数学示范教案：半角的正弦、余弦和正切

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精示范教案3.2。2半角的正弦、余弦和正切eq\o（\s\up7()，\s\do5(整体设计））教学分析本节内容实际上是上节公式的逆用，让学生进一步理解高中数学的转化与化归这一重要数学思想,培养学生运算和逻辑推理能力，提高学生的创新能力．对培养学生的探索精神和发现问题、解决问题的能力具有十分重要的意义．本节教学要求并不高，要求学生了解半角公式，能用公式求值,化简简单的恒等变形即可．因此,在实际教学中不必过多地补充一些高技巧、高难度的练习．有条件的学校可以引导学生进行本节的探索与研究，可使用Scilab编程或用电子表格中公式功能．三维目标1．通过让学生探索、发现并推导半角的正弦、余弦和正切公式，了解它们之间的内在联系，并通过题目训练，加深对三角函数公式的理解,进一步培养学生的运算能力和逻辑推理能力．2．通过对半角公式的运用，会进行简单的求值、化简和恒等证明,使学生进一步养成利用联系变化的观点来观察、分析问题的习惯．3．通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生善于发现和勇于探索的科学精神．重点难点教学重点:半角的正弦、余弦和正切公式的推导及其应用．教学难点:半角公式的灵活运用．课时安排1课时eq\o(\s\up7()，\s\do5(教学过程）)导入新课思路1.（复习引入）我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换．前面已经利用倍角公式进行了简单的化简、求值及解决实际问题，本节将利用二倍角公式的逆用推导出半角公式，并用它来解决一些三角函数式的化简、求值等．思路2.（直接引入)先让学生写出上节课学习的二倍角公式，接着让学生探究公式的逆用，由此展开新课．推进新课eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究））eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（提出问题)）eq\a\vs4\al(1α与\f（α,2)有什么关系？，2如何建立cosα与sin2\f（α，2）之间的关系？,3sin2\f(α,2）＝\f(1－cosα,2），cos2\f(α,2)＝\f(1＋cosα,2）,tan2\f(α，2)＝\f（1－cosα，1＋cosα）这三个式子有什么共同特点?,4通过上面的三个问题，你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同吗？）活动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cosα＝1－2sin2eq\f(α，2)，将公式中的α用eq\f（α,2)代替,解出sin2eq\f(α,2)即可．教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现：α是eq\f（α,2)的二倍角．在倍角公式cos2α＝1－2sin2α中，以α代替2α，以eq\f（α,2）代替α,即得cosα＝1－2sin2eq\f(α,2)，所以sin2eq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,2）,即sineq\f（α，2）＝±eq\r(\f(1－cosα,2））（Seq\f（α,2))①在倍角公式cos2α＝2cos2α－1中，以α代替2α，以eq\f(α,2）代替α，即得cosα＝2cos2eq\f（α，2）－1，所以cos2eq\f（α,2）＝eq\f(1＋cosα，2），即coseq\f（α，2）＝±eq\r（\f(1＋cosα，2))(Ceq\f（α，2)）②将①②两个等式的左右两边分别相除,即得tan2eq\f（α,2)＝eq\f（1－cosα，1＋cosα)，即taneq\f(α，2）＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα）)（Teq\f（α，2))③上面三个公式，称作半角公式．在半角公式中,根号前的正负号，由角eq\f（α，2)所在象限确定．又根据正切函数的定义，得到taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f（α,2)，cos\f（α，2）)＝eq\f(sin\f（α，2)·2cos\f(α，2)，cos\f（α,2)·2cos\f(α，2）)＝eq\f(sinα,1＋cosα）；④taneq\f(α,2）＝eq\f(sin\f(α,2)，cos\f(α,2）)＝eq\f(sin\f(α,2)·2sin\f(α，2），cos\f(α,2)·2sin\f（α，2）)＝eq\f(1－cosα，sinα）.⑤这样我们就得到另外两个公式：taneq\f(α，2）＝eq\f(sinα,1＋cosα）；taneq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα，sinα)。这即为本节教材中的例2，因其不带正负号，用起来有其独到之处．在这些公式中，根号前面的符号由eq\f（α，2)所在象限相应的三角函数值的符号确定,如果eq\f（α,2)所在象限无法确定,则应保留根号前面的正、负两个符号．教师引导学生观察上面的①②③④⑤式,可让学生总结出下列特点：（1)用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数；(2）由左式的“二次式”转化为右式的“一次式"(即用此式可达到“降次”的目的)．教师与学生一起总结出这样的特点，并告诉学生这些特点在三角恒等变形中将经常用到．提醒学生在以后的学习中引起注意．教师引导学生通过这两种变换共同讨论归纳得出：对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异．因此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点．代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．讨论结果:（1)α是eq\f（α,2)的二倍角．(2)sin2eq\f（α,2）＝eq\f(1－cosα，2）。(3）(4)略（见活动）．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(应用示例))思路1例1已知cosα＝eq\f(7，25）,求sineq\f（α,2)，coseq\f(α,2)，taneq\f（α,2）的值．解：sineq\f(α,2）＝±eq\r（\f（1－cosα,2)）＝±eq\r(\f(1－\f（7,25),2））＝±eq\f（3,5），coseq\f（α,2)＝±eq\r（\f(1＋cosα，2））＝±eq\r（\f（1＋\f（7,25），2）)＝±eq\f（4，5)，taneq\f（α,2）＝eq\f（sin\f(α，2）,cos\f(α,2））＝±eq\f(\f（3,5),\f(4，5）)＝±eq\f(3,4）。变式训练1．求sin15°，cos15°,tan15°的值．解:因为15°是第一象限的角，所以sin15°＝eq\r(\f(1－cos30°,2））＝eq\r（\f(1－\f(\r(3）,2），2))＝eq\f（\r(2－\r(3))，2）＝eq\f(\r（8－4\r(3）），4)＝eq\f(\r（\r（6）－\r（2)2）,4)＝eq\f(\r(6)－\r(2），4)；cos15°＝eq\r(\f（1＋cos30°，2))＝eq\r（\f（1＋\f（\r(3)，2）,2））＝eq\f（\r(2＋\r（3))，2)＝eq\f（\r（8＋4\r(3）)，4）＝eq\f(\r(\r(6）＋\r(2)2),4）＝eq\f(\r（6)＋\r(2），4);tan15°＝eq\r（\f(1－cos30°,1＋cos30°））＝2－eq\r(3）。2．已知θ为第二象限角，sin(π－θ）＝eq\f(24，25），则coseq\f(θ，2）的值为（）A.eq\f(3，5）B.eq\f（4,5)C．±eq\f(3，5)D．±eq\f（4，5)解析：∵sin(π－θ)＝eq\f(24,25)，∴sinθ＝eq\f（24,25）。又θ为第二象限角，∴cosθ＝－eq\f(7,25），cosθ＝2cos2eq\f（θ，2)－1，而eq\f(θ,2)在第一、三象限，∴coseq\f(θ，2)＝±eq\f（3，5).答案：C例2已知sin2α＝－eq\f(12,13）,π＜2α＜eq\f（3π，2），求tanα。解：因为π＜2α＜eq\f（3π,2），故eq\f（π,2）＜α＜eq\f(3π,4),有cos2α＝－eq\r(1－sin22α)＝－eq\r(1－－\f(12,13）2)＝－eq\f（5,13）,所以tanα＝eq\f（1－cos2α,sin2α)＝eq\f(1＋\f（5，13），－\f（12,13）)＝－eq\f(3，2).变式训练1．已知sinθ＋cosθ＝eq\f（1,5)，且eq\f（π,2）≤θ≤eq\f(3π,4），则cos2θ的值是__________．答案：－eq\f（7,25)2．函数f（x)＝sin2x＋eq\r(3）sinxcosx在区间[eq\f（π，4)，eq\f（π，2）］上的最大值是…（)A．1B。eq\f(1＋\r(3），2）C。eq\f(3,2）D．1＋eq\r(3)答案：C思路2例1已知sin2010°＝－eq\f(1，2），求sin1005°,cos1005°,tan1005°的值．解：因为2010°＝5×360°＋210°是第三象限的角，所以cos2010°＝－eq\r（1－sin22010°)＝－eq\f(\r（3),2)。又1005°＝2×360°＋285°是第四象限的角，所以sin1005°＝－eq\r（\f(1－cos2010°，2)）＝－eq\f(\r（2＋\r（3))，2)＝－eq\f(\r(6)＋\r（2），4)，cos1005°＝eq\r(\f(1＋cos2010°，2))＝eq\f(\r(2－\r(3)),2）＝eq\f(\r(6）－\r（2),4)，tan1005°＝eq\f(sin1005°，cos1005°)＝－eq\f（\r(6）＋\r(2）,\r（6)－\r（2）)＝－eq\f(8＋4\r（3）,4)＝－2－eq\r(3).变式训练求coseq\f（π,8)的值．解：因为eq\f（π,8）是第一象限的角,所以coseq\f(π,8)＝eq\r（\f（1＋cos\f（π，4)，2))＝eq\r(\f(1＋\f(\r（2）,2),2)）＝eq\f(1,2）eq\r（2＋\r(2)）。例2证明eq\f（1＋sinx，cosx)＝tan（eq\f（π，4）＋eq\f（x，2)）．活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明,可从三个角度进行推导:①左边→右边；②右边→左边;③左边→中间条件←右边．教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导．注意式子左边包含的角为x，三角函数的种类为正弦,余弦，右边是半角eq\f(x,2），三角函数的种类为正切．证明：方法一:从右边入手，切化弦,得tan（eq\f(π,4)＋eq\f（x,2))＝eq\f（sin\f(π，4)＋\f(x,2）,cos\f（π，4）＋\f（x,2)）＝eq\f（sin\f（π，4)cos\f(x，2）＋cos\f(π,4)sin\f(x,2)，cos\f(π,4)cos\f（x,2）－sin\f（π,4）sin\f（x,2））＝eq\f（cos\f（x，2)＋sin\f(x，2)，cos\f（x,2）－sin\f(x，2)），由左右两边的角之间的关系,想到分子分母同乘以coseq\f(x,2）＋sineq\f(x,2），得eq\f（cos\f(x,2）＋sin\f(x，2）2，cos\f(x,2）＋sin\f(x，2）cos\f(x，2）－sin\f（x，2))＝eq\f(1＋sinx,cosx)。方法二:从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得eq\f(1＋sinx，cosx)＝eq\f(cos\f（x，2）＋sin\f（x,2)2,cos\f(x，2）＋sin\f(x,2)cos\f(x，2)－sin\f(x，2））＝eq\f(cos\f（x，2)＋sin\f(x,2），cos\f（x，2）－sin\f（x，2））.由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以coseq\f（x，2)，得eq\f（1＋tan\f(x，2）,1－tan\f（x,2))＝eq\f（tan\f(π,4)＋tan\f（x,2），1－tan\f(π，4）tan\f（x，2)）＝tan(eq\f(π,4)＋eq\f(x,2）).变式训练已知α，β∈（0，eq\f（π，2）)且满足：3sin2α＋2sin2β＝1,3sin2α－2sin2β＝0，求α＋2β的值．解法一：3sin2α＋2sin2β＝13sin2α＝1－2sin2β，即3sin2α＝cos2β,①3sin2α－2sin2β＝03sinαcosα＝sin2β，②①2＋②2,得9sin4α＋9sin2αcos2α＝1，即9sin2α(sin2α＋cos2α)＝1，∴sin2α＝eq\f（1，9）。∵α∈(0，eq\f（π，2）)，∴sinα＝eq\f（1，3).∴sin（α＋2β）＝sinαcos2β＋cosαsin2β＝sinα·3sin2α＋cosα·3sinαcosα＝3sinα（sin2α＋cos2α)＝3×eq\f（1,3）＝1。∵α，β∈（0,eq\f(π，2)），∴α＋2β∈（0，eq\f（3π,2）)．∴α＋2β＝eq\f(π,2)。解法二:3sin2α＋2sin2β＝1cos2β＝1－2sin2β＝3sin2α,3sin2α－2sin2β＝0sin2β＝eq\f(3,2）sin2α＝3sinαcosα，∴cos(α＋2β）＝cosαcos2β－sinαsin2β＝cosα·3sin2α－sinα·3sinαcosα＝0。∵α，β∈(0，eq\f（π，2))，∴α＋2β∈(0,eq\f(3π,2))．∴α＋2β＝eq\f（π，2)。解法三：由已知3sin2α＝cos2β，eq\f(3,2）sin2α＝sin2β，两式相除，得tanα＝cot2β,∴tanα＝tan(eq\f（π,2）－2β）．∵α∈（0，eq\f(π，2))，∴tanα>0。∴tan(eq\f(π，2)－2β)〉0。又∵β∈（0，eq\f（π，2）)，∴－eq\f（π，2)<eq\f(π,2）－2β<eq\f(π,2）.结合tan（eq\f（π,2）－2β)〉0，得0<eq\f(π,2）－2β〈eq\f（π，2）.∴由tanα＝tan(eq\f(π，2）－2β),得α＝eq\f（π,2）－2β,即α＋2β＝eq\f(π,2).例3求证：eq\f（sinα＋βsinα－β,sin2αcos2β)＝1－eq\f(tan2β,tan2α）。活动：证明三角恒等式，一般要遵循“由繁到简”的原则，另外“化弦为切"与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法．证法一:左边＝eq\f（sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ，sin2αcos2β)＝eq\f(sin2αcos2β－cos2αsin2β，sin2αcos2β）＝1－eq\f(cos2αsin2β,sin2αcos2β）＝1－eq\f(tan2β,tan2α）＝右边，∴原式成立．证法二：右边＝1－eq\f(cos2αsin2β，sin2αcos2β）＝eq\f(sin2αcos2β－cos2αsin2β,sin2αcos2β）＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ，sin2αcos2β）＝eq\f(sinα＋βsinα－β,sin2αcos2β）＝左边，∴原式成立．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（课堂小结))1．先让学生自己回顾本节学习的数学知识：和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用，半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系，三角恒等式与条件等式的证明．2．教师画龙点睛总结：本节学习了公式的应用，换元法，方程思想，等价转化，三角恒等变形的基本方法．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（作业）)课本本节习题3-2A组3，4,5，B组1～3.eq\o（\s\up7(），\s\do5（设计感想））1．本节主要学习了怎样推导半角公式以及如何利用已有的公式进行简单的恒等变换．在解题过程中，应注意对三角式的结构进行分析,根据结构特点选择合适公式，进行公式变形，还要思考一题多解、一题多变,并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，“1”的代换，逆用公式等．2．在近几年的高考中，对三角变换的考查仍以基本公式的应用为主，突出对求值的考查，特别是对平方关系及和角公式的考查应引起重视，其中对符号的判断是经常出问题的地方，应用诱导公式时符号问题也是常出错的地方．eq\o(\s\up7(），\s\do5(备课资料))备用习题1．已知cosα＝eq\f(5，13）（eq\f(3π，2)＜α＜2π），则taneq\f（α,2）等于()A。eq\f(2，3）B.eq\f(3,2)C．－eq\f(3，2)D．－eq\f（2,3）2．已知α为钝角，β为锐角，且sinα＝eq\f(4，5），sinβ＝eq\f(12，13）,则coseq\f(α－β，2）等于()A．7B．－7C．－eq\f（7\r（65）,65）D。eq\f（7\r（65),65）3．若sin(eq\f（π,6)－α）＝eq\f(1,3)，则cos（eq\f(2π，3)＋2α）等于(）A．－eq\f(7,9）B．－eq\f（1,3）C.eq\f(1，3)