数学示范教案：第二章平面向量

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精示范教案eq\o（\s\up7（），\s\do5(整体设计）)知识网络1．本章知识网络结构如下：2．本章知识归纳整合（1)基本概念与运算①向量既有大小，又有方向，这两者缺一不可．零向量是一个特殊的向量,它似乎很不起眼，但稍不注意就会出错，所以要正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系．②在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可,与这两个向量的长度无关．③向量加法的平行四边形法则与向量加法的三角形法则是统一的,两种方法得到的是同一个向量．向量的减法按三角形法则，一定要注意向量的方向．④两个向量长度的和(差)不一定等于这两个向量和(差)的长度，因为向量的加(减）实施的对象是向量，而长度是数量，长度的加（减）法是数量的加(减）法．⑤向量的数乘运算，应侧重于以下几个方面：数与向量的积仍是一个向量；要特别注意0·a＝0,而不是0·a＝0；向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似,数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同．（2)基本定理及其坐标表示①平面向量基本定理表明,同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线性组合，即选择了两个不共线向量e1和e2，平面内的任何一向量a都可以用向量e1、e2表示为a＝λ1e1＋λ2e2，并且这种表示是唯一的．平面向量基本定理不仅把几何问题转化为只含有λ1、λ2的代数运算,而且为利用待定系数法解题提供了理论基础．②在利用平面向量基本定理时，一定要注意不共线这个条件．③平面向量坐标表示的理论基础就是平面向量的基本定理．在引入向量的坐标表示以后,向量的运算完全化为代数运算,从而实现了“形”和“数"的紧密结合．④一定要把向量的坐标与点的坐标区别开来，只有始点在原点时,向量的坐标才与终点的坐标相等．两个向量相等时坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同．（3）平面向量的数量积①平面向量a与b的数量积a·b＝|a|｜b|cosθ是数量，其中θ的取值范围是0≤θ≤π。②由a≠0,且a·b＝0不能推出b＝0。③由a·b＝b·c不能推出a＝c.④平面向量的数量积不满足结合律，即(a·b)c与a（b·c)不一定相等．⑤为便于区别两向量的数量积、数乘向量、数乘数三种运算，可对照下表记忆：数量积数乘向量数乘数运算对象两个向量一个实数与一个向量两个实数运算结果实数向量实数结合律不满足满足满足逆运算不存在存在存在(4)平面向量的应用①向量是数学中证明几何命题的有效工具之一，利用实数与向量的积可证明共线、平行、长度等问题；利用数量积可解决长度、角度、垂直等问题．②平面向量的应用，体现在高考中主要是在几何中的应用，平面几何中的许多性质，如平移、全等、相似、长度（距离）、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来．③用向量的方法解决几何问题时，首先要用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素,然后通过向量的运算,特别是数量积运算来研究点、线段等元素之间的关系，最后把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论．教学分析向量的重要性可与函数相比,函数思想是整个中学数学的最重要的思想之一,它贯穿于整个中学的每一个学习阶段；而向量可作为一种重要的解题方法，渗透于高中数学的许多章节,它与函数、三角、复数、立体几何、解析几何等知识的联系是显而易见的．因此复习时,要特别重视向量概念、向量运算,并善于与物理中、生活中的模型进行模拟和联想,利用直观的教学手段和方法，帮助学生正确理解、掌握向量的有关概念、运算及几何意义．变抽象为形象，变被动接受为主动运用向量的知识分析问题、解决问题,从而提高本章复习的教学质量．数与形的紧密结合是本章的显著特点,向量与几何之间存在着对应关系；向量又有加减、数乘及数量积等运算，也有平面向量的坐标运算，因而向量具有几何和代数的双重属性，能沟通几何与代数，从而给了我们一种新的数学方法—-向量法．向量方法宜于把几何从思辨数学化成算法数学,将技巧性解题化成算法解题，因此是一种通法．在教学中引导学生搞清向量是怎样用有向线段表示的,掌握向量运算法则的基本依据，搞清向量运算和实数运算的联系和区别，认识向量平移是平面向量坐标运算的基础．将一个实际问题转化为向量之间的关系问题，用向量建立一个数学模型是一个难点问题．在复习课教学中应注意多举例,引导学生思考并及时总结,逐步培养学生用向量工具解题的思维方向．充分发挥多媒体的作用，向量是建立在平面上的，平移是向量的常见现象,而给学生直观、动态地演示能使学生理解、掌握问题．在复习完本章内容后，还要引导学生反思，重新概括研究思路，这样可以使学生体会数学中研究问题的思想方法，提升学生的数学思维水平．三维目标1．通过展示本章知识网络结构,列出复习提纲,引导学生补充相关内容,加深理解向量概念，平面向量的基本定理,两向量平行与垂直的条件，平面向量的坐标表示及其坐标运算，向量的数量积及其性质，向量的实际应用等知识，提高分析问题、解决问题的能力．2．通过本节对向量有关内容的复习,使学生进一步认识事物之间的相互转化，培养学生的数学应用意识，深刻领悟数形结合思想，转化与化归思想．3．通过一题多解的活动，培养学生的发散性思维能力，同时通过多种方法间的沟通,让学生体验数学的统一美、内在美，逐渐学会用美的心态来看待数学．重点难点教学重点：向量的运算，向量平行、垂直的条件，平面向量的坐标表示及其运算，数量积的理解运用．教学难点：向量的概念、运算法则的理解和利用向量解决物理问题和几何问题．课时安排1课时eq\o(\s\up7（),\s\do5（教学过程)）导入新课思路1.(直接导入)前面一段时间，探究学习了向量的有关知识，并掌握了一定的分析问题与解决问题的方法,提高了我们的思维能力．这一节,我们一起对本章进行小结与复习，来进一步巩固本章所学的知识,强化向量的综合应用．思路2.(问题导入)由于向量具有几何形式和代数形式的双重身份，与代数、几何都有着密切的关系，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点．在中学数学教材中的地位也越来越重要，也成为近几年全国及各省高考命题的重点和热点，根据你所学的本章知识解释一下，它是怎样具有代数、几何双重身份的?向量是怎样进行代数运算的?又是怎样进行几何运算的？你对向量的哪种运算掌握得最好？由此展开全章的复习．推进新课eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知识巩固））eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出问题））1回忆向量的概念：向量的表示，零向量,相等的向量，共线向量.2回忆向量的运算:向量的加减法,数与向量的乘积，向量的数量积及其各运算的坐标表示和性质.3回忆本章学过的重要定理、公式。活动：（1）本章概念较多，学生可能不知如何进行复习，从头到尾重新翻看教材，学生兴趣不大，效果也不好．教师要点拨学生不仅要善于学习知识,而且还要善于归纳整理所学的知识．首先教师引导学生回忆从前所学，指导学生归类比较．比较是最好的学习方法，如向量的表示法：几何表示法为eq\o(AB，\s\up6(→）),a（手写时为eq\o(a，\s\up6（→))），坐标表示法为a＝xi＋yj＝(x,y)．有哪些特殊的向量:a＝0|a|＝0。单位向量：a0为单位向量｜a0|＝1。相等的向量：大小相等,方向相同，a＝b(x1，y1)＝（x2，y2)eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝x2，，y1＝y2)）等等．(2）指导学生从代数运算和几何运算两方面展开思考归纳，引导学生把向量的运算类比数的运算．向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量积及其各运算的坐标表示和性质较杂乱，教师可以利用多媒体课件或投影仪打出下表让学生填写相关内容．运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法平行四边形法则(共起点构造平行四边形）三角（多边）形法则(向量首尾相连）a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2)a＋b＝b＋a(a＋b）＋c＝a＋(b＋c）eq\o(AB，\s\up6（→))＋eq\o（BC，\s\up6（→））＝eq\o（AC，\s\up6（→））向量的减法三角形法则（共起点指向被减）a－b＝(x1－x2，y1－y2)a－b＝a＋（－b）eq\o(AB,\s\up6(→)）＝－eq\o（BA，\s\up6（→))eq\o（OB,\s\up6（→）)－eq\o（OA,\s\up6（→)）＝eq\o（AB，\s\up6(→)）数乘向量λa是一个向量，满足：λ>0时，λa与a同向；λ<0时，λa与a异向；λ＝0时，λa＝0λa＝(λx，λy)λ（μa)＝(λμ）a（λ＋μ)a＝λa＋μaλ（a＋b)＝λa＋λba∥ba＝λb(b≠0)向量的数量积a·b是一个实数a＝0或b＝0或a⊥b时,a·b＝0a≠0且b≠0时,a·b＝｜a||b|cos〈a，b〉a·b＝x1x2＋y1y2a·b＝b·a(λa)·b＝a·(λb）＝λ(a·b）(a＋b)·c＝a·c＋b·ca2＝|a｜2，|a｜＝eq\r(x2＋y2)｜a·b|≤｜a｜|b｜(3）本章的重要定理及公式：a．平面向量基本定理：e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2。b．两个向量平行的充要条件：a∥b（b≠0)存在唯一的实数λ，使得a＝λb；若a＝（x1，y1）,b＝(x2，y2)，则a∥bx1y2－x2y1＝0（b可以为0）．c．两个向量垂直的充要条件：当a、b≠0时，a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0.讨论结果：(1）～(3）略．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(应用示例))例1已知a＝(1,2)，b＝(－3,2）,当k为何值时，(1）ka＋b与a－3b垂直?（2）ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向?活动：向量的垂直、平行关系是向量间最基本、最重要的位置关系，是高考考查的重要内容之一．在解决本题时，教师首先引导学生思考回顾,如何用数量积及有关的定理解决有关长度、角度、垂直的问题;共线的向量和平面向量的两条基本定理,揭示了共线向量和平面向量的基本结构,它们是进一步研究向量的基础，那么，怎样应用向量共线这个条件呢?让学生通过例题仔细体会，进一步熟练、提高．解：（1）ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝（k－3,2k＋2）,a－3b＝（1，2)－3（－3，2)＝（10，－4)，当（ka＋b）·(a－3b)＝0时，这两个向量垂直．由（k－3）·10＋(2k＋2）·（－4）＝0，解得k＝19，即当k＝19时,ka＋b与a－3b垂直．(2)当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．由（k－3，2k＋2）＝λ（10，－4），得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－3＝10λ，，2k＋2＝－4λ。))解这个方程组,得k＝－eq\f(1，3)，λ＝－eq\f(1,3），即当k＝－eq\f（1，3)时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－eq\f(1,3)a＋b。因为λ＝－eq\f(1,3）<0，所以－eq\f（1,3)a＋b与a－3b反向．点评:共线向量的充要条件有两种不同的表示形式，但其本质是一样的，在运用中各有特点，解题时可灵活地选择．在本例中,也可以根据向量平行充要条件的坐标形式，从（k－3）×（－4）－10×(2k＋2）＝0，先解出k＝－eq\f（1,3），然后再求λ.变式训练设坐标平面上有三点A、B、C，i、j分别是坐标平面上x轴、y轴正方向的单位向量，若向量eq\o（AB,\s\up6(→)）＝i－2j，eq\o(BC，\s\up6（→)）＝i＋mj，那么是否存在实数m，使A、B、C三点共线．解：方法一：假设满足条件的m存在，由A、B、C三点共线,即eq\o（AB,\s\up6（→））∥eq\o（BC,\s\up6（→）），∴存在实数λ，使eq\o(AB,\s\up6(→)）＝λeq\o(BC，\s\up6(→）)，i－2j＝λ(i＋mj),eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(λ＝1，λm＝－2。））∴m＝－2，即当m＝－2时，A、B、C三点共线．方法二：假设满足条件的m存在，根据题意可知i＝(1，0)，j＝(0，1)，∴eq\o（AB,\s\up6(→))＝(1,0）－2(0，1）＝（1,－2），eq\o（BC，\s\up6(→））＝（1，0）＋m（0，1）＝(1，m)．由A、B、C三点共线，即eq\o(AB，\s\up6（→))∥eq\o(BC，\s\up6（→)），故1·m－1·(－2）＝0，解得m＝－2。∴当m＝－2时，A、B、C三点共线。例2如图1，已知在△ABC中,eq\o（BC,\s\up6(→））＝a，eq\o(CA,\s\up6（→））＝b,eq\o(AB,\s\up6（→））＝c.若a·b＝b·c＝c·a，求证：△ABC为正三角形．图1活动:引导学生回顾,向量具有二重性，一方面具有“形”的特点,因此有了几何运算；另一方面又具有一套优良的代数运算性质，因此又有了代数运算．对于这两种运算，前者难度大，灵活多变，对学生来说是个难点，后者学生感到熟悉，易于掌握，但应让学生明了，这两种方法都要掌握好，近几年高考题的解答都是以两种解法给出．本题给出的是三角形，对于某些几何命题的抽象的证明，自然可以转化为向量的几何运算问题来解决，请同学们在探究中要注意仔细体会，领悟其实质．教学中，教师要放手大胆地让学生自己去探究，鼓励学生从不同的角度去观察、去发现．真正做到一题多用,一题多变，串联知识，串联方法，使学生在探究过程中掌握孤零知识，提高思维能力,提高复习效率．证法一：由题意,得a＋b＋c＝0，∴c＝－（a＋b）．又∵b·c＝c·a,∴c·(a－b）＝0。∴－a2＋b2＝0。∴|a｜2＝｜b|2，即|a|＝|b｜。同理可得｜c｜＝|b|,∴|a｜＝｜b|＝｜c|。∴△ABC为正三角形．证法二：由题意得a＋b＋c＝0，∴a＝－b－c，b＝－a－c。∴a2＝b2＋c2＋2b·c，b2＝a2＋c2＋2a·c.而b·c＝c·a(已知)，∴a2－b2＝b2－a2。∴a2＝b2.∴|a|2＝｜b|2.∴|a|＝｜b｜.同理可得｜c｜＝|b|，∴|a｜＝｜b|＝｜c｜.∴△ABC为正三角形．证法三：如图2，以AB、BC为邻边作ABCD，则eq\o（AD，\s\up6（→））＝a，eq\o（BD,\s\up6（→）)＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o（AB，\s\up6(→））,∴eq\o(BD，\s\up6（→))＝a－c.图2又∵a·b＝b·c，∴b·（a－c)＝0。∴b·eq\o(BD，\s\up6(→）)＝0。∴b⊥eq\o(BD，\s\up6（→))。∴平行四边形ABCD为菱形．∴AB＝BC。同理可得BC＝AC,∴△ABC为正三角形．证法四：取eq\o(BC，\s\up6(→)）的中点E，连接AE，则eq\o（AE，\s\up6(→)）＝eq\f（1,2）(eq\o(AB,\s\up6(→)）＋eq\o（AC，\s\up6（→）））＝eq\f(1，2）（c－b)，∴eq\o（AE，\s\up6(→）)·a＝eq\f（1,2）(c－b）·a＝0。∴eq\o(AE,\s\up6（→)）⊥a.∴AB＝AC。同理可得BC＝AC,∴△ABC为正三角形．点评：本题给出了四种证法，教师要善于引导学生进行一题多解,这是一种很有效的办法．数学教学中,一题多解训练是培养学生思维灵活的一种良好手段．通过一题多解的训练能沟通知识之间的内在联系，提高学生应用所学的基础知识与基本技能解决实际问题的能力，逐步学会举一反三的本领，在教材安排的例题中，有相当一部分题目存在一题多解的情况，教师要引导学生善于挖掘.变式训练若eq\o(AB，\s\up6(→))·eq\o(BC，\s\up6(→)）＋eq\o（AB,\s\up6(→）)2＝0，则△ABC是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形答案：A例3已知a＝（eq\r(3），－1)，b＝（eq\f（1,2），eq\f(\r（3），2)），且存在实数k和t,使得x＝a＋（t2－3）b，y＝－ka＋tb且x⊥y。试求：eq\f(k＋t2，t)的最小值．解：由已知，得｜a｜＝eq\r（\r(3)2＋－12）＝2，｜b|＝eq\r（\f(1，2)2＋\f(\r(3），2）2)＝1。∵a·b＝eq\r(3）×eq\f(1,2）－1×eq\f(\r(3),2)＝0，∴a⊥b。∵x⊥y，∴x·y＝0，即[a＋（t2－3)b]·（－ka＋tb)＝0.化简,得k＝eq\f（t3－3t，4)，∴eq\f(k＋t2，t)＝eq\f（1,4）（t2＋4t－3)＝eq\f（1,4)(t＋2）2－eq\f（7,4），即t＝－2时，eq\f(k＋t2,t）有最小值－eq\f(7，4）.点评：本题主要训练学生综合运用所学向量知识解决问题的能力，训练学生利用转化的思想以及建立函数模型的建模能力。变式训练1．已知向量a＝（2，2），b＝（－5，m）,c＝(3，4)，若|a＋b|≤|c｜，则实数m的取值范围是（）A．［－4,6]B．[－6,4]C．［－6,2］D．[－2，6］答案：C2。如图3，M是△ABC内一点，且满足条件eq\o(AM,\s\up6(→）)＋2eq\o（BM,\s\up6（→))＋3eq\o（CM，\s\up6(→））＝0，延长CM交AB于N，令eq\o（CM,\s\up6(→）)＝a,试用a表示eq\o（CN，\s\up6(→）).图3解：∵eq\o（AM，\s\up6（→))＝eq\o(AN,\s\up6（→））＋eq\o（NM，\s\up6(→）)，eq\o(BM,\s\up6（→）)＝eq\o（BN，\s\up6(→)）＋eq\o（NM,\s\up6(→))，∴由eq\o(AM，\s\up6(→）)＋2eq\o(BM，\s\up6（→））＋3eq\o(CM，\s\up6（→))＝0,得（eq\o(AN,\s\up6(→）)＋eq\o(NM，\s\up6(→））)＋2(eq\o（BN,\s\up6(→））＋eq\o(NM，\s\up6(→））)＋3eq\o(CM，\s\up6(→))＝0。∴eq\o（AN,\s\up6（→）)＋3eq\o(NM,\s\up6(→)）＋2eq\o(BN，\s\up6(→)）＋3eq\o（CM，\s\up6(→）)＝0.又∵A、N、B三点共线，C、M、N三点共线,由平行向量基本定理，设eq\o(AN,\s\up6(→）)＝λeq\o(BN，\s\up6（→))，eq\o(CM，\s\up6(→）)＝μeq\o(NM，\s\up6(→)）,∴λeq\o(BN,\s\up6(→）)＋3eq\o（NM，\s\up6(→))＋2eq\o(BN,\s\up6（→））＋3μeq\o(NM，\s\up6(→））＝0.∴(λ＋2）eq\o（BN,\s\up6（→))＋（3＋3μ）eq\o(NM,\s\up6（→))＝0.由于eq\o(BN，\s\up6(→)）和eq\o（NM，\s\up6（→))不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋2＝0，，3＋3μ＝0。))∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（λ＝－2,，μ＝－1.)）∴eq\o(CM，\s\up6（→）)＝－eq\o(NM,\s\up6(→))＝eq\o（MN，\s\up6(→））。∴eq\o(CN,\s\up6（→))＝eq\o（CM,\s\up6(→）)＋eq\o(MN，\s\up6（→）)＝2eq\o（CM,\s\up6（→））＝2a。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(课堂小结))1．先由学生回顾本节都复习了哪些向量知识，用了哪些方法，在原来的基础上你有哪些提高？对本章的知识网络结构了然于胸了吗？2．教师点拨,通过本节复习,要求大家在了解向量知识网络结构基础上，进一步熟悉基本概念及运算律,并能熟练运用重要定理、公式解决一些综合问题，加强数学应用意识,提高分析问题、解决问题的能力．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（作业））本章巩固与提高5、11、12、13、14.eq\o（\s\up7(),\s\do5(设计感想))1．本节复习课的设计容量较大，要求应用多媒体课件．教师在引导学生探究的过程中,始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点，让学生在了解向量知识网络结构基础上，进一步熟悉基本概念及运算律，并能熟练重要定理、公式的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．2．本节题目一题多解应用较多．因为在数学知识的学习中,作为扮演教学活动的组织者、引导者和合作者角色的教师，在组织学生学习各数学知识点的同时，如果能善于引导学生沟通各知识点之间的联系,不仅能达到激发学生的发散性思维和多角度的解题思路的目的，而且更重要的是通过注重多种方法间的联系与沟通,学生能深切感受到各种解题方法之间是有联系的，是相通的，而不是孤立、割裂的，从而体会数学的统一美和简洁美，进一步增强对数学学习的兴趣，这样的美在一题多解中是随处可见的．eq\o（\s\up7(）,\s\do5(备课资料)）备用习题1．已知向量a＝(4，3），b＝(－1，2)，若向量a＋kb与a－b垂直，则k的值为…(）A。eq\f（23，3）B．7C．－eq\f(11,3)D．－eq\f(23，3)2．已知向量eq\o(AB，\s\up6(→)）＝（1，2),eq\o（OB,\s\up6(→）)＝（0,1），则下列各点中在直线AB上的是（）A．（0,3）B．（1，1)C．（2，4）D．(2,5)3．向量a的模为10,它与x轴的夹角为150°,则它在x轴上的投影为()A．－5eq\r（3)B．5C．－5D．5eq\r（3)4．若｜a｜＝2,|b|＝5，|a＋b|＝4，则|a－b