2024-2025学年高中数学第二章解三角形2.3解三角形的实际应用举例学案含解析北师大版必修5

PAGE§3解三角形的实际应用举例内容标准学科素养1.能够运用正弦定理、余弦定理等学问和方法解决一些有关底部或顶部不行到达的物体高度测量的问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等学问和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语.3.能够依据题意建立数学模型，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，画出示意图，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解.深化数学建模加强数形结合提升数学运算留意函数方程授课提示：对应学生用书第44页[基础相识]学问点一测量中的常用概念学问梳理1.基线(1)定义：在测量上，依据测量须要适当确定的线段叫做基线．(2)性质：在测量过程中，要依据实际须要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．2．坡角与坡度坡面与水平面所成的二面角叫做坡角，坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度，如图所示，α为坡角，坡比i＝eq\f(h,l)＝tanα.3.仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角，目标视线在水平视线下方时叫做俯角(如图所示)．4．铅直平面铅直平面是指与水平面垂直的平面．学问点二角度的有关概念思索并完成以下问题1．如何用方向角的含义表示下列两图中的m°角与n°角？提示：图①的m°角描述为北偏西m°，图②的n°角描述为南偏东n°.2．下列两图中的130°角与200°角是什么含义？提示：图③的方位角为130°；图④的方位角为200°.学问梳理1．视角视察物体的两端，视线张开的夹角叫做视角，如图所示．2．方位角与方向角(1)方位角从正北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角．如点B的方位角为α，如图所示．方位角的取值范围为0°＜α＜360°．(2)方向角从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角．如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°，如图所示．思索：结合教材P58例1，你认为求距离问题的关键是什么？提示：(1)基线的选取要恰当．(2)选定或创建的三角形要确定．(3)利用正弦定理还是余弦定理要确定．[自我检测]1．海上有A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C岛间的距离是()A．10eq\r(3)海里 B.eq\f(10\r(6),3)海里C．5eq\r(2)海里 D．5eq\r(6)海里解析：如图，C＝180°－60°－75°＝45°，AB＝10.由正弦定理，得eq\f(10,sin45°)＝eq\f(BC,sin60°)，解得BC＝5eq\r(6)(海里)．故选D.答案：D2．(2024·临汾高一检测)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点间的距离为60m，则树的高度为()A．(30＋30eq\r(3))m B．(30＋15eq\r(3))mC．(15＋30eq\r(3))m D．(15＋15eq\r(3))m解析：在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60，sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝eq\f(\r(6)－\r(2),4).由正弦定理得：eq\f(PB,sin30°)＝eq\f(AB,sin15°)，∴PB＝eq\f(\f(1,2)×60,\f(\r(6)－\r(2),4))＝30(eq\r(6)＋eq\r(2))，∴树的高度为PBsin45°＝30(eq\r(6)＋eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)＝(30＋30eq\r(3))m.答案：A3．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时风向是北偏东30°，风速是20km/h，水的流向是正东，流速是20km/h.若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东________，大小为________km/h.解析：如图，∠AOB＝60°.由余弦定理，得OC2＝202＋202－2×20×20cos120°＝1200，故OC＝20eq\r(3)，∠COY＝30°＋30°＝60°.答案：60°20eq\r(3)授课提示：对应学生用书第45页探究一测量距离问题[阅读教材P58例1及解答]题型：测量距离(长度)问题方法步骤：①抽象到△ABC中；②求内角∠BAC＝60°＋6°20′＝66°20′；③利用余弦定理求出BC的长．[例1]如图，一名学生在河岸紧靠岸边笔直行走，起先在A处，经视察，在河的对岸有一参照物C，与学生前进方向成30°角，学生前进200m后到达点B，测得该参照物与前进方向成75°角．(1)求点A与参照物C的距离；(2)求河的宽度．[解题指南]依据图形，先由已知求出∠ACB，再利用正弦定理求得AC的长度，最终在直角三角形中求出河的宽度．[解析](1)由已知，得∠ABC＝105°，∠ACB＝180°－30°－105°＝45°.在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(200,sin45°)＝eq\f(AC,sin105°)，所以AC＝eq\f(200sin105°,sin45°)＝100(eq\r(3)＋1)(m)，即点A与参照物C的距离为100(eq\r(3)＋1)m.(2)河的宽度为ACsin30°＝100(eq\r(3)＋1)×eq\f(1,2)＝50(eq\r(3)＋1)(m)，即河的宽度为50(eq\r(3)＋1)m.方法技巧测量距离问题的类型测量距离问题分为三种类型：两点间不行到达又不行视，两点间可视但不行达，两点都不行达，解决此类问题的方法是，选择合适的协助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．如图，点B为不行到达点，求A，B的距离的详细解题步骤是：(1)取基线AC(尽量长)，且使AB，AC不共线；(2)测量AC，∠BAC，∠BCA；(3)利用正弦定理解△ABC，得AB＝eq\f(ACsinC,sinB)＝eq\f(ACsinC,sin（180°－A－C）).跟踪探究1.如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°的方向上，距离为12eq\r(6)nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°的方向上，距离为8eq\r(3)nmile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°的方向，求：(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离．解析：(1)在△ABD中，∠ADB＝60°，B＝45°，由正弦定理，得AD＝eq\f(ABsinB,sin∠ADB)＝eq\f(12\r(6)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝24(nmile)．即A处与D处的距离为24nmile.(2)在△ADC中，由余弦定理，得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos30°，解得CD＝8eq\r(3)(nmile)．即灯塔C与D处的距离为8eq\r(3)nmile.探究二测量高度问题[阅读教材P58例2及解答]题型：测量高度问题方法步骤：①在△BCD中求出角∠BD1C1＝120°；②求∠C1BD1＝15°；③由正弦定理求出BC1＝(18eq\r(2)＋6eq\r(6))m；④利用三角函数定义求出A1B＝18＋6eq\r(3).⑤求出烟囱高AB＝A1B＋A1A≈[例2]如图，地平面上有一旗杆OP，为了测量它的高度h，在地面上选一基线AB，AB＝20m，在A点测得P点的仰角∠OAP＝30°，在B点测得P点的仰角∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°，求旗杆的高度h(结果精确到1m)．[解题指南]旗杆OP垂直于地面，所以△AOP和△BOP都是直角三角形，则用h表示OA，OB；在△AOB中，可利用余弦定理构造方程，求出旗杆的高度h.[解析]在Rt△AOP中，OA＝OPeq\f(1,tan30°)＝eq\r(3)h，在Rt△BOP中，OB＝OPeq\f(1,tan45°)＝h，在△AOB中，依据余弦定理，得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos60°，即202＝(eq\r(3)h)2＋h2－2×eq\r(3)h×h×eq\f(1,2)，所以h2＝eq\f(400,4－\r(3))≈176，得h≈13，所以旗杆的高度约为13m.延长探究1.(1)在本例中，若将条件“∠AOB＝60°”改为“∠AOB＝0°”，则结论如何？(2)在本例中，若将条件“∠AOB＝60°”改为“∠AOB＝180°”，则结论如何？解析：(1)如图，在△ABP中，∠APB＝15°，由正弦定理，得eq\f(BP,sin∠OAP)＝eq\f(AB,sin∠APB)，所以BP＝eq\f(ABsin∠OAP,sin∠APB)＝eq\f(20sin30°,sin15°)＝10(eq\r(6)＋eq\r(2))(m)．在Rt△BOP中，OP＝BPsin45°＝10(eq\r(6)＋eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)≈27(m)，所以此时旗杆的高度约为27m.(2)如图，在Rt△AOP中，OA＝eq\f(h,tan30°)＝eq\r(3)h.在Rt△BOP中，OB＝eq\f(h,tan45°)＝h，由OA＋OB＝AB，得eq\r(3)h＋h＝20，所以h＝eq\f(20,\r(3)＋1)≈7(m)，所以此时旗杆的高度约为7m.方法技巧测量高度问题的解题思路对于底部不能到达或者无法干脆测量的物体高度问题，常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解三角形的问题．这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所测量物体的高度．如图所示其一般步骤总结为跟踪探究2.如图，为了测量河对岸的塔高AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD＝200m，在点C和点D测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，求塔高AB.[解题指南]先在Rt△ABC和Rt△ABD中，用AB表示BC和BD，再在△BCD中，由余弦定理建立方程，求得AB.解析：在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，设AB＝h，则BC＝h，在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BD＝eq\r(3)h.在△BCD中，由余弦定理，得CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos∠CBD，即2002＝h2＋(eq\r(3)h)2－2·h·eq\r(3)h·eq\f(\r(3),2)，解得h＝200(h＝－200舍去)，即塔高AB＝200m.探究三测量角度问题[阅读教材P62A组第3题]如图为一角槽示意图，已知AB⊥AD，AB⊥BE，并量得AB＝85mm，BC＝78mm，AC＝32mm，则α＝______，β＝________(精确到0.1°)解析：在△ABC中，AB＝85，BC＝78，AC＝32，由余弦定理得cosA＝eq\f(AC2＋AB2－BC2,2AC·AB)＝eq\f(322＋852－782,2×32×85)≈0.3979，所以A≈66.5°，所以α≈23.5°.cosB＝eq\f(BC2＋BA2－AC2,2BC·BA)＝eq\f(782＋852－322,2×78×85)≈0.9265.所以B≈22.1°，所以β≈67.9°.答案：23.5°67.9°[例3]某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，马上测出该渔轮在方位角为45°，距离为10nmile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9nmile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇马上以21nmile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．[解题指南]本题中所涉及的路程在不断改变，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t，找出等量关系，再解三角形．[解析]如图所示，依据题意可知AC＝10，∠ACB＝120°.设舰艇靠近渔轮所需的时间为th，并在B处与渔轮相遇，则AB＝21t，BC＝9t.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°，即212t2＝102＋81t2－2×10×9t×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，整理，得360t2－90t－100＝0，解得t＝eq\f(2,3)或t＝－eq\f(5,12)(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为eq\f(2,3)h.此时AB＝14，BC＝6.在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，所以sin∠CAB＝eq\f(BCsin∠ACB,AB)＝eq\f(6×\f(\r(3),2),14)＝eq\f(3\r(3),14)，即∠CAB≈21.8°.故舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行，需eq\f(2,3)h才能靠近渔轮．延长探究2.本题中其他条件不变，将“渔轮向小岛靠拢的速度”改为“10nmile/h”，将“我海军舰艇的速度”改为“10eq\r(3)nmile/h”，求舰艇的航向和靠近渔轮所须要的时间．解析：如图所示，设所需时间为th，则AB＝10eq\r(3)t，CB＝10t.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，即(10eq\r(3)t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos120°，整理，得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－eq\f(1,2)(舍去)．舰艇需1h靠近渔轮．此时AB＝10eq\r(3)，BC＝10.在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，所以sin∠CAB＝eq\f(BCsin∠ACB,AB)＝eq\f(10×\f(\r(3),2),10\r(3))＝eq\f(1,2).所以∠CAB＝30°，所以舰艇航行的方位角为30°＋45°＝75°，靠近渔轮须要1h.方法技巧解决测量角度问题的留意点(1)明确方位角和方向角的含义；(2)分析题意，明确已知条件和所求问题，并依据题意画出正确的示意图，这是最关键的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，留意正、余弦定理的“联袂”运用．体现了数形结合与方程的数学思想方法．跟踪探究3.地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30°的方向，且距离他40eq\r(3)m，之后该测绘人员沿正北方向行走了40m，达到点B.试确定此时目标参照物P相对于他的方位角以及他与目标参照物P的距离．[解题指南]画出图形，在三角形中，利用正弦定理求出内角的大小以及边的长度，从而确定相应的方位角以及距离．解析：如图，在△PAB中，∠PAB＝30°，PA＝40eq\r(3)m，AB＝40m.由余弦定理，得PB＝eq\r(AB2＋PA2－2·AB·PA·cos∠PAB)＝eq\r(402＋（40\r(3)）2－2×40×40\r(3)cos30°)＝40(m)．因为AB＝40m，所以AB＝PB，所以∠APB＝∠PAB＝30°，所以∠PBA＝120°.因此测绘人员到达点B时，目标参照物P相对于该测绘人员的方位角为180°－120°＝60°，且目标参照物P与他的距离为40m.授课提示：对应学生用书第47页[课后小结](1)运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不行到达点间的距离”，而测量“两个不行到达点间的距离”要综合运用正弦定理和余弦定理．测量“一个可到达点与一个不行到达点间的距离”是测量“两个不行到达点间的距离”的基础，这两类测量距离的题型间既有联系又有区分．(2)空间中的测量问题通常都是通过射影化归为平面内的测量问题．(3)正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤：①分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；②建模：依据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；③求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．[素养培优]对实际状况理解偏差致误如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲动身2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA＝eq\f(12,13)，cosC＝eq\f