17.3.2 勾股定理的逆定理 同步练习VIP

第十七章特殊三角形17.3勾股定理第二课时勾股定理的逆定理基础过关全练知识点3勾股定理的逆定理11.(2023宁夏中宁期末)下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是()A.2，3，4 B.5，12，13 C.6，8，10 D.9，12，1512.如图，在边长为1的小正方形网格中有三条线段，每条线段的端点都在格点上，将这三条线段组成三角形.对组成的三角形，小明认为是等边三角形，小亮认为是直角三角形，小红认为是锐角三角形，小沫认为是钝角三角形，他们几个说法正确的是()A.小明 B.小亮 C.小红 D.小沫13.(2023吉林第二实验学校期末)在△ABC中，已知AB=4，AC=3，BC=7，则△ABC的面积为()A.47 B.37C.6 D.14.(2023山东东营实验中学期末)将直角三角形的三条边长同时缩小为原来的一半，所得到的三角形为()A.直角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形15.如图，五根小木棒，其长度分别为5，9，12，13，15，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是() A B C D16.(2023甘肃兰州三十五中期末)下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是()A.AB∶BC∶AC=3∶4∶5 B.AB∶BC∶AC=1∶2∶3C.∠A-∠B=∠C D∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶517.(2023辽宁丹东期末)△ABC的三边长分别为1，3，2，那么△ABC(填“是”或“不是”)直角三角形.18.(2023山东东平期末)如图，已知∠A=90°，AC=AB=8，CD=4，BD=12.则∠ACD=___________度.

19.(2022湖北咸宁中考改编)勾股定理最早出现在《周髀算经》中：“勾广三，股修四，经隅五”.像3，4，5这样能作为直角三角形三边长的3个正整数，称为勾股数.观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；……，这类勾股数的特点是勾为奇数，弦与股相差1.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；……，若此类勾股数的勾为2m(m≥3，m为正整数)，则其弦是(结果用含m的式子表示).20.(2023吉林长春八十七中期末)如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量.小明测得AB=3m，AD=4m，CD=12m，BC=13m，已知∠A=90°，求这块土地的面积.21.(2023辽宁沈阳一三四中期末)如图，有一张四边形纸片ABCD，AB⊥BC，经测得AB=3dm，BC=4dm，CD=2dm，AD=29dm，求这张纸片的面积S.22.已知a，b，c是△ABC的三边长，根据下列条件，判断△ABC是不是直角三角形.(1)a=11，b=31，c=21；(2)a=m2-n2，b=m2+n2，c=2mn(m>n，m，n为正整数).23.如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，AF⊥BC于点F.关于△ABC的形状，小明和小亮展开以下讨论：小明：如果∠BAC=90°，那么我可以求出AE的长.我的思路是这样的：如图，连接CE，设AE=x，则BE=4-x，因为DE垂直平分BC，所以CE=BE=4-x，……小亮：如果DF的长为710，那么△ABC是直角三角形.(1)请补充完整小明的求解过程；(2)请判断小亮的说法是否正确，并说明理由.能力提升全练24.(2023河北张家口桥西期中)下列4组数中，能构成直角三角形三边长的有()(1)9，12，15； (2)12，18，22； (3)12，35，36； (4)15，36，39A.1组 B.2组 C.3组 D.4组25.(2022四川攀枝花中考)图1是第七届国际数学教育大会会徽的主体图案，从中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC.若OC=5，BC=1，∠AOB=30°，则OA的长为() 图1 图2A.3 B.32 C.2 26.(2020河北中考)如图所示的是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块(可重复选取)按如图所示的方式组成图案，若所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块正方形纸片的面积分别是()A.1，4，5 B.2，3，5 C.3，4，5 D.2，2，427.(2022江苏泰州中考)如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为.

28.我国海监船加大对某岛附近海域的巡航维权力度.如图，OA⊥OB，OA=36海里，OB=12海里，该岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向该岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船.(1)请用直尺和圆规作出C处的位置；(2)求我国海监船行驶的航程BC的长.29.(2019河北中考)已知：整式A=(n2-1)2+(2n)2，整式B>0.尝试化简整式A.发现A=B2.求整式B.联想由上可知，B2=(n2-1)2+(2n)2，当n>1且n为整数时，n2-1，2n，B为直角三角形的三边长，如图.填写下表中B的值：直角三角形的三边长n2-12nB勾股数组Ⅰ8勾股数组Ⅱ35素养探究全练30.(2023江苏灌南期中)我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论.像3、4、5这样能作为直角三角形三边长的3个正整数，称为勾股数.请你观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；……分析其中的规律，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过.当勾为3时，股为4=12×(9-1)，弦为5=12当勾为5时，股为12=12×(25-1)，弦为13=12当勾为7时，股为24=12×(49-1)，弦为25=12(1)若勾用n(n≥3，且n为奇数)表示，请用含有n的式子表示股和弦，则股=，弦=，据此规律第四组勾股数是；

(2)若a=m2-1，b=2m，c=m2+1，其中m>1且m是整数.求证：以a，b，c为三边长的△ABC是直角三角形.

第十七章特殊三角形17.3勾股定理第二课时勾股定理的逆定理答案全解全析基础过关全练11.A∵22+32=13，42=16，∴22+32≠42，∴不能组成直角三角形，故A符合题意；∵122+52=169，132=169，∴122+52=132，∴能组成直角三角形，故B不符合题意；∵62+82=100，102=100，∴62+82=102，∴能组成直角三角形，故C不符合题意；∵122+92=225，152=225，∴122+92=152，∴能组成直角三角形，故D不符合题意.故选A.12.B根据题意得AB2=22+32=13，CD2=22+22=8，EF2=12+22=5，∴AB2=CD2+EF2，∴这三条线段组成的三角形是直角三角形，故小亮的说法正确，故选B.13.D∵AB=4，AC=3，BC=7，∴AC2+BC2=16，AB2=16，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴△ABC的面积为12AC·BC=12×3×14.A设原直角三角形的三条边长分别为2a、2b、2c，且2c为斜边的长，则(2a)2+(2b)2=(2c)2，∴a2+b2=c2∵将原直角三角形的三条边长同时缩小为原来的一半得到新三角形，∴新三角形的三边长分别为a、b、c，∵a2+b2=c2，∴所得到的三角形为直角三角形.故选A.15.C∵52+122=132，92+122=152，∴C正确.16.D本题容易认为D选项是正确的，将边与角混淆.A.设AB=3a，BC=4a，AC=5a，因为AB2+BC2=(3a)2+(4a)2=25a2，AC2=(5a)2=25a2，即AB2+BC2=AC2，所以△ABC是直角三角形，故A选项不符合题意；B.设AB=a，BC=2a，AC=3a，因为AB2+AC2=a2+(3a)2=4a2，BC2=(2a)2=4a2，即AB2+AC2=BC2，所以△ABC是直角三角形，故B选项不符合题意；C.由∠A+∠B+∠C=180°，∠A-∠B=∠C，可得∠A=90°，所以△ABC是直角三角形，故C选项不符合题意；D.因为∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，所以∠A=312×180°=45°，∠B=412×∠C=512×180°=75°，所以△ABC不是直角三角形，17.答案是解析由勾股定理的逆定理可知，只要验证两个较小的边长的平方和等于最长边长的平方，即可判断△ABC为直角三角形.∵12+(3)2=22，∴△ABC是直角三角形.18.答案45解析∵∠A=90°，AC=AB=8，∴BC=82∵CD=4，BD=12，∴CD2+BC2=16+128=144=BD2，∴△BCD是直角三角形，且∠DCB=90°，∵AC=AB，∠A=90°，∴∠ACB=45°，∴∠ACD=45°.19.答案m2+1解析∵m为正整数，∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理，得(2m)2+a2=(a+2)2，解得a=m2-1，∴弦是a+2=m2-1+2=m2+1.20.解析如图，连接BD，∵∠A=90°，∴BD2=AD2+AB2=25，∴BD2+CD2=132=BC2，∴∠CDB=90°，∴S四边形ABCD=S△ADB+S△CBD=36(平方米).答：这块土地的面积为36平方米.21.解析如图，连接AC，∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∵AB=3dm，BC=4dm，∴AC=A=32+∵CD=2dm，AD=29dm，∴AC2+CD2=25+4=29，AD2=(29)2=29，∴AC2+CD2=AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，∴S=S△ABC+S△ACD=12BC·AB+12AC·CD=12×4×3+12×5×∴这张纸片的面积S为11dm2.22.解析(1)显然b>c>a，∵b2=312=961，a2+c2=112+212=562，a2+c2≠b2，∴△ABC不是直角三角形.(2)∵m>n，∴(m-n)2>0，即m2-2mn+n2>0，可得m2+n2>2mn.又m2+n2>m2-n2，∴m2+n2是最长边的长.∵(m2-n2)2+(2mn)2=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2，即a2+c2=b2，∴△ABC是直角三角形.23.解析(1)补充如下：因为∠BAC=90°，所以AE2+AC2=CE2，即x2+32=(4-x)2，解得x=78，即AE=7(2)小亮的说法正确.理由如下：设BD=y，则CD=y，因为DF=710，所以BF=y+7因为AF⊥BC，所以AB2-BF2=AC2-CF2=AF2，即42-y+7解得y=52，所以AB2+AC2=42+32=52=BC2，所以△ABC为直角三角形.能力提升全练24.B∵92+122=225，152=225，∴92+122=152，∴能构成直角三角形，故(1)符合题意；∵182+122=468，222=484，∴182+122≠222，∴不能构成直角三角形，故(2)不符合题意；∵352+122=1369，362=1296，∴352+122≠362，∴不能构成直角三角形，故(3)不符合题意；∵362+152=1521，392=1521，∴362+152=392，∴能构成直角三角形，故(4)符合题意.综上所述，能构成直角三角形三边长的有2组，故选B.25.A∵∠OBC=90°，OC=5，BC=1，∴OB=OC2-BC2=(5)2-12=2∴OA=OB226.B当选取的三块正方形纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是1×42=42=1；当选取的三块正方形纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是2×32=62；当选取的三块正方形纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；当选取的三块正方形纸片的面积分别是2，2，27.答案2解析如图，第一步到①，第二步到②，故走两步后的落点与出发点间的最短距离为1228.解析(1)如图，作线段AB的垂直平分线与OA交于点C.(2)如图，连接BC，由作图可得CD为AB的中垂线，则CB=CA.由题意可得OC=36-CA=36-BC.∵OA⊥OB，∴在Rt△BOC中，BO2+OC2=BC2，即122+(36-BC)2=BC2，∴BC=20海里.答：我国海监船行驶的航程BC的长为20海里.29.解析尝试A=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2.发现∵A=B2