2025年高考数学专项题型点拨训练之平面向量

年高考数学专项题型点拨训练平面向量【题型一】奔驰定理【题型二】极化恒等式【题型三】等和线平面向量是近几年小题的热点必考题型，主要考察学生对于向量的转化也就是基底思想的熟练程度，包含了对于复杂知识的简单化也就是化归与转化的思想的掌握。近几年的向量也出现过单选的压轴题，考察的大多为向量的三大定理之一。还有新教材新加的投影向量也是今年的热门知识点。注意题目的问法，分清投影向量、向量的投影和投影向量的模之间的区别。易错点：投影向量、投影向量的模与向量的投影1.同方向单位向量：的同方向单位向量为，指的是方向和相同，模长为1的向量。2.向量在方向上的投影：设为、的夹角，则为在方向上的投影.3.投影也是一个数量，不是向量.当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为；当时投影为；当时投影为.4.向量在方向上的投影向量：设为、的夹角，则为在方向上的投影向量.5.向量的数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影的乘积.易错提醒：1.投影和投影向量的模都是数量，区别在于投影有正负，投影向量的模永远是正值。2.投影向量结果是向量，所以是其投影（大小）乘上其同方向单位向量（方向）。例（多选）（2024·海南·模拟预测）已知向量，则（

）A．若，则B．在方向上的投影向量为C．存在，使得在方向上投影向量的模为1D．的取值范围为变式1：（2024·辽宁鞍山·二模）已知非零向量，满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．变式2：（多选）（2024·广东广州·一模）已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（

）A． B．C．向量，在上的投影向量相等 D．变式3：（2024·青海·一模）已知向量，，则向量在方向上的投影为．【题型一】奔驰定理为内一点，，则.重要结论：，，.结论1：对于内的任意一点，若、、的面积分别为、、，则：.即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有.结论3：对于内的任意一点，若，则、、的面积之比为.即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比.结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为.奔驰定理与三角形四心的关系：一、三角形的“重心”1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成2:1三角形中线向量式：AM2、重心的性质：（1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。（2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。所以二、三角形的“垂心”垂心的定义：高的交点。锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。奔驰定理推论：S∆BOC:tanA∙OA三、三角形的“内心”1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。2、常见内心向量式：P是∆ABC的内心，（1）ABPC+BC其中a，b，c分别是∆ABC的三边BC、AC、AB的长，四、三角形的“外心”1、外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等2、常用外心向量式：O是∆ABC的外心，1、OA2、OA3、若OA+OB∙AB=【例1】（2021·四川凉山·三模）如图，为内任意一点，角，，的对边分别为，，.总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：①若是的重心，则有；②若成立，则是的内心；③若，则；④若是的外心，，，则.则正确的命题有.【例2】（多选）（22-23高一下·山东·阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有（

）A．若，则为的重心B．若为的内心，则C．若，为的外心，则D．若为的垂心，，则【例3】（2024高一·江苏·专题练习）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（

）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心【变式1】（2024·吉林·一模）在直角三角形中，，的重心、外心、垂心、内心分别为，，，，若（其中），当取最大值时，（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式2】（22-23高三上·江西·阶段练习）奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是的垂心，且，则（

）A． B． C． D．【变式3】（2022·安徽·三模）平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，，的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（

）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【题型二】极化恒等式基础知识：简化：在△中，是边的中点，则.【例1】已知△是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（）【例2】在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，，，则的值是________.【例3】已知球的半径为1，是球面上的两点，且，若点是球面上任意一点，则的取值范围是A．B．C．D．【变式1】（23-24高三上·云南保山·期末）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（

）

A． B． C． D．【变式2】（2024·江西·一模）如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式3】（2024·陕西安康·模拟预测）在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上，为圆的直径，点是直线上任意一点；则的最小值为（

）A．4 B．12 C．16 D．18【题型三】等和线向量基本定理：等和线原理：【例1】如图，中，是斜边上一点，且满足：,点在过点的直线上，若,,则的最小值为（）A．2B．C．3D．【例2】设，，是平面内共线的三个不同的点，点是，，所在直线外任意-点，且满足，若点在线段的延长线上，则（）A．， B．， C． D．【例3】如图，∠BAC=2π3，圆M与AB、AC分别相切于点D、E，AD=1，点P是圆M及其内部任意一点，且AP=xA．1,4+23B．4−23,4+23【变式1】（2024·内蒙古包头·一模）如图，在菱形中，，，分别为上的点，，．若线段上存在一点，使得，则等于（

）A． B． C． D．【变式2】（2024·