第十二章 全等三角形（5类压轴题专练）

第十二章全等三角形（压轴题专练）【题型一四边形中构造全等三角形】例题：如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，．(1)若，，求四边形AECF的面积；(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．【变式训练】1．在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．(1)试说明：DE=DF：(2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论．(3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？【题型二一线三等角模型】例题：【探究】如图①，点B、C在的边上，点E、F在内部的射线上，分别是、的外角．若，，求证：．【应用】如图②，在等腰三角形ABC中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为9，则与的面积之和为____．【变式训练】1．（1）问题发现：如图1，射线在的内部，点B、C分别在的边、上，且，若，求证：；（2）类比探究：如图2，，且．（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由；（3）拓展延伸：如图3，在中，，．点E在边上，，点D、F在线段上，．若的面积为，，求与的面积之比．

2．在直线上依次取互不重合的三个点，在直线上方有，且满足．(1)如图1，当时，猜想线段之间的数量关系是____________；(2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在中，是钝角，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，求与的面积之和．【题型三三垂直模型】例题：问题1：在数学课本中我们研究过这样一道题目：如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，AD⊥MN，垂足分别为E、D．图中哪条线段与AD相等？并说明理由．问题2：试问在这种情况下线段DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出来，不需要说明理由．问题3：当直线CE绕点C旋转到图2中直线MN的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由．【变式训练】1．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时，_______度；(2)求证：DE=CD+BE；(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【题型四倍长中线模型】例题：阅读理解在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线法．如图1，是的中线，，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是______；类比应用如图2，在四边形中，，点是的中点．若是的平分线，试判断，，之间的等量关系，并说明理由；拓展创新如图3，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的数量关系，请直接写出你的结论．【变式训练】1．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到M，使，连接．

【探究发现】（1）图1中与的数量关系是______，位置关系是______．【初步应用】（2）如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围．【探究提升】（3）如图3，是的中线，过点A分别向外作、，使得，延长交于点P，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由．【题型五旋转模型】例题：【尝试探究】如图1，已知在正方形中（四边相等，四个内角均为90°），点、分别在边、上运动，当时，探究、和的数量关系，并加以说明；【模型建立】如图2，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想（2）中的结论还成立吗？请加以说明；【拓展应用】如图3，已知是边长为8的等边三角形（三边相等，三个内角均为60°），，，，以为顶点作一个60°角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，直接写出的周长．

【变式训练】1．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点．（1）求证：AE＝CD；（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数．2．在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，在探究图1中线段，，之间的数量关系过程中．(1)你尝试添加了怎样的辅助线？成功了吗？（真实大胆作答即可得分）(2)小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系是_．(3)如图3，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？并证明；(4)如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以70海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．

第十二章全等三角形（压轴题专练）答案全解全析【题型一四边形中构造全等三角形】例题：如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，．(1)若，，求四边形AECF的面积；(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)48(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，证明见解析【解析】【分析】（1）连接AC，证明△ACE≌△ACF，则S△ACE＝S△ACF，根据三角形面积公式求得S△ACF与S△ACE，根据S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE求解即可；（2）由△ACE≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC(1)解：连接AC，如图，在△ACE和△ACF中∴△ACE≌△ACF（SSS）．∴S△ACE＝S△ACF，∠FAC＝∠EAC．∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴CD＝CB＝6．∴S△ACF＝S△ACE＝AE·CB＝×8×6＝24．∴S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝24＋24＝48．(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC证明：∵△ACE≌△ACF，∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．∵∠DFC与∠AFC互补，∠BEC与∠AEC互补，∴∠DFC＝∠BEC．∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．【变式训练】1．在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．(1)试说明：DE=DF：(2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论．(3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？【答案】(1)见解析；(2)CE+BG=EG，理由见解析；(3)当∠EDG=90°-α时，（2）中结论仍然成立．【解析】【分析】（1）首先判断出，然后根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出．（2）猜想、、之间的数量关系为：．首先根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出；然后根据，可得，，再根据，判断出，据此推得，所以，最后根据，判断出即可．（3）根据（2）的证明过程，要使仍然成立，则，即，据此解答即可．(1)证明：，，，，又，，在和中，，．(2)解：如图，连接，猜想、、之间的数量关系为：．证明：在和中，，，，又，，，由（1），可得，，，即，，在和中，，，又，，；(3)解：要使仍然成立，则，即，当时，仍然成立．【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，此题是一道综合性比较强的题目，有一定的难度，能根据题意推出规律是解此题的关键．【题型二一线三等角模型】例题：【探究】如图①，点B、C在的边上，点E、F在内部的射线上，分别是、的外角．若，，求证：．【应用】如图②，在等腰三角形ABC中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为9，则与的面积之和为____．【答案】探究：见解析；应用：6【分析】探究：根据，，得出，根据，得出，再根据证明即可；应用：根据全等三角形的性质得出：，进而得出，根据，的面积为9，得出，即可得出答案．【详解】探究证明：∵，，又∵，∴，∵，∴，在和中，∴；应用解：∵，∴，∴，∵，的面积为9，∴，∴与的面积之和为6，故答案为：6．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．【变式训练】1．（1）问题发现：如图1，射线在的内部，点B、C分别在的边、上，且，若，求证：；（2）类比探究：如图2，，且．（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由；（3）拓展延伸：如图3，在中，，．点E在边上，，点D、F在线段上，．若的面积为，，求与的面积之比．

【答案】（1）证明见详解；（2）成立，证明见详解；（3）【分析】（1）根据即可得到，，从而得到，即可得到证明；（2）根据得到，即可得到，即可得到证明；（3）根据的面积为，，即可得到，，结合可得，，根据，得到，即可得到，即可得到答案；【详解】（1）证明：∵，∴，，，∴，在与中，∵，∴；（2）解：成立，理由如下，∵，∴，，∴，在与中，∵，∴；（3）解：∵的面积为，，∴，，∵，∴，，∵，∴，，∴，在与中，∵，∴∴，∴；【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质及同高不同底三角形的面积，解题的关键是根据内外角关系得到三角形全等的条件．2．在直线上依次取互不重合的三个点，在直线上方有，且满足．(1)如图1，当时，猜想线段之间的数量关系是____________；(2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在中，是钝角，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，求与的面积之和．【答案】(1)DE＝BD+CE(2)DE＝BD+CE仍然成立，理由见解析(3)△FBD与△ACE的面积之和为4【解析】【分析】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（3）由∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，得出∠CAE＝∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CAE，得出S△ABD＝S△CEA，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S△ABF即可得出结果．(1)解：DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE．(2)DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；(3)解：∵∠BAD＜∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠CAE＝∠ABD，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴S△ABD＝S△CAE，设△ABC的底边BC上的高为h，则△ABF的底边BF上的高为h，∴S△ABC＝BC•h＝12，S△ABF＝BF•h，∵BC＝3BF，∴S△ABF＝4，∵S△ABF＝S△BDF+S△ABD＝S△FBD+S△ACE＝4，∴△FBD与△ACE的面积之和为4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．【题型三三垂直模型】例题：问题1：在数学课本中我们研究过这样一道题目：如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，AD⊥MN，垂足分别为E、D．图中哪条线段与AD相等？并说明理由．问题2：试问在这种情况下线段DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出来，不需要说明理由．问题3：当直线CE绕点C旋转到图2中直线MN的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由．【答案】问题1，AD＝EC，证明见解析；问题2：DE+BE＝AD；问题3：DE＝AD+BE，证明见解析．【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到△ADC≌△CEB，即可得出AD=EC；（2）由（1）得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；（3）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到DE、AD、BE之间的等量关系．【详解】解：（1）AD＝EC；证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，∵∠ADC＝∠BEC，AC＝BC，∴△ADC≌△CEB，∴AD＝EC；（2）DE+BE＝AD；由（1）已证△ADC≌△CEB，∴AD＝EC，CD=EB，CE=AD∴CE=CD+DE=BE+DE=AD即DE+BE＝AD；（3）DE＝AD+BE．证明：∵BE⊥BC，AD⊥CE，∴∠ADC＝90°，∠BEC＝90°，∴∠EBC+∠ECB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，∵∠ADC＝∠BEC，AC＝BC，∴△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，CD＝BE，∵CD+CE＝DC，∴DE＝AD+BE．【点睛】此题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．【变式训练】1．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时，_______度；(2)求证：DE=CD+BE；(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】(1)90°(2)见解析(3)CD=BE+DE，证明见解析【解析】【分析】（1）由∠BAC=90°可直接得到90°；（2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根据等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根据AAS可证△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=EA+AD=DC+BE．（3）同（2）易证△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE=AD+DE，所以CD=BE+DE．(1)∵∠BAC=90°∴∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°故答案为：90°．(2)证明：∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°

∵

∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB

∵在△DCA和△EAB中∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且EA=DC由图可知：DE=EA+AD=DC+BE．(3)∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°

∵∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB

∵在△DCA和△EAB中∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且AE=CD由图可知：AE=AD+DE∴CD=BE+DE．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质．【题型四倍长中线模型】例题：阅读理解在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线法．如图1，是的中线，，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是______；类比应用如图2，在四边形中，，点是的中点．若是的平分线，试判断，，之间的等量关系，并说明理由；拓展创新如图3，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的数量关系，请直接写出你的结论．【答案】阅读理解：类比应用：拓展创新：【分析】阅读理解：由全等的性质推出，再根据，可得结论．类比应用：延长，交于点F，先证得，再由是的平分线知，从而得，据此知，结合可得答案．拓展创新：延长，交于点，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论．【详解】阅读理解：由题可知，，∴．∵，．∴，∴，∴．故答案为：．类比应用：．理由如下：如图1，延长，交于点．∵，∴．在和中，∴，∴．∵是的平分线，∴，∴，∴．∵，∴．拓展创新：如图2，延长，交于点．∵，∴．在和中，∴，∴．∵是的平分线，∴，∴，∴．∵，∴．故答案为：．【点睛】本题是三角形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质、角平分线的定义、平行线的性质，三角形三边关系等知识点，综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线，倍长中线构造全等三角形是解题的关键．【变式训练】1．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到M，使，连接．

【探究发现】（1）图1中与的数量关系是______，位置关系是______．【初步应用】（2）如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围．【探究提升】（3）如图3，是的中线，过点A分别向外作、，使得，延长交于点P，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由．【答案】（1），；（2）；（3），，理由见解析【分析】（1）证，得，再由平行线的判定即可得出；（2）延长到，使得，连接，由（1）可知：，得，再由三角形的三边关系即可得出结论；（3）延长到，使得，连接，由（1）可知：，得，由，可证，再证，得，，则，然后由平角，再由，得，即可得出结论．【详解】（1）如下图1，

，是的中线，，在和中，，，，与的数量关系是，位置关系是；（2）如下图2，延长到，使得，连接，

由（1）可知：，，在中，，，即，；（3）如下图，延长到，使得，连接，

由（1）可知：，，，，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，，即，，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．【题型五旋转模型】例题：【尝试探究】如图1，已知在正方形中（四边相等，四个内角均为90°），点、分别在边、上运动，当时，探究、和的数量关系，并加以说明；【模型建立】如图2，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想（2）中的结论还成立吗？请加以说明；【拓展应用】如图3，已知是边长为8的等边三角形（三边相等，三个内角均为60°），，，，以为顶点作一个60°角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，直接写出的周长．

【答案】【尝试探究】，证明见解析；【模型建立】成立，证明见解析；【拓展应用】16【详解】解：【尝试探究】．证明：如图，把绕点顺时针旋转90°至，可使与重合，

∵，∴，点、、共线，∴，即．在和中，，∴，∴，∴；【模型建立】成立，如图，

证明：将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合，由旋转得：，，，，同理得：点，，在同一条直线上，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴（2）中的结论还成立，；【拓展应用】∵是边长为8的等边三角形，∴，∵，∴，将绕点旋转，得到，

∵，，∴和重合，，，，∴，∴三点共线，同法（2），可得：，∴，∴的周长．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是通过旋转构造全等三角形．本题主要考查半角模型，平时多归纳，多积累，可以帮助我们快速解题．【变式训练】1．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点．（1）求证：AE＝CD；（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）∠BFE＝105°．【分析】（1）根据旋转的性质证明△ABE≌△CBD（SAS），进而得证；（2）由（1）得出∠DBC=∠ABE=45°，BD=BE，∠EBD=120°，最后根据三角形内角和定理进行求解即可．【详解】（1）证明：∵线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合