微专题讲义：零点差问题-原卷版

零点差问题有关两个零点之和的取值问题一般为极值点偏移问题或拐点偏移问题，而有关两个零点差的问题则主要考查两个零点之间的位置关系，即零点之间的距离.零点差问题，基本思路有：(1)切线夹放缩；(2)割线夹放缩；(3)函数拟合放缩；(4)找点放缩.其中找点放缩的难度最大．如在天津卷就出现过切线放缩，一般这种提示比较明显，往往是第一问切割线.【例1】已知fx=3x−x3，若关于x的方程fx=a有两个正实数根x1，x2，且x1<x2.(1)求实数a的取值范围；求证：x2−x1<2−【例2】已知函数fx=(x2−x)ex.(1)求y=fx在(1，f1)处的切线方程y=gx，并证明fx⩾gx；(2)若方程fx=m(m∈R)有两个正实数根x1，x2，求证：|x1−x2|<+m+1.【例3】已知函数fx=xlnx.(1)求函数fx的单调区间；(2)若a⩽−2，证明：fx⩾ax−e−3在(0，+∞)上恒成立；(3)若方程fx)=b有两个实数根x1，x2，且x1<x2，求证：be+1<x2−x1<.【例4】已知函数的两个零点记x1，x2.(1)求a的取值范围；(2)证明：x1−x2>21−a.已知m∈R，函数f有两个不同的零点x1，x2．证明：x2−x1.【例6】已知函数lnx+x−(1)当m=0时,求f(x)的最值;(2)当m>0时,若f(x)的两个零点分别为x1,x2(x1<x2),证明:x2−x1<e−.【例7】已知函数+alnx(1)讨论函数y=a的单调性;ea(2)若A,B是x1,x2(x1<x2)的两个零点,证明:2aln(x2−x1+ea【例8】已知函数−lnx+x−2a,a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)有两个不同的零点x1,x2.(i)求实数a的取值范围;证明:x2−x11.已知函数=xlnx−(1)讨论函数f(x)的极值点个数;(2)已知函数有两个不同的零点x1,x2,且x1<x2.证明:x2−x1<2.已知函数f(x)=(x+1)(ex−1).(1)求f(x)在点(−1,f(−1))处的切线方程;(2)若a⩽e−1,证明:f(x)⩾alnx+2ex−2在x∈[1,+∞)上恒成立;(3)若方程f(x)=b有两个实数根x1,x2,且x1<x2,证明:x2−x1⩽1++.3.已知函数(1)求函数的零点x0,以及曲线y=f(x)在x=x0处的切线方程;(2)设f(x)=m(m>0)有两个实数根x1,x2,求证:x1−x2<2−m4.已知函数f(x)=(x−e)lnx,令方程f(x)=t有两个不同的根x1,x2,且满足x2<x1,求5.已知函数f(x)=3x−ex+1.(1)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为p,曲线在点p处的切线方程为直线l.求证:曲线y=f(x)上的点都不在直线l的上方;(2)若关于x的方程f(x)=m(m>0)有两个不等实根x1,x2(x1<x2),求证:x2−x1<2−6.已知函数f(x)=ax2+bx−clnx,其中a,b,c∈R.(1)当a⩾0,c=1时,讨论f(x)的单调性;(2)已知a>0,b=−2,c=2,且函数f(x)有零点x1,x2(x1<x2),求证:对任意的正实数M,都存在满足条件的实数a,使得x2−x1>M成立.7.已知函数+lnx−x,其中e=2.71828⋯是自然对数的底数.(1)若曲线y=f(x)与直线y=a有交点,求a的最小值;是否存在最大整数k,使得对任意正数x都有f⩾φ(1)]成立?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.(ii)若曲线y=f(x)与直线y=a有两个不同的交点A,B,求证:|AB|<28.已知函数f(x)=