2024-2025学年高中数学第1章数列3.2第1课时等比数列的前n项和讲义教案北师大版必修5

PAGE1-3．2等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和学习目标核心素养1．驾驭等比数列的前n项和公式及其应用．(重点、易混点)2．会用错位相减法求数列的前n项和．(重点、难点)3．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简洁的实际问题．(重点)1．通过等比数列前n项和公式的推导，培育逻辑推理的数学素养．2．通过等比数列前n项和公式的应用，提升数学运算素养．1．等比数列的前n项和公式阅读教材P26～P27例5以上部分，完成下列问题．等比数列前n项和公比已知量适用公式q＝1首项Sn＝na1q≠1首项，公比，项数Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)首项，公比，末项Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)思索：(1)等比数列的前n项和公式中涉及哪些量？[提示]Sn，a1，q，n，an，共五个量．(2)当等比数列的公比q≠1时，其前n项和公式可化为Sn＝－Aqn＋A的形式，其中的A是什么？[提示]A＝eq\f(a1,1－q)．2．等比数列前n项和公式的推导该等比数列{an}的前n项和为Sn．公比为q，则Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1①，qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn②，①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn．当q≠1时，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)(q≠1)．又因为an＝a1qn－1，所以上式还可以写成Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)．当q＝1时，Sn＝na1．1．等比数列{an}中，an＝2n，则它的前n项和Sn＝()A．2n－1 B．2n－2C．2n＋1－1 D．2n＋1－2D[等比数列{an}的首项为2，公比为2．所以Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(21－2n,1－2)＝2n＋1－2，故选D．]2．等比数列1，x，x2，x3，…(x≠0)的前n项和Sn为()A．eq\f(1－xn,1－x) B．eq\f(1－xn－1,1－x)C．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1－xn,1－x)x≠1,nx＝1)) D．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1－xn－1,1－x)x≠1,nx＝1))C[当x＝1时，数列为常数列，又a1＝1，所以Sn＝n．当x≠1时，q＝x，Sn＝eq\f(a11－xn,1－x)＝eq\f(1－xn,1－x)．]3．等比数列{an}的前n项和Sn＝k·3n＋1，则k的值为()A．全体实数 B．－1C．1 D．3B[当n＝1时，a1＝S1＝3k＋1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝k·3n－k·3n－1＝2k·3n－1．令3k＋1＝2k得k＝－1．]4．在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝eq\f(1,8)，则该数列的前10项和为________．2－eq\f(1,29)[设其公比为q，因为a1＝1，a4＝a1q3＝eq\f(1,8)．所以q＝eq\f(1,2)．所以S10＝eq\f(1×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,210))),1－\f(1,2))＝2－eq\f(1,29)．]等比数列前n项和的基本计算【例1】(1)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3＝eq\f(7,4)，S6＝eq\f(63,4)，则a8＝________．(2)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和Sn(3)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________．(1)32(2)2n－1(3)6[(1)设{an}的首项为a1，公比为q，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－q3,1－q)＝\f(7,4)，,\f(a11－q6,1－q)＝\f(63,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(1,4),q＝2))，所以a8＝eq\f(1,4)×27＝25＝32．(2)因为数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2·a3＝a1·a4＝8，解得a1＝1，a4＝8，所以q3＝8，q＝2，所以Sn＝eq\f(1－2n,1－2)＝2n－1．(3)∵a1＝2，an＋1＝2an，∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，又∵Sn＝126，∴eq\f(21－2n,1－2)＝126，∴n＝6．]等比数列前n项和的运算技巧1在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行推断，若两种状况都有可能，则要分类探讨.2在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是基本量，在条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q列方程组求解.eq\o([跟进训练])1．在等比数列中．(1)若a1＝1，a5＝16，且q＞0，求S7；(2)若a3＝eq\f(3,2)，S3＝eq\f(9,2)，求a1和公比q．[解](1)因为{an}为等比数列且a1＝1，a5＝16，q＞0，∴a5＝a1q4＝16，∴q＝2(负值舍去)，∴S7＝eq\f(a11－q7,1－q)＝eq\f(1－27,1－2)＝127．(2)①当q≠1时，S3＝eq\f(a11－q3,1－q)＝eq\f(9,2)，又a3＝a1q2＝eq\f(3,2)，∴a1(1＋q＋q2)＝eq\f(9,2)，即eq\f(\f(3,2),q2)(1＋q＋q2)＝eq\f(9,2)，解得q＝－eq\f(1,2)(q＝1舍去)，∴a1＝6．②当q＝1时，S3＝3a1∴a1＝eq\f(3,2)．综上得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝6，,q＝－\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(3,2)，,q＝1.))等比数列前n项和的实际应用【例2】新型冠状病毒扩散以来，世界各国都在研制疫苗，某专家认为，某种抗病毒药品对新型冠状病毒具有抗病毒、抗炎作用，假如规定每天早上7：00和晚上7：00各服药一次，每次服用该药药量700毫克具有抗病毒功效，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的70%，该药在人体内含量超过1000毫克，就将产生副作用，若人长期服用这种药，则这种药会不会对人体产生副作用？[解]由题意第一次服药后，经过12小时后，体内药物含量700×(1－70%)＝700×30%，经过24小时后，体内药物含量700×(30%)2，以此类推，一次服药后体内药物含量构成以a1＝700，q＝30%为公比的等比数列，即an＝700×(30%)n－1，所以第n次服药后，体内药物的含量为：700＋700×0.3＋700×0.32＋…＋700×0.3n－1＝eq\f(700×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－0.3n)),1－0.3)＝1000×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－0.3n))，当n→＋∞时，药在体内的含量无限接近1000，该药在人体内含量不超过1000毫克，不会产生副作用．解答数列应用题的步骤,对于一个实际问题，首先要弄清题目中所含的数量关系，考察是否可通过建立数列模型来解决，是否可以转化为等比数列的问题，基本思路清楚后再着手解题.要留意：1仔细审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型.2合理设元，建立等比数列模型，依据其性质及方程思想求出未知元素，并依据结论作出合理说明.3实际问题解答完成后肯定要有结论.eq\o([跟进训练])2．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A．1盏 B．3盏C．5盏 D．9盏B[每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得eq\f(a11－27,1－2)＝381，解得a1＝3，选择B．]等比数列前n项和的性质[探究问题]1．在等差数列{an}中，Sm是其前m项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列．类比这种性质，若{an}是等比数列，前m项和为Sm(Sm≠0)，则Sm，S2m－Sm，S3m－[提示]设等比数列{an}的公比为q，则Sm＝a1＋a2＋…＋am，S2m－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋a2m＝qm(a1＋a2＋…＋am)＝qmSS3m－S2m＝a2m＋1＋a2m＋2＋…＋a3m＝qm(am＋1＋am＋2＋…＋a2m)＝qm(…所以数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列，公比为2．把等比数列{an}的前n项和Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)(q≠1)化为Sn＝－eq\f(a1,1－q)qn＋eq\f(a1,1－q)，视察qn的系数和常数项有何关系？若一个数列{an}的前n项和满意上述关系，那么数列{an}是等比数列吗？[提示]qn的系数和常数项互为相反数，若一个数列{an}的前n项和满意上述关系，即Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0且q≠1)，则数列{an}是等比数列．【例3】(1)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n＝()A．80 B．30C．26 D．16(2)一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，则此数列的公比为________，项数为________．(3)若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________．思路探究：(1)应用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m(2)依据所给等式列方程组求解；(3)利用a1，a2，a3是等比数列求解．(1)B(2)28(3)－eq\f(1,3)[(1)由题意知：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列，设公比为q，则S3n＝Sn＋(S2n－Sn)＋(S3n－S2n)＝2×(1＋q＋q2)＝14，解得q＝2，所以S4n－S3n＝2q3＝2×8＝16，S4n＝S3n＋(S4n－S3n)＝14＋16＝30．(2)设数列为{an}，其公比为q，项数为2n，则奇数项，偶数项分别组成以q2为公比的等比数列，又a1＝1，a2＝q，q≠1，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1－q2n,1－q2)＝85，①,\f(q1－q2n,1－q2)＝170，②))由②÷①，得q＝2，所以eq\f(1－4n,1－4)＝85,4n＝256，故得n＝4，故项数为8．(3)由题目条件Sn＝3n－1＋t得a1＝S1＝1＋t，a2＝S2－S1＝2，a3＝S3－S2＝6，因为{an}是等比数列，故aeq\o\al(2,2)＝a1a3，即4＝6(1＋t)，解得t＝－eq\f(1,3)，阅历证，当t＝－eq\f(1,3)时，{an}是等比数列．]1．(变条件)在例3(1)题中，若把条件换为“Sn＝2，S2n＝6”，求S4n[解]设数列{an}的公比为q，首项为a1，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，成等比数列，Sn＝2，S2n－Sn＝4，故qn＝2．所以Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝2，故得－eq\f(a1,1－q)＝2，即eq\f(a1,1－q)＝－2．S4n＝eq\f(a11－q4n,1－q)＝eq\f(a1[1－qn4],1－q)＝－2×(1－16)＝30．2．(变结论)例3(1)题的条件不变，求Sn2．[解]设数列{an}的公比为q，首项为a1，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，成等比数列，则S3n＝Sn＋(S2n－Sn)＋(S3n－S2n)＝2×(1＋qn＋q2n)＝14，解得qn＝2，由Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝2，得eq\f(a1,1－q)＝－2，所以Sn2＝eq\f(a11－qn2,1－q)＝eq\f(a1,1－q)[1－(qn)n]＝－2(1－2n)＝2n＋1－2．等比数列前n项和性质的应用技巧：1在涉及奇数项和S奇与偶数项和S偶时，常考虑其差或比进行简化运算.若项数为2n，则＝qS奇≠0；若项数为2n＋1，则＝qS偶≠0.2等比数列前n项和为Sn且Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qnq≠－1.3等比数列{an}的公比为q，则Sn＋m＝Sn＋qnSm.4若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn－AA≠0，q≠0且q≠1，则数列{an}是等比数列.1．等比数列的前n项和公式共涉及五个量：a1，q，n，an，Sn，其中a1和q为基本量，且五个量“知三可求二”；在解决等比数列问题中，要学会用函数与方程、整体代换的思想方法分析问题，养成良好的思维习惯．2．在解等比数列问题时，要留意合理应用等比数列的性质．3．利用等比数列解决实际问题，关键是构建等比数列模型．要确定a1与项数n的实际含义，同时要搞清是求an还是求Sn的问题．1．推断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求数列a，a2，a3，…，an的和时可应用公式Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)． ()(2)若等比数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋a，则a＝1． (