2011费马点及拓展

费马点

王佳阳七（三）作者介绍法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”．这是一个历史名题，近几年仍有不少文献对此介绍．

本文试以课本上的习题、例题为素材，根据初中学生的认知水平，针对这个问题拟定一则思维训练材料，引导学生通过自己的思维和学习，初步了解这个问题的产生、形成、推理和论证过程及应用．

定义1.若三角形3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。（托里拆利的解法中对这个点的描述是：对于每一个角都小于120°的三角形ABC的每一条边为底边，向外作正三角形，然后作这三个正三角形的外接圆。托里拆利指出这三个外接圆会有一个共同的交点，而这个交点就是所要求的点。这个点和当时已知的三角形特殊点都不一样。这个点因此也叫做托里拆利点。）2.若三角形有一内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。4费马点的证明三角形费马点如右图，在△ABC中，P为其中任意一点。连接AP，BP，得到△ABP。以点B为旋转中心，将△ABP逆时针旋转60°，得到△EBD∵旋转60°，且BD=BP，∴△DBP为一个等边三角形∴PB=PD因此，PA+PB+PC=DE+PD+PC由此可知当E、D、P、C四点共线时，为PA+PB+PC最小若E、D、P共线时，∵等边△DBP∴∠EDB=120°同理，若D、P、C共线时，则∠CPB=120°∴P点为满足∠APB=∠BPC=∠APC=120°的点四边形费马点平面四边形中费马点证明相对于三角形中较为简易，也较容易研究。（1）在凸四边形ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。（2）在凹四边形ABCD中，费马点为凹顶点D（P）。平面四边形费马点证明图形经过上述的推导，我们即得出了三角形中费马点的找法：当三角形有一个内角大于或等于120°的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120°以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120°的点。另一种更为简捷的证明：设O为三顶点连线最短点，以A为圆心AO为半径做圆P。将圆P视作一面镜子。显然O点应该为B出发的光线经过镜子到C的反射点（如果不是，反射点为O',就会有BO’+CO'<BO+CO，而AO’=AO，就会有AO’+BO’+CO'<AO+BO+CO）。不失一般性。O点对于B、C为圆心的镜子也成立。因此根据对称性AO、BO、CO之间夹角都是120°1四个点构成凸四边形；2四个点构成凹四边形；3四个点中三点共线三角形费马点三角形最大角1、小于12002、不小于1200费马点如何画？距离之和的最小值如何求？有A,B,C三个村庄，各村庄的小学生人数分别为a,b,c，把学校建在什么地方，才能使所有学生所走的路程总和最短？

一般费马点问题特殊集散点-n个集散点构成正多边形一般的费马点问题已知平面上n个点Pi(xi,yi)（i=1,2,…,n），各点Pi的“权重”为Wi，试确定一点P(x,y)，使它到已知n个点的加权距离最小？数学模型

——运输优化问题

有一条笔直的河流，仓库A到河岸所在直线MN的距离是10千米，AC⊥MN于