山东省济宁市梁山县2024-2025学年高二上学期数学期中模拟题含答案

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题只有一项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出直线的斜率，再根据倾斜角的正切值等于斜率，结合倾斜角的范围即可求解.【详解】由可得，所以直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，因为，所以，故选：D.2.如图，在空间四边形中，设分别是，的中点，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的平行四边形法则得出，再由平面向量的三角形加法运算法则即可得出结果.【详解】解：由题可知，分别是，的中点，根据平面向量的平行四边形法则，可得，再由平面向量的三角形加法法则，得出：.故选：C.3.如图是一个古典概型的样本空间和随机事件，其中，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据韦恩图，进行分析，结合古典概型计算即可.【详解】，则,则.故选：B4.已知圆的一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，圆心坐标为，则此圆的方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，设这条直径与轴交点为，与轴交点为，圆的半径为；由中点坐标公式可得，即可求出的值，再结合两点间距离公式可求出的值，根据圆的标准方程，即可求出结果．【详解】根据题意，圆的一条直径的两个端点分别在轴和轴上，设这条直径与轴交点为，与轴交点为，圆的半径为；又由圆心坐标为，则有，解可得，又，所以，所以圆的方程为：.故选：B．【点睛】本题考查圆的标准方程的求法，属于基础题．5.设aR，则“a＝1”是“直线：ax＋2y－1＝0与直线：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】∵当a=1时，直线：x+2y﹣1=0与直线：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选A．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．6.已知曲线，则的最大值，最小值分别为（）A.＋2，－2 B.＋2，C.，－2 D.，【答案】C【解析】【分析】由题意可得曲线表示的图形为以为圆心，2为半径的半圆，表示半圆上的动点与点的距离，作出图象，结合图象求解即可．【详解】由，可知，，且有，表示的图形为以为圆心，2为半径的半圆，如图所示：又因为表示半圆上的动点与点的距离，又因为，所以的最小值为，当动点与图中点重合时，取最大值，故选：C．7.在下列命题中：①若向量共线，则向量所在的直线平行；②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；③若三个向量两两共面，则向量共面；④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得其中正确命题的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】根据向量共线，共面的性质逐一分析每个选项.【详解】对于①，若向量共线，则向量所在的直线平行，也可能共线，故①错误；对于②，由于向量可以平移，两个向量一定共面，故②错误；对于③，任意两个向量自然是两两共面，三个向量则不一定共面，例如空间直角坐标系轴所在的向量两两共面，但是显然轴不共面，故③错误；对于④，若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立，故④错误.于是四个选项都是错的.故选：A8.已知动点与两个定点的距离之比为2，那么直线的斜率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，求出点的轨迹方程，数形结合求得直线的斜率范围.详解】设动点Mx,y，则，化简得，所以点的轨迹为圆，如图，过点作圆的切线，连接，则，，所以，同理，则直线的斜率范围为.故选：C.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．9.已知直线l一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（）A.与直线垂直B.的倾斜角等于C.在y轴上的截距为D.圆上存在两个点到直线的距离等于【答案】AD【解析】【分析】由直线的方向向量可求得直线的斜率，从而可求出直线的倾斜角和直线方程，进而可判断A，B，C，利用圆心到直线的距离确定直线与圆的位置关系，再找到圆周上的点到直线的最近距离，即可判断D.【详解】因为直线的一个方向向量，所以直线的斜率，又直线经过点，代入点斜式方程可得，，即直线的方程为：.对于A，将直线化为斜截式方程可得，，斜率为，又直线的斜率，因为，所以直线与直线垂直，故A正确；对于B，由直线的斜率为，设直线的倾斜角为，，则，所以，故B不正确；对于C，令，代入直线的方程，得，即直线在轴上的截距等于，故C不正确；对于D，圆的圆心到直线的距离d=2332因此直线与圆相离，又圆上点到直线的最近距离为，因此可得圆上存在两个点到直线的距离等于，故D正确；故选：AD.10.下列命题正确的是（）A.设A，B是两个随机事件，“A与是互斥事件”是“与互为对立事件”的充分不必要条件B.若，则事件A，B相互独立与A，B互斥一定不能同时成立C.若三个事件A，B，C两两独立，则满足D.若事件A，B相互独立，，则【答案】BD【解析】【分析】通过运用互斥事件、独立事件以及充分条件和必要条件，即可解答.【详解】A选项：互斥事件是指两个事件不可能同时发生，而对立事件是指两个互斥事件中必有一个发生，互斥事件是对立事件的必要条件，但对立事件是互斥事件的充分条件，所以“A与是互斥事件”是“与互为对立事件”的必要不充分条件，故A选项错误；B选项：若事件A，B相互独立与A，B互斥同时成立，那么若事件A，B相互独立，则；若事件A，B互斥，则，两者矛盾，故B选项正确；C选项：考虑投掷两个骰子，记事件为第一个骰子的点数为奇数，事件为第二个骰子点数为奇数，事件为两个骰子的点数之和为奇数，于是有，,故C选项错误；D选项：由题意，又因为事件,相互独立，所以故D选项正确；故选：BD.11.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知直角坐标系中，，满足的点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（）A.点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆B.轨迹C上的点到直线的最小距离为C.若点在轨迹C上，则的最小值是D.圆与轨迹C有公共点，则a的取值范围是【答案】ACD【解析】【分析】利用两点距离公式计算可判定A，利用直线与圆的位置关系可判定B、C，利用两圆的位置关系可判定D.【详解】设Px,y，由，整理得，显然点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故A正确；圆心到直线的距离，所以轨迹C上的点到直线的最小距离为，故B错误；设，易知圆心到直线的距离，故C正确；易知圆的半径为2，则其与轨迹C相交或相外切时符合题意，则圆心距，解之得，故D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分12.体育课上甲、乙两名同学进行投篮比赛（甲、乙各投篮一次），甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.8，则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为______.【答案】##【解析】【分析】根据相互独立事件的乘法概率公式即可求解.【详解】记“甲投中”，“乙投中”，则，所以甲、乙两人恰好有一人投中的概率为故答案为：0.38.13.设，向量，，，且，，则__________.【答案】3【解析】【分析】根据空间向量平行和垂直的坐标表示求出和的值，进而可得的坐标，再由模长的坐标表示计算模长即可求解.【详解】因为，，，且，，所以，12=y−4=1所以，，，所以.故答案为：.14.设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】可得直线分别过定点和且垂直，可得设，则，,,则，利用正弦函数的性质求值域即可．详解】由题意可知，动直线，经过定点，动直线即，经过定点，时，动直线和动直线的斜率之积为，时，也垂直，所以两直线始终垂直，又P是两条直线的交点，，．设，则，，由且，可得，，，，，，故答案为：.【点睛】关键点点睛：因为，设，则，，则，即可求得的取值范围.四、解答题：本大题共6小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.若直线的方程为.（1）若直线与直线垂直，求的值；（2）若直线在两轴上的截距相等，求该直线的方程.【答案】（1）1；（2），．【解析】【分析】（1）直线与直线垂直，可得，解得．（2）当时，直线化为：．不满足题意．当时，可得直线与坐标轴的交点，．根据直线在两轴上的截距相等，即可得出．【详解】解：（1）直线与直线垂直，，解得．（2）当时，直线化：．不满足题意．当时，可得直线与坐标轴的交点，．直线在两轴上的截距相等，，解得：．该直线的方程为：，．【点睛】本题考查了直线的方程、相互垂直的直线斜率之间关系、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.在平行四边形中，，,将沿折起，使得平面平面，如图．（1）求证：；（2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质定理确定平面，即可求证；（2）建系，求得直线的方向向量和平面的法向量，代入夹角公式即可.【小问1详解】因为平面，平面平面平面所以平面又平面所以．【小问2详解】过点在平面内作，如图．由（1）知平面平面所以．以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐坐标系．依题意，．则．设平面的法向量．则即．取得平面的一个法向量．设直线与平面所成角为，则sinθ=cos<n即直线与平面所成角的正弦值为．17.某校为了厚植文化自信､增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有两道题目，比赛按先题后题的答题顺序各答1次，答对题得2分，答对题得3分，答错得0分.已知学生甲答对题的概率为，答对题的概率为，其中，学生乙答对题的概率为，答对题的概率为，且甲乙各自在答两题的结果互不影响.已知甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为.（1）求的值；（2）求比赛后，甲乙总得分不低于8分的概率.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）由概率乘法公式列出等式求解即可.（2）记甲得分为i分的事件为，乙得分为i分的事件为，从而得到不低于8分的事件为，再结合概率加法、乘法公式即可求解.【小问1详解】由题意得，解得.【小问2详解】比赛结束后，甲､乙个人得分可能为.记甲得分为i分的事件为，乙得分为i分的事件为，相互独立，记两轮投篮后甲总得分不低于8分为事件E，则，且彼此互斥.易得.，所以所以两轮投篮后，甲总得分不低于8分的概率为.18.如果，，，，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线，（1）求所在圆与所在圆的公共弦方程；（2）求与的公切线方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出两段弧所在的圆的方程，两个圆的方程相减即可得公共弦所在的直线的方程；（2）设出公切线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解.【详解】（1）所在的圆是以为圆心，半径为的圆，所以所在圆的方程为，所在的圆是以为圆心，半径为的圆，所以所在圆的方程为，两圆的方程相减可得：即；（2）因为所在的圆是以为圆心，半径为的圆，所在的圆是以为圆心，半径为的圆，所以与所在圆的的公切线平行于经过点、的直线，所以所求切线的斜率为，设公切线的方程为，则点到的距离，解得：或（舍）所以公切线的方程为.19.四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．（3）在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解答（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）取的中点，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可求解；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解平面与平面的夹角，即可求解；（3）设，利用空间向量法求解与平面的夹角，从而求解.【小问1详解】如图1，取的中点，连接.因为且，又