《一定是直角三角形吗》案例设计

《一定是直角三角形吗》案例设计【教材分析】本节课是北师大版数学八年级(上)第一章《勾股定理》第二节。其主要任务是让学生经历勾股定理的逆定理的探索过程，进一步发展推理能力；掌握勾股定理的逆定理，并能进行简单应用；通过具体的数，增加对勾股数的直观体验。勾股定理的逆定理既是对直角三角形的再认识，也是判断一个三角形是不是直角三角形（确定直角）的一种重要方法，除此以外，它还是向学生渗透“数形结合”这一数学思想方法的很好素材．考虑到勾股定理逆定理与勾股定理的互逆关系，教材先从勾股定理的反面出发，给出四组数据，让学生通过摆、画三角形的实践，并结合观察、归纳、猜想等一系列探究性活动，得出勾股定理的逆命题。对于勾股定理的逆定理应用的教学，教材提供了一道例题，着眼于“双基”和“应用”这两个层面，来突出本节的教学重点。【教学目标】1.知识技能：掌握勾股定理的逆定理，并能进行简单应用。2.数学思考：通过“创设情景—建立模型—实验探究—理论释意—拓展应用”的勾股定理的逆定理的探索过程，发展合情和演绎推理的能力。3.问题解决：通过对勾股定理的逆定理的探索过程，引导学生获得分析问题和解决问题的方法，在运用勾股定理的逆定理解决相关问题的过程中，体会数形结合法在问题解决中的作用。4.情感态度：在探究勾股定理的逆定理的证明及应用的活动中，通过一系列富有探究性的问题，让学生敢于发表自己的想法、感受成功的快乐，体会数学的价值、养成独立思考、合作交流的学习习惯。【教学重难点】重点：勾股定理的逆定理及其应用。难点：勾股定理的逆定理的证明。【教学准备】学具：量角器。【我的思考】本节课的教学设计着重体现“探究”这一主题，从“古埃及人得到直角的方法”，到学生用棉线模仿操作，再到计算画图等一系列的活动，旨在让学生能够在自己充实操作、认知的情况下进行猜想与归纳，让学生归纳的基础打得更加扎实一些，也让学生的“探究”活动更具有可操作性。本节课的教学设计中，还力争培养学生的“数学思考”能力，让学生从数学的角度思考问题，从“求异”的方向去思考问题。如：在引入环节，展示古埃及人得到直角的方法的为题设计中，就体现了这一点。教学设计【教学过程】一、创设情境，引入新课问题1：直角三角形中，三边长度之间满足什么样的关系？问题2：一个三角形，满足什么条件是一个直角三角形呢？师生活动：学生一般能反映出“如果一个三角形有一个内角是直角，那这个三角形是直角三角形”或者“如果一个三角形中有两个角的和是90°，那么这个三角形也是直角三角形”。教师可以注意到这些同学都是通过角的关系判定一个三角形是否是直角三角形的，教师进一步提出问题3.题3：据说古埃及人曾用下面的方法得到直角：他们用13个等距的结把一个绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第４个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处，你能说说其中的道理吗？（出示幻灯片）设计意图：本环节设计了三个小问题，前两个是对直角三角形的复习，最后一个问题，教师通过设置问题情境，激发学生的好奇心和求知欲。】二、合作交流、探究新知探究1：下面有四组数，分别是一个三角形的三边长（单位：cm）：3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25。提问：（1）画一画．画出边长分别是上述各组数的三角形；（2）量一量.用你的量角器分别测量一下小组内同学画出的三个三角形的最大角的度数，并判断上述你们所画的三角形的形状（按角分类）；（3）算一算．请比较上述每个三角形的两条较短边的平方和与最长边的平方之间的大小关系。你能发现什么规律？学生活动：学生画图、度量、计算，独立思考后小组内讨论，然后在班内展示交流结果.【设计意图：通过学生的画图、度量、计算等合作探究活动，得出“若一个三角形的三边长满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形”这一结论进一步增强学生归纳的能力。】归纳验证：教师用“几何画板”演示一般的三角形当满足a2+b2=c2时，这个三角形是直角三角形。强调结论：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。探究2：有同学认为测量结果可能有误差，不同意这个发现。你认为这个发现正确吗？你能给出一个更有说服力的理由吗？教师活动：教师引导学生回顾上一课时“议一议”活动的结论：锐角三角形和钝角三角形中，任意两边的平方和都不等于第三边平方，因此，以3、4、5为边的三角形不是锐角三角形和钝角三角形，一定是直角三角形。【设计意图：让学生体验出数学结论的发现是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，体验解决问题方法的多样性，进一步发展推理能力。】三、应用新知、体验成功教师活动：（出示幻灯片）1．古埃及人把一根长绳打上等距离的13个结，然后把第1个结和第13个结用木桩钉在一起，再分别用木桩把第4个结和第8个结钉牢（拉直绳子）。（出示幻灯片）解：这样得到一个三边依次为3,4,5的三角形，因为32+42=52，所以这是一个直角三角形。2.下列哪几组数据能否作为直角三角形的三边长？请说明理由。（1）9，12，15；（2）12，18，22；（3）12，35，36；（4）15，36，39。解：（1）(4)可以作为直角三角形的边长。3.如图，哪些三角形是直角三角形，哪些不是？说说你的理由.解：（4）(5)可以作为直角三角形的边长。【设计意图：通过形式不同的训练，从不同角度帮助学生进一步加深对勾股定理的逆定理的理解，培养解决问题的能力。】四、迁移应用、巩固提高1.（1）下表中第一列每组数都是勾股数，补全下表，这些勾股数的2倍、3倍、4倍、10倍还是勾股数吗？任意正整数倍呢？说说你的理由。（2）如图将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，那么得到的三角形还是直角三角形吗？与同伴进行交流。解：（1）（2）还是直角三角形。学生活动：学生在教师的引导下独立思考后，小组交流、讨论、汇报展示，其他学生进行补充说明。例：一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A，∠DBC都应是直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？解：在△ABC中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角。在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角。因此，这个零件符合要求。师生活动：学生独立思考、叙述解题过程。【设计意图：通过具体的例题让学生进一步掌握、运用勾股定理的逆定理，培养学生解决问题的能力】五、反思升华教师活动：教师提出以下几个问题，请学生回答：我学会了……，我领悟到的解决问题的方法……，使我感触最深的是……，我发现生活中……，我还感到的困惑是……。学生活动：学生们畅所欲言，说出自己这节课学习的感受和收获。【设计意图：师生合作小结，培养学生归纳、概括的能力，有助于学生理清知识脉络，将新旧知识形成体系。引导学生反思学习过程，帮助学生认识自我，增强信心，巩固兴趣。】六、布置作业必做题：1.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流。图片2.已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9.(1)求DC的长.(2)求AB的长.(3)求证:△ABC是直角三角形.选做题：1.如图，在四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，∠CBA＝90°，DC＝12cm，AD＝13cm.求四边形ABCD的面积。2.如图中分别以△ABC三边为边向外作正方形，正三角形，为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则△ABC是直角三角形吗？【设计意图：通过作业的布置对本节的知识和技能进行检测和反馈。结合学生实际情况，贯彻面向全体学生，因材施教的原则。必做题要求全体学生都能完成，选做题部分学有余力的学生可选做。在减轻