初中数学.全等与几何变换.第09讲教师版

全等与几何变换全等与几何变换内容基本要求略高要求较高要求轴对称了解图形的轴对称，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分性质；了解物体的镜面对称能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；掌握简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴；掌握基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及相关性质。能运用轴对称进行图案设计旋转了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前、后的图形，指出旋转中心和旋转角能运用旋转的知识解决简单问题；平移了解图形平移，理解平移中对应点连线平行（或在同一条直线上）且相等的性质能按要求作出简单平面图形平移后的图形；能依据平移前后的图形，指出平移的方向和距离能运用平移的知识解决简单的计算问题；模块一全等三角形与轴对称☞角平分线类“角”是轴对称图形，对称轴为角平分线所在的直线。因此在遇见与角平分线有关问题的时候，可以有下面几个基本解题思路：①平分角；②角平分线上点到角两边的距离相等；③沿角平分线进行翻折。如图，在中，，为的平分线．求证：．【难度】3星【解析】辅助线：有两个基本思路，一是将沿进行翻折，点落在点，主要目的：构造,因此可将问题顺利转化为证明：“”二是将沿进行翻折，基本思路同“思路一”【答案】思路一、如图，在上截取，连接，可证，因此可得，，，∵∴∴∴∴∴思路二、略【巩固】如图，中，平分，，则．【难度】2星【解析】根据角平分线的对称性，将翻折，如图，则，,结合已知条件“”，可得，∴为等腰三角形思路二，可将进行翻折，分析略【答案】在中，，是的平分线．是上任意一点．求证：．【难度】星【解析】为角平分线，将沿翻折，点落在点，连接，则，，∴可以将问题“”转化为“”，则用三边关系很容易能够解决【答案】略【巩固】如图，是的外角的平分线上的点（不与重合）求证：【难度】星【解析】为角平分线，将沿翻折，点落在点，连接，则，，∴可以将问题“”转化为“”，则用三边关系很容易能够解决【答案】在上截取一点使得，其他略如图，在中，，，是上一点，交的延长线于，且．求证：是的角平分线．【难度】3星【解析】结论要证明：“是的角平分线”，而且已知条件中有“”，即“”因此可以通过沿翻折“”构造“”，但是，问题在于“是的角平分线”是我们所需要证明的结论，而并非已知条件，所以辅助线的描述方式为：“延长、交于点”【答案】延长、交于点，先证明，得，则，再证．☞垂直平分线类垂直平分线：“垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等”，主要是转化线段之间的关系，尤其是在轴对称有关作图中，应用更为广泛如图，的两边、的垂直平分线分别交于、，若,则的度数是【难度】星【解析】由垂直平分线的性质可得，、均为等腰三角形，设，，则，，因此解得，∴【答案】【巩固】如图中，平分，且平分，于，于.⑴说明的理由；⑵如果，，求，的长.【难度】星【解析】⑴要证明，根据垂直平分线的性质，可连接、证明即可⑵求、的长，可设，，根据题意得，解得【答案】略☞构造等腰三角形类构造等腰三角形类的主要方法有两种：①是将直角三角形沿着某一直角边翻折；②是截取等长线段如图，在中，，于，且，那么的度数是_______【难度】星【解析】已知条件“”，为了构造与之相关的条件，将沿翻折，点落在点，因此在上截取一点，使得，连接，易证，因此设，则，∵，∴，∴【答案】【巩固】如图，在中，于，．求证：．【难度】3星【解析】根据已知条件，可考虑将沿折叠，点落在的延长线上的点，因此将求证的结论转化为，因此只需证明即可，辅助线描述如下：延长到点使得，连接，易证为线段的垂直平分线，∴，∴，∵∴∴∴也可以，延长至，使，连接．易证，所以，进而是等腰三角形，根据等腰三角形的三线合一性质可知【答案】略☞构造等边三角形类构造等边三角形类的方式主要有两种：①直接以某一线段长为边，直接构造等边三角形；②作等腰三角形，然后利用题目给出的特殊角，如，证明此等腰三角形为等边三角形如图，在中，，是外的一点，且，．求证：．【难度】4星【解析】本题辅助线的思路隐含在结论“”以及中，很容易让人联想到等边三角形，因此也只需将这个等边三角形补全即可【答案】延长至，使，连接．∵，∴为等边三角形．∴．∴，∴，∴，∴，故原题得证．【巩固】如图，已知，且．求证：是等腰三角形．【难度】3星【解析】本题的结论：“是等腰三角形．”那么我们知道应该有两种方法：①通过三角形全等证明，②证明，但是通过对已知条件的分析发现，此两种方法都没有办法解决，因此必须通过辅助线对结论进行转化，利用“”，构造出等边，因此只需要证明，即证明,这里有一个难点就是“”的应用。【答案】延长到，使得，连结．∵，∴是等边三角形，∴∵，∴则，即∵，∴，∴∴，∴∴是等腰三角形．模块二全等三角形与旋转☞全等三角形与旋转的性质一般涉及到旋转有关问题时，都会用到:旋转前后，图形对应全等，由此转化线段与角的对应关系如图，将绕点按逆时针方向旋转至，使点恰好落在边上，已知，，则的长是________【难度】星【解析】旋转前后图形对应全等：对应边相等【答案】【巩固】如图，将绕着点按顺时针方向旋转，点落在点位置，点落在点位置，若，则【难度】星【解析】旋转前后图形对应全等：对应边相等，对应角相等【答案】如图，在上，在上，且，，则的长等于（）A.B.C.D.【难度】星【解析】旋转前后图形对应全等：对应边相等【答案】C（提示：可证明）☞倍长中线类倍长中线是我们耳熟能详的一种辅助线的作法，其实此作法最主要是通过旋转的方式，构造出一对“8”字型全等三角形，从而转化线段与角的数量关系如图，已知为边的中点，，则（）A．大于B．小于C．等于D．与的大小关系无法确定【难度】3星【解析】延长到，使得，连接易证，∴又∵，∴，即是等腰三角形在中，，∴，故选A．【答案】A【巩固】在后面的学习中，我们会学习到与直角三角形斜边上有关的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，用数学语言改编如下：已知：在中，，为斜边的中点，证明:【难度】星【解析】涉及到三角形中线的问题，一般可以考虑“倍长中线”，而从几何变换的角度来讲，“倍长中线”就是将某一个三角形旋转，然后进行边与角关系的转化【答案】延长到点，连接易证则，，则易证，所以，则，∴在《四边形》这一章中，我们会学习到中位线的概念以及性质中位线的概念：三角形两边中点的连线，我们称之为三角形的中位线中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半用数学语言改编如下：如图，在中，为的中点，为的中点证明：，【难度】星【解析】类似于倍长中线的作法，构造“”型全等，转化线段与角的关系【答案】延长到点，使得，连接，易证,则，，易证则,，所以，【巩固】两个全等的含、角的三角板和三角板，如图所示放置，、、三点在一条直线上，连结，取的中点，连结、，试判断的形状，并说明理由．【难度】3星【解析】类似于“倍长中线”的做法构造“”字型全等，同时还有“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”【答案】延长，交于点，易证，则，易证为等腰直角三角形，则，∴为等腰直角三角形☞一般等腰三角形旋转一般等腰三角形旋转的问题主要有：①通过对等腰三角形旋转，构造全等三角形；②通过对一般三角形旋转构造等腰三角形如图，中，，,将绕点逆时针旋转到如图所示位置求证：，【难度】星【解析】旋转等腰三角形构造全等三角形【答案】提示：【巩固】如图，是边长为1的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点分别在上，则的周长是．【难度】4星【解析】将绕点逆时针旋转,将绕点顺时针旋转【答案】如图，由已知可得分别是的平分线．又∵，∴≌．同理得≌，．又，∴≌，∴=1．☞等腰直角三角形旋转等腰直角三角形旋转有关问题要充分考虑到：“边相等”“角相等”，还有斜边上的中线，这条特殊的线段，尤其是涉及到斜边中点的时候，基本上都会连接这条中线已知：三角形中，，，为的中点．（1）如图，分别是上的点，且，求证：为等腰直角三角形．（2）若分别为延长线上的点，仍有，其他条件不变，那么，是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．【难度】3星【解析】要想证明“为等腰直角三角形”，首先得证明：“”，因此可以考虑构造全等三角形，而且四边形这类图形，在以后的学习过程还经常会遇见【答案】⑴连结，∵，，为的中点，∴，，．∵，∴≌．∴．∴，∴为等腰直角三角形．(2)若分别是延长线上的点，如图所示．连结．∵为的中点，∴．∴．∴．又∵，∴≌．∴．∴．∴仍为等腰直角三角形．【巩固】如图，在中，＝，＝，为上任意一点，且⊥于，⊥于，为的中点，试判断是什么形状的三角形，并证明你的结论．【难度】3星【解析】利用等腰直角三角形的性质：“斜边上的中线垂直平分斜边，且等于斜边的一半”构造全等三角形【答案】连接∵＝，＝，⊥，⊥，为的中点∴＝，＝，＝＝．又∵＝∴≌∴＝，＝又∵+＝∴＝∴是等腰直角三角形．☞等边三角形旋转复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知中，，是内任意一点，将绕点顺时针旋转至，使，连接、，则。”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了，从而得，之后，他将点移到等腰三角形之外，原题中其他条件不变，发现“”仍然成立，请你就图②给出证明。【难度】星【解析】典型的旋转全等题，两个图形的证明思路完全一样，只不过在证明时略有区别【答案】略【巩固】如图，已知四边形中，，，证明：．【难度】3星【解析】典型的等边三角形等点重合【答案】延长至，使．连接．∵，∴是等边三角形，∴．又∵，∴，∴为等边三角形．∴．∴，∴≌．∴．☞三垂直全等及三垂直的变形在中，，，直线经过点，且于，于．⑴当直线绕点旋转到图①的位置时，求证：；⑵当直线绕点旋转到图②的位置时，求证：；⑶当直线绕点旋转到图③的位置时，试问：、、有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【难度】级【解析】本题的关键是充分利用等腰直角三角形的性质，转化边与角的关系，证明【答案】（1）略；（2）略；（3）．【巩固】如图，在等腰中，，为上一点，，，那么等于（）A．B．C．D．【难度】星【解析】本题主要是证明，利用全等三角形的性质，转化【答案】A【巩固】如图，是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上两点，且．（1）若直线经过的内部，且、在直线上，请解决下面两个问题：①如图①，若，，则；（填“”、“”、“”）；②如图②，若，请添加一个关于与关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论．（2）如图③，若直线经过的外部，，请提出、、三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．【难度】3级【解析】三垂直的变形，“”是本题的关键。【答案】（1）①=；=；②；（2）．模块三全等三角形与平移平移的基本思路是通过平移，将有关系但又不在一起的量集中起来，且对应边平行且相等如图所示，两条长度为的线段和相交于点，且，求证：．【难度】3星【解析】考虑将、和集中到同一个三角形中，以便运用三角形的不等关系．【答案】作且，则四边形是平行四边形，从而．(教师可告诉学生：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)，在中可得，即．由于，，所以是等边三角形，故，所以．【巩固】如图所示，在的边上取两点、，且．求证：．【难度】3星【解析】本题所要证的四条线段分布于不同的三角形中，要比较它们的大小，就要将这四条线段相对集中．为此，可设想将平移到的位置，这样，相当于将平移到，将平移到．于是，要证，就相当于证明——这个关系是显然的．【答案】如图所示，过作，过作，交于点．由于，，．故≌，则，．设与的交点为．由于，，所以．故．课堂检测课堂检测点是四边形的边的中点，，证明：【难度】星【解析】本题是典型轴对称变换，条件非常少，不过结论“”非常有特点，即为什么会出现，同时还是证明不等关系，只有我们在接触最短路程，已经三角形三边关系的时候做过类似的问题【答案】作点关于的对称点，连接、，作点关于的对称点，连接、、∴，，，易证，∴,∴∴是等边三角形∴，∵∴如图，在中，，是外的一点，且，．求证：．【难度】4星【解析】本题辅助线的思路隐含在结论“”以及中，很容易让人联想到等边三角形，因此也只需将这个等边三角形补全即可【答案】延长至，使，连接．∵，∴为等边三角形．∴．∴，∴，∴，∴，故原题得证．总结复习总结复习1．通过本堂课你学会了．2．掌握的不太好的部分．3．老师点评：①