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文档简介
第十七章特殊三角形17.3勾股定理第二课时勾股定理的逆定理基础过关全练知识点3勾股定理的逆定理11.(2023宁夏中宁期末)下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是()A.2,3,4 B.5,12,13 C.6,8,10 D.9,12,1512.如图,在边长为1的小正方形网格中有三条线段,每条线段的端点都在格点上,将这三条线段组成三角形.对组成的三角形,小明认为是等边三角形,小亮认为是直角三角形,小红认为是锐角三角形,小沫认为是钝角三角形,他们几个说法正确的是()A.小明 B.小亮 C.小红 D.小沫13.(2023吉林第二实验学校期末)在△ABC中,已知AB=4,AC=3,BC=7,则△ABC的面积为()A.47 B.37C.6 D.14.(2023山东东营实验中学期末)将直角三角形的三条边长同时缩小为原来的一半,所得到的三角形为()A.直角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形15.如图,五根小木棒,其长度分别为5,9,12,13,15,现将它们摆成两个直角三角形,其中正确的是() A B C D16.(2023甘肃兰州三十五中期末)下列条件中,不能判断△ABC是直角三角形的是()A.AB∶BC∶AC=3∶4∶5 B.AB∶BC∶AC=1∶2∶3C.∠A-∠B=∠C D∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶517.(2023辽宁丹东期末)△ABC的三边长分别为1,3,2,那么△ABC(填“是”或“不是”)直角三角形.18.(2023山东东平期末)如图,已知∠A=90°,AC=AB=8,CD=4,BD=12.则∠ACD=___________度.
19.(2022湖北咸宁中考改编)勾股定理最早出现在《周髀算经》中:“勾广三,股修四,经隅五”.像3,4,5这样能作为直角三角形三边长的3个正整数,称为勾股数.观察下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;……,这类勾股数的特点是勾为奇数,弦与股相差1.柏拉图研究了勾为偶数,弦与股相差2的一类勾股数,如:6,8,10;8,15,17;……,若此类勾股数的勾为2m(m≥3,m为正整数),则其弦是(结果用含m的式子表示).20.(2023吉林长春八十七中期末)如图,小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜,爸爸让小明计算这块土地的面积,以便估算产量.小明测得AB=3m,AD=4m,CD=12m,BC=13m,已知∠A=90°,求这块土地的面积.21.(2023辽宁沈阳一三四中期末)如图,有一张四边形纸片ABCD,AB⊥BC,经测得AB=3dm,BC=4dm,CD=2dm,AD=29dm,求这张纸片的面积S.22.已知a,b,c是△ABC的三边长,根据下列条件,判断△ABC是不是直角三角形.(1)a=11,b=31,c=21;(2)a=m2-n2,b=m2+n2,c=2mn(m>n,m,n为正整数).23.如图,在△ABC中,AB=4,AC=3,DE是BC的垂直平分线,交BC于点D,交AB于点E,AF⊥BC于点F.关于△ABC的形状,小明和小亮展开以下讨论:小明:如果∠BAC=90°,那么我可以求出AE的长.我的思路是这样的:如图,连接CE,设AE=x,则BE=4-x,因为DE垂直平分BC,所以CE=BE=4-x,……小亮:如果DF的长为710,那么△ABC是直角三角形.(1)请补充完整小明的求解过程;(2)请判断小亮的说法是否正确,并说明理由.能力提升全练24.(2023河北张家口桥西期中)下列4组数中,能构成直角三角形三边长的有()(1)9,12,15; (2)12,18,22; (3)12,35,36; (4)15,36,39A.1组 B.2组 C.3组 D.4组25.(2022四川攀枝花中考)图1是第七届国际数学教育大会会徽的主体图案,从中选择两个相邻的直角三角形,恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC.若OC=5,BC=1,∠AOB=30°,则OA的长为() 图1 图2A.3 B.32 C.2 26.(2020河北中考)如图所示的是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片,面积分别是1,2,3,4,5,选取其中三块(可重复选取)按如图所示的方式组成图案,若所围成的三角形是面积最大的直角三角形,则选取的三块正方形纸片的面积分别是()A.1,4,5 B.2,3,5 C.3,4,5 D.2,2,427.(2022江苏泰州中考)如图所示的象棋盘中,各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发,不走重复路线,按照“马走日”的规则,走两步后的落点与出发点间的最短距离为.
28.我国海监船加大对某岛附近海域的巡航维权力度.如图,OA⊥OB,OA=36海里,OB=12海里,该岛位于O点,我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船,自A点出发沿着AO方向匀速驶向该岛所在地点O,我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船,结果在点C处截住了渔船.(1)请用直尺和圆规作出C处的位置;(2)求我国海监船行驶的航程BC的长.29.(2019河北中考)已知:整式A=(n2-1)2+(2n)2,整式B>0.尝试化简整式A.发现A=B2.求整式B.联想由上可知,B2=(n2-1)2+(2n)2,当n>1且n为整数时,n2-1,2n,B为直角三角形的三边长,如图.填写下表中B的值:直角三角形的三边长n2-12nB勾股数组Ⅰ8勾股数组Ⅱ35素养探究全练30.(2023江苏灌南期中)我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”,较长的直角边称为“股”,斜边称为“弦”.据《周髀算经》记载,公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论.像3、4、5这样能作为直角三角形三边长的3个正整数,称为勾股数.请你观察下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;……分析其中的规律,可以发现这些勾股数的勾都是奇数,且从3起就没有间断过.当勾为3时,股为4=12×(9-1),弦为5=12当勾为5时,股为12=12×(25-1),弦为13=12当勾为7时,股为24=12×(49-1),弦为25=12(1)若勾用n(n≥3,且n为奇数)表示,请用含有n的式子表示股和弦,则股=,弦=,据此规律第四组勾股数是;
(2)若a=m2-1,b=2m,c=m2+1,其中m>1且m是整数.求证:以a,b,c为三边长的△ABC是直角三角形.
第十七章特殊三角形17.3勾股定理第二课时勾股定理的逆定理答案全解全析基础过关全练11.A∵22+32=13,42=16,∴22+32≠42,∴不能组成直角三角形,故A符合题意;∵122+52=169,132=169,∴122+52=132,∴能组成直角三角形,故B不符合题意;∵62+82=100,102=100,∴62+82=102,∴能组成直角三角形,故C不符合题意;∵122+92=225,152=225,∴122+92=152,∴能组成直角三角形,故D不符合题意.故选A.12.B根据题意得AB2=22+32=13,CD2=22+22=8,EF2=12+22=5,∴AB2=CD2+EF2,∴这三条线段组成的三角形是直角三角形,故小亮的说法正确,故选B.13.D∵AB=4,AC=3,BC=7,∴AC2+BC2=16,AB2=16,∴AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°,∴△ABC的面积为12AC·BC=12×3×14.A设原直角三角形的三条边长分别为2a、2b、2c,且2c为斜边的长,则(2a)2+(2b)2=(2c)2,∴a2+b2=c2∵将原直角三角形的三条边长同时缩小为原来的一半得到新三角形,∴新三角形的三边长分别为a、b、c,∵a2+b2=c2,∴所得到的三角形为直角三角形.故选A.15.C∵52+122=132,92+122=152,∴C正确.16.D本题容易认为D选项是正确的,将边与角混淆.A.设AB=3a,BC=4a,AC=5a,因为AB2+BC2=(3a)2+(4a)2=25a2,AC2=(5a)2=25a2,即AB2+BC2=AC2,所以△ABC是直角三角形,故A选项不符合题意;B.设AB=a,BC=2a,AC=3a,因为AB2+AC2=a2+(3a)2=4a2,BC2=(2a)2=4a2,即AB2+AC2=BC2,所以△ABC是直角三角形,故B选项不符合题意;C.由∠A+∠B+∠C=180°,∠A-∠B=∠C,可得∠A=90°,所以△ABC是直角三角形,故C选项不符合题意;D.因为∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,所以∠A=312×180°=45°,∠B=412×∠C=512×180°=75°,所以△ABC不是直角三角形,17.答案是解析由勾股定理的逆定理可知,只要验证两个较小的边长的平方和等于最长边长的平方,即可判断△ABC为直角三角形.∵12+(3)2=22,∴△ABC是直角三角形.18.答案45解析∵∠A=90°,AC=AB=8,∴BC=82∵CD=4,BD=12,∴CD2+BC2=16+128=144=BD2,∴△BCD是直角三角形,且∠DCB=90°,∵AC=AB,∠A=90°,∴∠ACB=45°,∴∠ACD=45°.19.答案m2+1解析∵m为正整数,∴2m为偶数,设其股是a,则弦为a+2,根据勾股定理,得(2m)2+a2=(a+2)2,解得a=m2-1,∴弦是a+2=m2-1+2=m2+1.20.解析如图,连接BD,∵∠A=90°,∴BD2=AD2+AB2=25,∴BD2+CD2=132=BC2,∴∠CDB=90°,∴S四边形ABCD=S△ADB+S△CBD=36(平方米).答:这块土地的面积为36平方米.21.解析如图,连接AC,∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°,∵AB=3dm,BC=4dm,∴AC=A=32+∵CD=2dm,AD=29dm,∴AC2+CD2=25+4=29,AD2=(29)2=29,∴AC2+CD2=AD2,∴△ACD是直角三角形,且∠ACD=90°,∴S=S△ABC+S△ACD=12BC·AB+12AC·CD=12×4×3+12×5×∴这张纸片的面积S为11dm2.22.解析(1)显然b>c>a,∵b2=312=961,a2+c2=112+212=562,a2+c2≠b2,∴△ABC不是直角三角形.(2)∵m>n,∴(m-n)2>0,即m2-2mn+n2>0,可得m2+n2>2mn.又m2+n2>m2-n2,∴m2+n2是最长边的长.∵(m2-n2)2+(2mn)2=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2,即a2+c2=b2,∴△ABC是直角三角形.23.解析(1)补充如下:因为∠BAC=90°,所以AE2+AC2=CE2,即x2+32=(4-x)2,解得x=78,即AE=7(2)小亮的说法正确.理由如下:设BD=y,则CD=y,因为DF=710,所以BF=y+7因为AF⊥BC,所以AB2-BF2=AC2-CF2=AF2,即42-y+7解得y=52,所以AB2+AC2=42+32=52=BC2,所以△ABC为直角三角形.能力提升全练24.B∵92+122=225,152=225,∴92+122=152,∴能构成直角三角形,故(1)符合题意;∵182+122=468,222=484,∴182+122≠222,∴不能构成直角三角形,故(2)不符合题意;∵352+122=1369,362=1296,∴352+122≠362,∴不能构成直角三角形,故(3)不符合题意;∵362+152=1521,392=1521,∴362+152=392,∴能构成直角三角形,故(4)符合题意.综上所述,能构成直角三角形三边长的有2组,故选B.25.A∵∠OBC=90°,OC=5,BC=1,∴OB=OC2-BC2=(5)2-12=2∴OA=OB226.B当选取的三块正方形纸片的面积分别是1,4,5时,围成的直角三角形的面积是1×42=42=1;当选取的三块正方形纸片的面积分别是2,3,5时,围成的直角三角形的面积是2×32=62;当选取的三块正方形纸片的面积分别是3,4,5时,围成的三角形不是直角三角形;当选取的三块正方形纸片的面积分别是2,2,27.答案2解析如图,第一步到①,第二步到②,故走两步后的落点与出发点间的最短距离为1228.解析(1)如图,作线段AB的垂直平分线与OA交于点C.(2)如图,连接BC,由作图可得CD为AB的中垂线,则CB=CA.由题意可得OC=36-CA=36-BC.∵OA⊥OB,∴在Rt△BOC中,BO2+OC2=BC2,即122+(36-BC)2=BC2,∴BC=20海里.答:我国海监船行驶的航程BC的长为20海里.29.解析尝试A=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2.发现∵A=B2
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