专题07 正方形综合（知识点串讲）（解析版）

专题07正方形综合

知识网络

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边

形叫正方形

正方形概念

对边平行，四条边都相等

四个角都是直角

_________________正方形性质对角浅相等且互用垂直平分，每条对角线平分一

组对角

正方形综合「应用：轴对称性质应用

一组邻边相等的矩形是正方形

正方形判定有T角是直角的菱形是正方形

四边形综合

重难突破

知识点一正方形的性质及应用

1、定义

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.

2、性质

图示性质几何语言

边对边平行，・・•四边形ABCD是正方形

四条边都相等:.ABCD,ADBC

::AB=BC=CD=AD

角四个角都是直角・・•四边形ABCD是正方形

ZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAB=90°

对角线对角线相等并旦互相垂・・•四边形ABC。是正方形

直平分，每条对角线平,AC=BD,AC.LBD

分一组对角OA=OB=OC=OD

ZABD=NCBA/BCA=ZDCA

=ZADB=NCDB=ABAC=ZDAC=45°

注意：

（1）正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形；

（2）正方形既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，既是矩形又是菱形的四边形是正方形;

（3）正方形的每一条对角线把正方形分成两个全等的等腰三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰

直角三角形，正方形的对角线与边的夹角是45°.

典例1

（2019春•常州期末）如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E,使型我，则NBCE的度数是.

【解答】解：四边形是正方形,

:.ZBAC=ZACB=45°,

AE=AC,

1800-45°

ZACE=NE=-------------=67.5°,

2

/.NBCE=ZACE—ZACB=67.5°-45°=22.5°.

故答案为：22.5°.

典例2

（2019•秦淮区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、。、尸在坐标轴上，石是。4的中点，四边

形AOC8是矩形，四边形8DEF是正方形，若点。的坐标为（3,0）,则点。的坐标为（）

A.(1,2.5)B.(1,1+V3)C.(1,3)D.(6-1,1+6)

【解答】解：过。作OHLy轴于〃，

四边形AOCB是矩形，四边形所是正方形,

AO=BC,DE=EF=BF,

ZAOC=ZDEF=ZBFE=ZBCF=90°,

.•.Z.OEF+ZEFO=ZBFC+ZEFO=90°，

:./OEF=ZBFO,

:.AEOF三"CB(ASA),

:.BC=OF,OE=CF,

/.AO=OF,

E是。4的中点，

:.OE=-OA=-OF=CF,

22

点。的坐标为(3,0),

/.OC=3，

:.OF=OA=2,AE=OE=CF=1,

同理NDHE=AEOF(ASA),

;.DH=OE=1,HE=OF=2,

:.OH=2,

.•.点。的坐标为（1,3）,

故选：C.

知识点二正方形的判定

正方形的判定

图示判定定理几何语言

有一组邻边相等的矩形是正方形四边形A88是矩形，AB=BC

...四边形A8CO是正方形

---------lB

有一个角是直角的菱形是正方形:四边形是菱形，ZABC=90°

二四边形438是正方形

补充：判定四边形是正方形

①对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形;

②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形:

③对角线相等的菱形是正方形；

④对角线互相垂直的矩形是正方形；

⑤既是菱形又是矩形的四边形是正方形.

典例1

（2019春•江都区期末）如图，小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件:①他=3C,

②NABC=90。，③AC=3E>,④AC_L8£）中任选两个作为补充条件，使舫8为正方形.现有下列四种

选法，你认为其中错误的是（）

C.①②D.③④

【解答】解：A、四边形43co是平行四边形,

当②NABC=90。时，平行四边形ABCZ）是矩形,

当AC=BO时，这是矩形的性质，无法得出四边形/WCD是正方形，故此选项错误，符合题意；

B、四边形ABCD是平行四边形，

当①A8=8。时，平行四边形A8CD是菱形，

当③AC=BQ时，菱形43c£＞是正方形，故此选项正确，不合题意；

C、四边形ABCD是平行四边形，

当①A8=8C时，平行四边形A8CD是菱形，

当②NABC=90。时，菱形是正方形，故此选项正确，不合题意；

D、四边形MCD是平行四边形，

当③AC=8£＞时，平行四边形A8a＞是矩形，

当④AC_LBD时，矩形是正方形，故此选项正确，不合题意.

故选：A.

典例2

（2019春•南京期末）如图，在中，对角线AC、BD交于点、O,E是比）延长线上的点，且AACE

是等边三角形.

（1）求证：四边形ABCD是菱形.

（2）若ZAED=2ZEAD,求证：四边形A8a＞是正方形.

RC

【解答】证明：（1）ABCD,

AO—OC,

AACE是等边三角形，

.-.EOA.AC（三线合一）

即8DJ_AC，

ABCD是菱形；

（2）AACE是等边三角形，/E4c=60。

由（1）知，EO1.AC,AO=OC

:.ZAEO=ZOEO=30°,AAOE是直角三角形

ZE4O=60°，

ZAED^IAEAD,

ZEAD=\5°,

ZDAO=Z.EAO-ZEAD=45°,

/WC£)是菱形，

N«4O=2N£MO=90°,

菱形AfiCD是正方形.

知识点三四边形综合

典例1

（2019春•江都区期末）某数学兴趣小组课外活动时，发现特殊四边形的边长与对角线存在一定的关系.

如图①，在正方形他。£）中，对角线AC,BD交于点、O,则48?+8C?=AC?.

如图②，在矩形ABC。中，对角线AC,交于点O,贝ijAB。+"2=AC?.

（1）如图③，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点、O,则ABa+BC、AC2+___BD2.

（2）小华通过几何画板度量计算，发现平行四边形/WCD中，如图④，对角线AC,BD交于点O,则得

到的结论和（1）的结论一样，小伟和小红通过添加如图④的辅助线证明了这个结论的正确性，请利用图形

完成证明.

D

图①图②图③图④

【解答】(1)解：在菱形/1BCD中，对角线AC,BD交于点O,

AO=CO=-BD.ACYBD,

2

AB2+BC2=OA1+OB2+OB2+OC2=(-AC)2+(-BD)2+(-BD)2+(-AC)2=-AC2+-BD2；

222222

故答案为：--

22

(2)解：过3作BE_LACTE,

EC-+BE2,

AB2+BC'=AE2+EC2+2BE2,

BE2=B(f-OE?,

AB2+BC2=AE2+EC2+2(BO2-OE2)

=AE2-OE2+CE2-OE2+2B0r

=(AE+OE)(AE-0E)+(CE+OE)(CE-0E)+2OB2

=AO(AE+OE+CE-OE)+2OB2

=AOAC+2BO2

=-AC-+-BD2.

22

巩固训练

一、单选题（共6小题）

1.（2019春•南京月考）如图，在AA8C中，ZACB=90°,的垂直平分线EF交于点。，交AB于

点£,且BE=BF,添加一个条件，仍不能证明四边形为正方形的是（）

BD=DFC.CF1.BFD.AC=BF

【解答】解：所垂直平分BC,

;.BE=EC,BF=CF,

BF=BE,

:.BE=EC=CF=BF,

四边形BECF是菱形;

当5C=AC时,

ZACB=90°.

则ZA=45°时，菱形5ECF是正方形.

ZA=45°,ZACB=90°.

:.ZEBC=45°

NEBF=2ZEBC=2x45°=90°

.•.菱形BECF是正方形.

故选项A正确,但不符合题意;

当CF_LBF时,利用正方形的判定得出，菱形8ECF是正方形，故选项C正确，但不符合题意;

当比）=0/时,利用正方形的判定得出，菱形8ECF是正方形，故选项8正确，但不符合题意;

当AC=3尸时,无法得出菱形5反下是正方形，故选项。错误，符合题意.

故选：D.

2.（2019春•锡山区校级期末）已知：PA=0,PB=4,以A3为一边作正方形A8a）,使P、。两点落

在直线4?的两侧.如图，当NAPB=45。时,尸。的长是（)

A.2#)B.2显C.3夜D.5

【解答】解：AD=AB^NZMB=90。，

.•.把A4PQ绕点A顺时针旋转90。得到AA/B,4）与他重合，旋转到AF的位置，如图,

B

.-.AP^AF,ZE4F=90°-PD=FB，

为等腰直角：角形，

Z4PF=45°,PF=y/2AP=2,

ABPF=ZAPB+ZAPF=450+45°=90°,

在RtAFBP中，PB=4,PF=2,

：.由勾股定理得FB=2百，

:.PD=2后,

故选：A.

3.（2019春•苏州期末）如图，有一个平行四边形和一个正方形CEFG,其中点E在边初上.若

48=40。，ZAEF=25°,则NB的度数为（）

A.55°B.60°C.65°D.75°

【解答】解：四边形CEFG是正方形，

•.ZC£F=90°,

NCED=180°-ZAEF-ZCEF=180°-25°-90°=65°,

•.ZD=180°-NCED-Z£CD=180°-65°-40°=75°,

四边形ABCD为平行四边形,

.-.ZB=ZZ）=75O（平行四边形对角相等）.

故选：D.

4.（2020•张家港市模拟）如图，在边长为4的正方形A88中，点M为对角线皮）上一动点，MEA.BC于

E,叱_18于厂，则EF的最小值为（）

A.4x/2B.2及C.2D.1

【解答】解：连接MC,如图所示:

四边形ABCD是正方形,

.-.ZC=90°.NDBC=45。,

MEJL3C于E,MFA.CDTF

四边形MECF为矩形，

：.EF=MC,

当MC_L5D时，MC取得最小值,

此时2cM是等腰直角三角形，

:.MC=^BC=2y[2,

2

所的最小值为2&；

故选：B.

5.（2019春•梁溪区期末）如图，正方形A8CD的边长为3,E、尸是对角线3£）上的两个动点，且EF=夜，

连接AE、AF,则AE+防的最小值为（）

C9

22一

2-D.5

【解答】解：如图作A////8O,使得A/7=Er=&，连接C”交3。于F，则AE+AF的值最小.

••・四边形EW4是平行四边形,

:.EA=FH,

FA=FC,

:・AE+AF=FH+CF=CH，

四边形ABCD是正方形，

/.AC±BD,AHI/DB、

ACA.AH,

NC4”=90。，

在RtACAH中，CH7AC?+AH?=26,

.•.AE+AF的最小值26，

故选：A.

6.（2019春•高淳区期末）如图，在正方形A88中，点E、F、4分别是AB、BC、CD的中点，CE、

DF交于点、G,连接AG、HG.下列结论：©C£±DF；®AG=DG；③NCHG=NDAG.其中正确的

结论有（）

D

BFC

A・0个B・1个C.2个D.3个

【解答】解：四边形ABCD是正方形，

：.AB=BC=CD=AD,ZB=ZBCD=90°,

点石、尸分别是AB、8。的中点，

1.BE=CF,

在MCE与ACDF中,

BE=CF

,ZB=NDCF,

BC=CD

:.耶CE三K：DF,(SAS),

.\ZECB=ZCDF,

ZBCE+ZECD=90°,

..ZECD+NCDF=90。,

/CGD=90。,

:.CE±DF；故①正确；

同理可得：AHIDF,

:.CEHAH

在RtACGD中，”是CD边的中点，

:.DK=GK,

垂直平分OG,

AG=AD；

若AG=DG,则AM)G是等边三角形，

则ZADG=60°,ZCDF=30°,

-1

而CF=-CDxDF,

2

ZCDF^30°,

.•.ZAPGw60。，

/.AG^DG,故②错误;

:.ZDAG=2ZDAH，

同理：MDHMKXJF,

:.4DAH=/CDF,

GH=DH，

；.ZHDG=ZHGD,

NGHC=ZHDG+NHGD=2ZCDF,

ZCHG=ZDAG；故③正确；

正确的结论有2个，

故选：C.

二、填空题（共5小题）

7.（2019春•太仓市期末）已知正方形的面积为4,则它的对角线长为—.

【解答】解：设正方形的边长为x,则对角线长为7717=缶；

由正方形的面积为4,即f=4：

解可得x=2,

故对角线长为2百；

答：正方形的边长为2,对角线长为2夜.

故答案为：2点.

8.（2019春•南京月考）如图，延长正方形ABCD的边3c至£,使CE=AC,则NE=

D

Bc.E

【解答】解：四边形ABCD是正方形，

:.ZACB=45°,

AC=CE,

:.ZE=ZCAF,

Z4C8是AACE■的外角，

.-.Z£=-ZACB=22.5°,

2

故答案为：22.5°.

9.（2019春•苏州期末）如图，正方形ASCD的边长为5cm,E是49边上一点，AE=3cm.动点P由点O

向点C运动，速度为2cm/s,EP的垂直平分线交回于交.CD于N.设运动时间为f秒，当PMUBC

时，/的值为.

【解答】解：如图，连接

垂直平分尸E,

:.MP=ME,

当皿P〃3C时，四边形3cpM是矩形,

:.BC=MP=5,

:.ME=5,

又AE=3,

.♦.AA/=4=£）P，

.”=4+2=2（S）,

故答案为：2.

10.（2018春•宿豫区期末）在平行四边形ABC。中，对角线AC与比＞相交于点O.要使四边形ABC。是

正方形，还需添加一组条件.下面给出了五组条件:①钻=4）,且47&且&&；

@AB1AD,S.AB=AD；®AB=BD,且45_L3£＞；®OB=OC,且OBLOC.其中正确的是

（填写序号）.

【解答】解：四边形A8CD是平行四边形，A9=4）,

二.四边形ABCD是菱形，

又AC=BD,

四边形ABC。是正方形，①正确：

四边形AfiCD是平行四边形，AB1.AD,

四边形ABCD是矩形，

又AC±BD，

二.四边形ABC£）是正方形，②正确；

四边形A38是平行四边形，ABYAD,

二.四边形/W8是矩形，

又43=4），

,四边形A8C。是正方形，③正确；

®AB=BD,且回，如，无法得出四边形AfiCD是正方形，故④错误；

四边形AfiC£）是平行四边形，OB=OC,

四边形ABC£＞是矩形，

乂OBA.OC.

二.四边形ABCD是正方形，⑤正确；

故答案为：①②③⑤.

11.（2019春•宝应县期末）如图，正方形A88中，对角线AC、相交于点O,DE平分NA"）交AC

于点E,把AAOE沿AD翻折，得到A4£>£，点F是DE的中点，连接AF、BF、EF.若AE=2Vi.则

四边形ABFE的面积是.

【解答】解：连接£B、EEL作4W_LA3于M,EB交AD于N,如图所示:

四边形AfiCD是正方形，

/.AB=BC=CD=DA,AC_L8£＞，AO=OB=OD=OC,

ZDAC=ZCAB=ZDAE=45°,

AD=AB

在AADE和AA3E中，IZDAE=ZBAE=45°,

AE=AE

:.i\ADE^^ABE(SAS),

把AADE沿45翻折，得到AADE，

.-.MDE^MDE1SMBE,

:.DE=DE,AE=AE,

.•.AD垂直平分EE,

:.EN=NE,

ZNAE=ZNEA=ZMAE=NMEA=45°,AE=2应,

.-.AM=EM=EN=AN=2,

ED平分ZADO,ENLDA,EOVDB,

:.EN=EO=2,AO=2+2代,

AB=y/2AO=4+2-/2,

^&AEB==^MDE,=耳X2x(4+20)=4+2v5

SASDE=_2SM£B=；X(4+2夜)2—2XgX2X(4+2&)=4+4夜，

DF=EF,

..SgFB=2%咖=万米(4+4&)=2+2>/2,

=x

•，-SSEE=25凶££)—5小££，=2x(4+2^2)——x(20)~=4+40»S^FE,=—Sg.~(4+4收)=2+2A/2»

-SADf&=2x(4+2^^)-(2+2^5)=6+2*y5'

■,*S四边形A砂g=2sMED

=

S四边形ABFE=S四边形AEF£+S^EB+^A/rFfl6+2y/2+4+2-^2+2+2^2=12+6^2；

故答案为：12+60.

三、解答题(共2小题)

12.(2019春•赣榆区期末)已知矩形ABCO中，石是AD边上的一个动点，点尸，G,H分别是5C,BE,

CE的中点.

(1)求证：^BGF^\FHC\

(2)设4)=々，当四边形£G户H是正方形时，求矩形458的面积.

【解答】解：连接所，(1)点尸，G,〃分别是8C,BE,CE的中点,

:.FH!/BE.FH=-BE,FH=BG,

2

:"CFH=/CBG,

BF=CF,

:.\BGF=\FHC,

(2)当四边形EGFH是正方形时，连接G”，可得：EFLGH且EF=GH，

在ABEC中，点，H分别是BE，CE的中点，

:.GH=-BC=-AD^-a,且GH//BC,

222

:.EFVBC,

AD//BC,AB±BC,

AB=EF=GH=-a,

2

矩形ABCD的面积=AB