第12章 全等三角形 单元测试

第12章全等三角形单元测试一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.如图给出了四组三角形，其中全等的三角形有(

)组．A.1 B.2 C.3 D.42.下列说法中，不正确的是(

)①全等形的面积相等；②形状相同的两个三角形是全等三角形；③全等三角形的对应边，对应角相等；④若两个三角形全等，则其中一个三角形一定是由另一个三角形旋转得到的．A.①与② B.③与④ C.①与③ D.②与④3.如图，△ACE≌△DBF，若AD=8，BC=2，则AB的长度为(

)A.6 B.4 C.2 D.34.如下图，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是(

)A.∠M=∠N B.AM/​/CN C.AB=CD D.AM=CN5.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为60和35，则△EDF的面积为(

)A.25 B.5.5 C.7.5 D.12.56.已知△ABC≌△DEF，∠A=80°，∠E=40°，则∠F等于(

)A.80° B.40° C.120° D.60°7.如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是

(

)A.4 B.5 C.1 D.28.如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②BF=BA；③PH=PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是(

)A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④

9.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD:DC=9:7，则点D到AB边的距离为(

)A.18 B.16 C.14 D.12

10.如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD(

)A.∠B=∠C B.AD=AE C.BE=CD D.BD=CE二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.一个三角形的三边长分别是3，5，6，另一个三角形的三边长为a，b，c，且满足a=b+1，b=c+2，a+c=9，那么这两个三角形的关系是______．12.如图，已知AB=AD，∠1=∠2，要使△ABC≌△ADE，还需添加的条件是______.(只需填一个)13.如图，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若BC=15cm，则△DEB的周长为_______cm．14.我国的纸伞工艺十分巧妙，如图，伞不论张开还是缩拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC和∠EDF，使△AED与△AFD始终全等，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动，则△AED≌△AFD的理由是______．15.如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，则∠CAD=______．三、解答题（本大题共9小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.(本小题8.0分)如图，E，F在BC上，BE=CF，AB=CD，AB/​/CD.求证：(1)△ABF≌△DCE．(2)AF/​/DE．17.(本小题8.0分)如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：AB/​/DE．18.(本小题8.0分)如图，已知AB=CD，AC=BD。求证：∠A=∠D19.(本小题8.0分)如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，且BD=CD．求证：BE=CF．20.(本小题8.0分)如图，点C，F，E，B在同一条直线上，∠CFD=∠BEA，CE=BF，DF=AE.写出CD与AB之间的关系，并证明你的结论．21.(本小题8.0分)在△ABC和△CDE中，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE，AD，BE交于点F，连接CF．(1)求证：△ACD≌△BCE(2)求证：CF平分∠AFE22.(本小题8.0分)已知：如图，AD，AE分别是△ABC和△ABD的中线，且BA=BD.求证：AE=1223.(本小题9.0分)如图，在△中，∠ ACB=900，AC=BC，BE ⊥ CE于E，AD ⊥ CE于(1)求证：△ADC≌△CEB.

(2)AD=5，DE=3，求BE的长度.24.(本小题10.0分)已知：如图，∠B =∠C = 90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC(1)求证：AM平分∠BAD；(2)试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？(3)线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．

第12章全等三角形单元测试一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.如图给出了四组三角形，其中全等的三角形有(

)组．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D

【解析】图一中两个三角形的对应角相同，公共边相等，用SAS可证全等；图二中用SAS可证明全等；图三中仍然可用SAS证明全等；图四中可求出对应角相等，可用SAS证明全等.2.下列说法中，不正确的是(

)①全等形的面积相等；②形状相同的两个三角形是全等三角形；③全等三角形的对应边，对应角相等；④若两个三角形全等，则其中一个三角形一定是由另一个三角形旋转得到的．A.①与② B.③与④ C.①与③ D.②与④【答案】D

【解析】②形状和大小都必须相等；④可由旋转、平移、对称得到.3.如图，△ACE≌△DBF，若AD=8，BC=2，则AB的长度为(

)A.6 B.4 C.2 D.3【答案】D

【解析】【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应顶点的字母写在对应位置上确定出对应边，然后求出AB=CD是解题的关键．根据全等三角形对应边相等可得AC=BD，再求出AB=CD，然后代入数据进行计算即可得解．【解答】解：∵△ACE≌△DBF，∴AC=DB，∴AC−BC=BD−BC，即AB=CD，∵AD=8，BC=2，∴AB=1故选D．

4.如下图，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是(

)A.∠M=∠N B.AM/​/CN C.AB=CD D.AM=CN【答案】D

【解析】A、∠M=∠N，符合ASA，能判定△ABM≌△CDN；

B、AM/​/CN，得出∠MAB=∠NCD，符合AAS，能判定△ABM≌△CDN；

C、AB=CD，符合SAS，能判定△ABM≌△CDN；

D、根据条件AM=CN，MB=NN，∠MBA=∠NDC，不能判定△ABM≌△CDN．故选D．点评：根据三角形全等的判定定理，有ASS、SSS、ASA、SAS四种．逐条验证．5.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为60和35，则△EDF的面积为(

)A.25 B.5.5 C.7.5 D.12.5【答案】D

【解析】6.已知△ABC≌△DEF，∠A=80°，∠E=40°，则∠F等于(

)A.80° B.40° C.120° D.60°【答案】D

【解析】解：∵△ABC≌△DEF，∴∠D=∠A=80°，∵∠E=40°，∴∠F=180°−∠D−∠E=180°−80°−40°=60°．故选：D．根据全等三角形对应角相等可得∠D=∠A，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，根据对应顶点的字母放在对应位置上准确确定出对应角是解题的关键．7.如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是

(

)A.4 B.5 C.1 D.2【答案】C

【解析】【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA，AAS、HL，要熟练掌握并灵活应用这些方法．本题可先根据AAS判定△AEH≌△CEB，可得出AE=CE，从而得出CH=CE−EH=4−3=1.

【解答】解：在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEH=∠ADB=90°；∵∠EAH+∠AHE=90°，∠DHC+∠BCH=90°，∵∠EHA=∠DHC(对顶角相等)，∴∠EAH=∠DCH(等量代换)；∵在△BCE和△HAE中∠BEC=∠HEA∠BCE=∠HAE∴△AEH≌△CEB(AAS)；∴AE=CE；∵EH=EB=3，AE=4，∴CH=CE−EH=AE−EH=4−3=1．故选C．

8.如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②BF=BA；③PH=PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是(

)A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④【答案】D

【解析】【分析】

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.根据三角形全等的判定和性质逐条分析判断．【解答】解：在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD+∠ABE=45°，∴∠APB=135°，故①正确．易求∠BPD=45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB=90°+45°=135°，∴∠APB=∠FPB，∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，∴△ABP≌△FBP，∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，故②正确．∵∠APH=∠FPD，∠PAH=∠BFP，PA=PF，∴△APH≌△FPD，∴PH=DD，故③正确．△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，又∵三角形的三条内角平分线交与一点，∴CP平分∠ACB，故④正确．综上所述，正确的结论是：①②③④．故选D．

9.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD:DC=9:7，则点D到AB边的距离为(

)A.18 B.16 C.14 D.12【答案】C

【解析】【分析】本题主要考查的是角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点D作DE⊥AB于E，根据比例求出CD的长，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，得到答案．【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，∵BC=32，BD：CD=9：7，∴CD=32×7∵∠C=90°，DE⊥AB，AD平分∠BAC，∴DE=CD=14，即D到AB的距离为14．故选C．

10.如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD(

)A.∠B=∠C B.AD=AE C.BE=CD D.BD=CE【答案】C

【解析】【分析】本题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理．欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．【解答】解：∵AB=AC，∠A为公共角，A.如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD，故本选项错误；B.如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，故本选项错误；C.如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件，故本选项正确；D.如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，故本选项错误．故选C．

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.一个三角形的三边长分别是3，5，6，另一个三角形的三边长为a，b，c，且满足a=b+1，b=c+2，a+c=9，那么这两个三角形的关系是______．【答案】全等；SSS

【解析】解：∵根据题意：另一个三角形三边为a、b、c，且满足a=b+1，b=c+2，a+c=9，∴解得：a=6，b=5，c=3，∴由全等三角形的判定定理SSS即可判定两三角形全等．故答案为：全等，SSS．首先根据a=b+1，b=c+2，a+c=9，分别求得a、b、c的值，然后利用SSS即可确定两三角形的关系．本题考查三角形全等的判定方法SSS，比较简单，属于基础题．12.如图，已知AB=AD，∠1=∠2，要使△ABC≌△ADE，还需添加的条件是______.(只需填一个)【答案】∠B=∠D或∠C=∠E或AC=AE

【解析】【分析】要使△ABC≌△ADE，已知AB=AD，∠1=∠2得出∠BAC=∠DAE，若添加∠B=∠D可以利用ASA判定其全等，添加∠C=∠E可以利用AAS判定其全等，添加AC=AE可以利用SAS判定其全等．本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【解答】解：∵AB=AD，∠1=∠2∴∠BAC=∠DAE∴若添加∠B=∠D可以利用ASA判定△ABC≌△ADE，若添加∠C=∠E可以利用AAS判定△ABC≌△ADE，若添加AC=AE可以利用SAS判定△ABC≌△ADE，故答案为：∠B=∠D或∠C=∠E或AC=AE．

13.如图，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若BC=15cm，则△DEB的周长为

_cm．【答案】15

【解析】【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．先根据ASA判定△ACD≌△ECD得出AC=EC，AD=ED，再将其代入△DEB的周长中，通过边长之间的转换得到，周长=BD+DE+EB=BD+AD+EB=AB+BE=AC+EB=CE+EB=BC，所以为15cm.

【解答】解：∵CD平分∠ACB∴∠ACD=∠ECD∵DE⊥BC于E∴∠DEC=∠A=90°∵CD=CD∴△ACD≌△ECD∴AC=EC，AD=ED∵∠A=90°，AB=AC∴∠B=45°∴BE=DE∴△DEB的周长为：DE+BE+BD=AD+BD+BE=AB+BE=AC+BE=EC+BE=BC=15cm．故答案为15．

14.我国的纸伞工艺十分巧妙，如图，伞不论张开还是缩拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC和∠EDF，使△AED与△AFD始终全等，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动，则△AED≌△AFD的理由是______．【答案】ASA

【解析】解：∵伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC和∠EDF，∴∠EAD=∠FAD，∠ADE=∠ADF，在△ADE和△ADF中，∠EAD=∠FADAD=AD∴△ADE≌△ADF(ASA)．故答案为：ASA．根据确定三角形全等的条件进行判定即可．本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．15.如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，则∠CAD=______．【答案】55°

【解析】【分析】本题考查的是角平分线的定义和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．【解答】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，

∴∠BAC=180°−50°−60°=70°，∵∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，∴D到BE、AC、BA的距离相等，∴AD是∠BAC的外角平分线，

∴∠DAC=55°．故答案为55°．

三、解答题（本大题共9小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.(本小题8.0分)如图，E，F在BC上，BE=CF，AB=CD，AB/​/CD.求证：(1)△ABF≌△DCE．(2)AF/​/DE．【答案】证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，∴BF=CE．∵AB/​/CD，∴∠B=∠C．在△ABF和△DCE中AB=CD∠B=∠C∴△ABF≌△DCE(SAS)；(2)∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB=∠DEC，∴AF/​/DE．

【解析】(1)由等式的性质就可以得出BF=CE，由平行线的性质就可以得出∠B=∠C，根据SAS就可以得出结论；(2)由△ABF≌△DCE就可以得出∠AFB=∠DEC就可以得出结论．17.(本小题8.0分)如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：AB/​/DE．【答案】证明：∵BE=CF，∴BC=EF，在△ABC与△DEF中，AB=DEAC=DF∴△ABC≌△DEF(SSS)，∴∠ABC=∠DEF，∴AB/​/DE．

【解析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定，证明它们所在的三角形全等即可．根据等式的性质可得BC=EF.运用SSS证明△ABC与△DEF全等．由此得到对应角相等，推出直线平行．18.(本小题8.0分)如图，已知AB=CD，AC=BD。求证：∠A=∠D【答案】证明：连接BC，∵在△BCD和△CBA中CD=ABBD=AC∴△BCD≌△CBA(SSS)，∴∠A=∠D．

【解析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质.全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，培养了学生分析问题与解决问题的能力．连接BC，根据条件AB=DC，AC=BD，再加上公共边BC=CB可利用SSS证明△BCD≌△CBA，进而得到∠A=∠D．19.(本小题8.0分)如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，且BD=CD．求证：BE=CF．【答案】20.(本小题8.0分)如图，点C，F，E，B在同一条直线上，∠CFD=∠BEA，CE=BF，DF=AE.写出CD与AB之间的关系，并证明你的结论．【答案】解：CD/​/AB，CD=AB．证明：∵CE=BF，∴CE−EF=BF−EF，∴CF=BE，在△AEB和△DFC中，∵∴△AEB≌△DFC(SAS)，∴CD=AB，∠C=∠B，∴CD//AB．

【解析】本题考查了平行线的判定和全等三角形的性质和判定的应用．全等三角形的判定与性质是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，求出CF=BE，根据SAS证明△AEB≌△CFD，推出CD=AB，∠C=∠B，根据平行线的判定推出CD/​/AB．21.(本小题8.0分)在△ABC和△CDE中，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE，AD，BE交于点F，连接CF．(1)求证：△ACD≌△BCE(2)求证：CF平分∠AFE【答案】【解】(1)证明：∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中， CA=CB  ∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE(SAS)；(2)证明：过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，如下图所示，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAM=∠CBN，在△ACM和△BCN中，∠CAM=∠CBN  ∠AMC=∠BNC=90°∴△ACM≌△BCN，∴CM=CN，∴CF平分∠AFE．

【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用，(1)由CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE，利用SAS，即可判定：△ACD≌△BCE；(2)首先作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，由△ACD≌△BCE，可证∠CAD=∠CBE，再证△ACM≌△BCN，(或证△ECN≌△DCM)，可得CM=CN，即可证得CF平分∠AFE；

22.(本小题8.0分)已知：如图，AD，AE分别是△ABC和△ABD的中线，且BA=BD.求证：AE=1【答案】证明：延长AE至F，使EF=AE，连接DF．∵AE是△ABD的中线，∴BE=DE．∵∠AEB=∠FED，∴△ABE≌△FDE．∴∠B=∠BDF，AB=DF．∵BA=BD，∴∠BAD=∠BDA，BD=DF．∵∠ADF=∠BDA+∠BDF，∠ADC=∠BAD+∠B，∴∠ADF=∠ADC．∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∴DF=CD．∴△ADF≌△ADC(SAS)．∴AC=AF=2AE，即AE=1【解析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．延长AE至F，使EF=AE，连接DF，利用全等三角形的对应边相等得到AC=AF=2AE，即可得证．23.(本小题9.0分)如图，在△中，∠ ACB=900，AC=BC，BE ⊥ CE于E，AD ⊥ CE于(1)求证：△ADC≌△CEB.

(2)AD=5，DE=3，求BE的长度..【答案】(1)证明：∵∠ACB=90°，

∴∠BCE+∠ACD=90°，

∵BE⊥CE，AD⊥CE，

∴∠ADC=∠BEC=90°，

∴∠ACD+∠CAD=90°，

∴∠CAD