不是等比数列；，故选项B中的数列不是等比数列；，故选项C中的数列是等比数列；，故选项D中的数列不是等比数列；故答案为：C；（2）∵数列a1，a2，a3，…，an是公比为4的等比数列，它的首项a1＝3，∴它的第n项an＝a1•qn﹣1＝3×4n﹣1，故答案为：3×4n﹣1；（3）设S＝1+5+52+53+…+52023，则5S＝5+52+53+…+52023，5S﹣S＝52024﹣1，4S＝52024﹣1，S＝，即前2024项的和是．21．（9分）如图1，在正方形ABCD中，AE平分∠CAB，交BC于点E，过点C作CF⊥AE，交AE的延长线于点G，交AB的延长线于点F．（1）求证：BE＝BF；（2）如图2，连接BG、BD，求证：BG平分∠DBF；（3）如图3，连接DG交AC于点M，求的值．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠EAB+∠AEB＝90°，∵AG⊥CF，∴∠FCB+∠CEG＝90°，∵∠AEB＝∠CEG，∴∠EAB＝∠FCB，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（ASA），∴BE＝BF；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠CAB＝45°，∵AE平分∠CAB，∴∠CAG＝∠FAG＝22.5°，在△AGC和△AGF中，，∴△AGC≌△AGF（ASA），∴CG＝GF，∵∠CBF＝90°，∴GB＝GC＝GF，∴∠GBF＝∠GFB＝90°﹣∠FCB＝90°﹣∠GAF＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠DBG＝180°﹣∠ABD﹣∠GBF＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠DBG＝∠GBF，∴BG平分∠DBF；（3）解：连接BG，如图3所示：∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝AB，∠DCA＝∠ACB＝45°，∠DCB＝90°，∴AC＝DC，∵∠DCG＝∠DCB+∠BCF＝∠DCB+∠GAF＝90°+22.5°＝112.5°，∠ABG＝180°﹣∠GBF＝180°﹣67.5°＝112.5°，∴∠DCG＝∠ABG，在△DCG和△ABG中，，∴△DCG≌△ABG（SAS），∴∠CDG＝∠GAB＝22.5°，∴∠CDG＝∠CAG，∵∠DCM＝∠ACE＝45°，∴△DCM∽△ACE，∴＝＝．22．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx2﹣4mx+4m+6（m＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．（1）当m＝﹣6时，直接写出点A，C，D的坐标；（2）如图1，直线DC交x轴于点E，若，①求m的值．②将直线CD向上平移n个单位得到直线L，直线L与抛物线只有一个公共点，求n的值．（3）如图2，在（2）的条件下，若点Q为OC的中点，连接BQ，动点P在第一象限的抛物线上运动，过点P作x轴的垂线．垂足为H，交BQ于点M，交直线ED于点J，过点M作MN⊥DE，垂足为N．是否存在PM与MN和的最大值？若存在，求出PM与MN和的最大值；若不存在，请说明理由．解：（1）把m＝﹣6代入抛物线y＝mx2﹣4mx+4m+6得y＝﹣6x2+24x﹣18，令y＝0时，则﹣6x2+24x﹣18＝0，则x1＝1，x2＝3，∵点A在点B的左侧，∴A（1，0），令x＝0时，则y＝﹣18，即C（0，﹣18），当时，则y＝﹣6×4+24×2﹣18＝﹣24+48﹣18＝6，∴D（2，6），∴综上，点A（1，0），C（0，﹣18），D（2，6）；（2）①过点D作DF⊥BE于点F，过点C作CG⊥DF于点G，如图所示：∴CG∥BE，∴∠BED＝∠DCG，∵，∴，由y＝mx2﹣4mx+4m+6＝m（x﹣2）2+6可知顶点D（2，6），令x＝0时，则y＝4m+6，即C（0，4m+6），∴DF＝6，FG＝4m+6，∴DG＝DF﹣FG＝﹣4m，CG＝2，∴，解得：；②由①得，设直线DE的解析式为y＝kx+b，则有：，解得：，∴