自动控制原理3.1

第三章时域分析法第三章时域分析法上一章中，我们介绍了如何确定系统的数学模型。在确定了模型后，就可以用不同的方法去分析控制系统的性能了。在经典控制理论中，常用时域分析法、根轨迹法、频域法来分析线性系统的性能。时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，可以提供系统时间响应的全部信息，具有直观、准确的优点。第三章时域分析法一、线性系统时间响应的性能指标

控制系统性能的评价分为动态性能指标和稳态性能指标两类。

其动态性能可以通过对输入信号的响应过程来评价。系统的时间响应过程不仅取决于系统本身的特性，还与系统的初始状态和外加输入信号的形式有关。一般，外加输入信号具有随机性而无法预先确定，因此，在分析和设计控制系统时，需要有一个对控制系统的性能进行比较的基准，这个基准就是系统对预先规定的具有典型意义的实验信号，即典型输入信号的响应。为了评价控制系统的性能，需要选择若干典型输入信号。一、线性系统时间响应的性能指标1.典型输入信号条件：（1）输入信号的形式应反映系统在工作过程中所响应的实际输入；（2）输入信号在形式上应尽可能简单，以便于对系统响应的分析；（3）应选取能使系统工作在最不利情况下的输入信号作为典型输入信号。

如何选取典型的输入信号呢？1.典型输入信号㈠阶跃函数阶跃函数的数学表达式为：

其中R为常数，表示阶跃函数信号的幅值。

当R=1时为单位阶跃函数，其拉氏变换为：1.典型输入信号㈡单位脉冲函数单位脉冲函数的数学表达式为：且其拉氏变换为：1.典型输入信号㈢斜坡函数斜坡函数的数学表达式为其中R为常数。当R=1时表示的是单位斜坡函数，记为t·1（t），它等于单位阶跃函数对时间的积分。单位斜坡函数的拉氏变换为

R（S）=L[r(t)]=1/s21.典型输入信号㈣抛物线函数（匀加速函数）抛物线函数的数学表达式为式中R为常数。

当R=1时，为单位抛物线函数，记为其拉氏变换为1.典型输入信号㈤正弦函数其数学表达式为

A是正弦函数的幅值。其拉氏变换为1.典型输入信号总结：在分析和设计控制系统时，究竟采用哪一种典型输入信号作为实验信号，需要根据系统的实际情况来决定。一般而言：（1）如果系统的实际输入大部分是随时间逐渐增加的信号，选择斜坡函数作为实验信号较为合适；（2）如果系统输入端的信号突然出现扰动时，应选择阶跃函数作为实验信号；（3）如果系统的输入端的信号是冲击输入量时，选择脉冲函数较适宜；（4）如果是工作在舰船上的一类控制系统，由于经常受到海浪的干扰，则用正弦函数或至少用抛物线函数作为实验函数是合理的。第三章时域分析法二、控制系统的时域性能指标为了评价线性系统的时间响应的性能，需要研究其在典型输入信号作用下的时间响应过程。在典型输入信号作用下，控制系统的时间响应可分为动态过程和稳态过程两个部分。二、控制系统的时域性能指标

1动态过程也称过渡过程或瞬态过程，指系统在典型输入信号作用下，其输出量从初始状态到最终状态的过程。根据系统结构和参数选择的情况，动态过程表现为衰减、发散和等幅振荡几种形态。显然，一个可以正常运行的控制系统，其动态过程必须是衰减的，换句话说系统必须是稳定的。动态过程除提供系统稳定的信息外，还可以提供其响应速度和阻尼情况等信息，这些信息用系统的动态性能描述。

二、控制系统的时域性能指标2稳态过程也称系统的稳态响应，指系统在典型输入信号的作用下，当时间t趋于无穷大时，其输出量的表现形式。稳态过程表征系统输出量最终复现输入量的程度，提供系统稳态误差的信息，用系统的稳态性能描述。实际应用中，认为当系统的输出对其输入的复现进入到允许的误差范围后，系统即进入稳态。二、控制系统的时域性能指标由上述两点可见，控制系统在典型输入信号作用下的性能指标由动态性能指标和稳态性能指标两部分组成。一般认为阶跃输入对系统来说是最为严峻的工作状态，通常在阶跃函数作用下测定或计算系统的动态性能。而系统的动态性能指标就用其在单位阶跃函数作用下的响应，即系统的单位阶跃响应的特征量来描述。二、控制系统的时域性能指标为便于分析和比较，假定系统在单位阶跃输入信号作用前处于静止状态，而且系统输出量及其各阶导数均等于零。对于大多数控制系统来说，这种假设是符合实际情况的。控制系统的典型单位阶跃响应曲线如图所示：二、控制系统的时域性能指标单位阶跃响应及动态性能指标二、控制系统的时域性能指标根据图中展示的响应特性，定义如下动态性能指标：（1）上升时间。指阶跃响应从零第一次上升到其稳态值所需要的时间。考虑到不灵敏区或允许的误差，工程上有时取响应从稳态值的10%上升到稳态值的90%所需要的时间。（2）峰值时间。指阶跃响应从运动开始到达第一个峰值的时间。（3）延迟时间。指阶跃响应从运动开始第一次达到其稳态值的50%所需要的时间。二、控制系统的时域性能指标（4）调节时间。又称过渡过程时间，指系统的动态过渡过程时间。应用中，以阶跃响应的稳态值为基准设置允许误差带宽度为±Δ，阶跃响应进入误差带的时间定义为调节时间。

Δ为阶跃响应稳态值的2%或5%。（5）超调量σ%。指阶跃响应的最大峰值超出其稳态值的部分，用百分比表示为：二、控制系统的时域性能指标上述五个动态性能指标基本上可以体现系统动态过程的特征。其中，、、反映了系统响应的初始快速性（起动速度）；体现了系统响应的总体快速性（系统收敛的速度）；σ%描述了系统响应的平稳性或系统的阻尼程度。稳态性能指标是表征系统控制准确性的性能指标，一般用稳态误差来描述。对单位反馈控制系统，当时间t

时，系统单位阶跃响应的实际值与期望值之间的差就定义为稳态误差，记为ess。第三章时域分析法三、一阶系统时域分析可以用一阶微分方程描述的系统被称为一阶系统。一阶系统的传递函数为典型闭环控制的一阶系统的结构图为C(s)-R(s)三、一阶系统时域分析1一阶系统的单位阶跃响应

设系统的输入为单位阶跃函数r(t)=1(t),其拉氏变换为R(s)=1/s,则输出的拉氏变换为

对上式进行拉氏反变换，求得单位阶跃响应为

三、一阶系统时域分析一阶系统的单位阶跃响应

上式表明，当初始条件为零时，一阶系统单位阶跃响应的变化曲线是一条单调上升的指数曲线,式中的1为稳态分量，-e-t/T为瞬态分量，当t→∞时，瞬态分量衰减为零。在整个工作时间内，系统的响应都不会超过稳态值。由于该响应曲线具有非振荡特征，故也称为非周期响应。

一阶系统的单位阶跃响应曲线如下图所示。

三、一阶系统时域分析一阶系统的单位阶跃响应

图中指数响应曲线的初始（t=0时）斜率为1/T。因此，如果系统保持初始响应的变化速度不变，则当t=T时，输出量就能达到稳态值。斜率1C(t)0.95T3T0.632一阶系统的单位阶跃响应三、一阶系统时域分析实际上，响应曲线的斜率是不断下降的，经过T时间后，输出量C（T）从零上升到稳态值的63.2%。经过3T～4T时，

C（t）将分别达到稳态值的95%～98%。可见，时间常数T反应了系统的响应速度，T越小，输出响应上升越快，响应过程的快速性也越好。一阶系统的单位阶跃响应无超调量，主要性能指标是调节时间，一般取

=3T(Δ=5%C())=4T(Δ=2%C())

三、一阶系统时域分析2一阶系统的单位脉冲响应

设系统的输入为单位脉冲函数r(t)=δ(t),其拉氏变换为R(s)=1,则输出响应的拉氏变换为对上式进行拉氏反变换，求得单位脉冲响应为

t≥0三、一阶系统时域分析一阶系统的单位脉冲响应是单调下降的指数曲线，

曲线的初始斜率为-1/T2，输出量的初始值为1/T

。

当t趋于∞时，输出量c(∞)趋于零，所以它不存在

稳态分量。在实际中一般认为在

t=3T～4T时过渡过程结束，故系

统过渡过程的快速性取决于T的值，

T越小系统响应的快速性也越好。0.368C(t)3T斜率C(t)T2Tt一阶系统的脉冲响应三、一阶系统时域分析3一阶系统的单位斜坡响应

设系统的输入为单位斜坡函数r(t)=t，其拉氏变换为R(s)=1/s2则输出的拉氏变换为

t≥0三、一阶系统时域分析式中，t-T为稳态分量，Te-T/t

为瞬态分量，当t→∞时，瞬态分量衰减到零。一阶系统的单位斜坡响应曲线如图所示。TtTC(t)r(t)=to

一阶系统的单位斜坡响应三、一阶系统时域分析

显然，系统的响应从t=0时开始跟踪输入信号而单调上升，在达到稳态后，它与输入信号同速增长，但它们之间存在跟随误差。即且

可见，当t趋于无穷大时，误差趋近于T，因此系统在进入稳态以后，在任一时刻，输出量c(t)

将小于输入量r(t)一个T的值，时间常数T越小，系统跟踪斜坡输入信号的稳态误差也越小。三、一阶系统时域分析输入信号输出响应1（t）1-e-t/Tt≥0δ（t）1/T·e-t/Tt≥0t1（t）t-T+Te-t/T

t≥0

一阶系统对典型输入信号的响应关系式三、一阶系统时域分析表中各响应说明如下结论：（1）一