2024八年级数学上册提练第8招三角形内角与外角及它们的关系的常见题型习题课件新版沪科版

沪科版八年级上第8招三角形内角与外角及它们的关系的常见题型01教你一招02典例剖析03分类训练目

录CONTENTS三角形的内角与外角有着广泛的应用，利用它们可以解

决有关角的很多问题，一般可用于直接计算角度、三角尺或

直尺中求角度、与平行线的性质综合求角度、截角或折叠问

题中求角度等.

如图，将△

ABC

沿着

DE

翻折，使

B

点与B'点重合，若

∠1＋∠2＝78°，求∠

B

的度数.解：由折叠知∠

BED

＝∠B'ED，∠

BDE

＝∠B'DE，∴∠1＋∠2＋2(∠

BED

＋∠

BDE

)＝360°，即78°＋2(∠

BED

＋∠

BDE

)＝360°.∴∠

BED

＋∠

BDE

＝141°.∴∠

B

＝180°－(∠

BED

＋∠

BDE

)＝180°－141°＝39°.

根据折叠的对称性，即可求得答案.

三角形内角和定理在求角度中的应用1.

如图，在△

ABC

中，

D

是

BC

上一点，

F

是

BA

延长线上

一点，

DF

交

AC

于点

E

，∠

B

＝42°，∠

C

＝59°，∠

DEC

＝47°，求∠

F

的度数.123456【解】∵∠

B

＝42°，∠

C

＝59°，∴∠

BAC

＝180°－∠

B

－∠

C

＝79°.∵∠

DEC

＝47°，∠

DEC

＝∠

AEF

，∴∠

AEF

＝47°，∴∠

F

＝∠

BAC

－∠

AEF

＝32°.123456

三角形内角和定理在拼图中的应用2.

一副三角板按如图所示摆放，以

AC

为一边，在△

ABC

外

作∠

CAF

＝∠

DCE

，

AF

交

DC

的延长线于点

F

，求∠

F

的度数.123456【解】∵∠

BCA

＝90°，∠

DCE

＝30°，∴∠

ACF

＝180°－∠

BCA

－∠

DCE

＝180°－90°－

30°＝60°.∵∠

CAF

＝∠

DCE

＝30°，∴∠

F

＝180°－∠

CAF

－∠

ACF

＝180°－30°－60°

＝90°.123456

三角形内角和定理在探究与折叠问题有关的角的关系

中的应用3.

[2024·合肥蜀山区期中]现有一张△

ABC

纸片，点

D

，

E

分别是△

ABC

边上两点，沿直线

DE

折叠，折

成如图的形状.(1)若∠1＝25°，∠2＝100°，求∠

A

的度数；123456【解】易知∠

A

＝∠A'.∵∠2＝100°，∴∠AEA'＝180°－∠2＝80°.∵∠

BDE

＝∠

A

＋∠

AED

，∠A'＋∠1＋∠

BDE

＋∠A'ED＝180°，∴∠A'＋∠1＋∠

A

＋∠

AED

＋∠A'ED＝180°.∴∠1＋2∠

A

＋∠AEA'＝180°.∴25°＋2∠

A

＋80°＝180°.∴∠

A

＝37.5°.123456(2)猜想∠1，∠2和∠

A

的数量关系，并说明理由.【解】∠2＝2∠

A

＋∠1，理由如下：由(1)得∠1＋2∠

A

＋∠AEA'＝180°.∴∠1＋2∠

A

＝180°－∠AEA'＝∠2.123456

三角形外角的性质在比较角的大小中的应用4.

如图，在△

ABC

中，

BD

⊥

AC

于点

D

.

若∠

A

∶∠

ABC

∶

∠

ACB

＝3∶4∶5，

E

为线段

BD

上任意一点(不与点

B

，

D

重合).(1)求∠

ABD

的度数；123456【解】∵∠

A

∶∠

ABC

∶∠

ACB

＝3∶4∶5，且∠

A

＋∠

ABC

＋∠

ACB

＝180°，∴∠

A

＝45°，∠

ABC

＝60°，∠

ACB

＝75°.∵

BD

⊥

AC

，∴∠

BDA

＝90°.∴∠

ABD

＝180°－90°－45°＝45°.123456(2)求证：∠

BEC

＞∠

ABD

.

【证明】∵∠

BDC

是△

ABD

的一个外角，∴∠

BDC

＞∠

ABD

.

∵∠

BEC

是△

DEC

的一个外角，∴∠

BEC

＞∠

BDC

.

∴∠

BEC

＞∠

ABD

.

123456

三角形外角的性质在探究动点问题中有关角度之间的

关系的应用5.

[2024·淮南二中期末]如图，在△

ABC

中，∠

B

＝∠

C

＝

45°，点

D

在

BC

边上，点

E

在

AC

边上，连接

DE

，

AD

，且∠

ADE

＝∠

AED

.

(1)当∠

BAD

＝60°时，求∠

CDE

的度数；123456【解】∵∠

ADC

是△

ABD

的外角，

∴∠

ADC

＝∠

B

＋∠

BAD

＝105°.∵∠

AED

是△

CDE

的外角，∴∠

AED

＝∠

C

＋∠

CDE

＝45°＋∠

CDE

.

∵∠

ADE

＝∠

AED

，∴∠

ADC

－∠

CDE

＝∠

AED

，即105°－∠

CDE

＝

45°＋∠

CDE

，解得∠

CDE

＝30°.123456(2)当点

D

在

BC

(点

B

，

C

除外)边上运动时，试写出∠

BAD

与∠

CDE

的数量关系，并说明理由.【解】∠

BAD

＝2∠

CDE

.

理由如下：∵∠

ADC

是△

ABD

的外角，∴∠

ADC

＝∠

B

＋∠

BAD

＝45°＋∠

BAD

.

∵∠

AED

是△

CDE

的外角，123456∴∠

AED

＝∠

C

＋∠

CDE

＝45°＋∠

CDE

.

∵∠

ADE

＝∠

AED

，∴∠

ADC

－∠

CDE

＝∠

AED

，即45°＋∠

BAD

－∠

CDE

＝45°＋∠

CDE

，∴∠

BAD

＝2∠

CDE

.

123456

利用三角形内角、外角关系探究角平分线夹角的规律6.

[2024·合肥蜀山区期中](1)如图①的图形我们把它称为“8

字形”，求证：∠

A

＋∠

B

＝∠

C

＋∠

D

.

【证明】∵∠

A

＋∠

B

＋∠

AOB

＝180°，∠

C

＋∠

D

＋∠

COD

＝180°，∴∠

A

＋∠

B

＋∠

AOB

＝∠

C

＋∠

D

＋∠

COD

.

∵∠

AOB

＝∠

COD

，∴∠

A

＋∠

B

＝∠

C

＋∠

D

.

123456(2)如图②，

AP

，

CP

分别平分∠

BAD

，∠

BCD

，若∠

ABC