2024年新高一数学初升高衔接《幂函数》含答案解析

数学PAGE1数学第12讲幂函数模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．了解幂函数的概念；2．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象，掌握它们的性质；3．能利用幂函数的单调性比较幂的大小.知识点1幂函数的概念1、幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2、幂函数的特征：（1）xα的系数是1；（2）xα的底数x是自变量；（3）xα的指数α为常数．只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．知识点2幂函数的图象与性质1、五个具体幂函数的图象当时，可得到五个幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，，在同一直角坐标系中，通过秒点发得到五个幂函数的图象，如下图所示．2、五个具体幂函数的性质观察上图，可以得到五个幂函数的性质如下：函数定义域值域奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增函数在上递增，在上递减增函数增函数在和上递减过定点点3、一般幂函数的性质（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；（2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；（3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；（4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．知识点3作幂函数图象的步骤第一步：画出第一象限的部分。幂函数在第一象限内的图象类似于“三个代表”的图象：（1）当时，以为代表，；（2）当时，以为代表；（3）当时，以为代表．第二步：求幂函数的定义域。幂函数在第二或第三象限内是否有图象，取决于定义域．第三步：若幂函数在轴左侧有图象，则可以研究函数的奇偶性，根据其奇偶性画出轴左侧的图象．知识点4利用幂函数解不等式的步骤利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量或者幂指数的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题。解题步骤如下：（1）确定可以利用的幂函数；（2）借助相应幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量或幂指数的大小关系；（3）解不等式（组）求参数范围，注意分类讨论思想的应用。考点一：判断是否为幂函数例1．（23-24高一上·新疆·月考）下列函数中幂函数的是（

）A． B． C． D．【变式1-1】（22-23高一下·湖北·月考）下列函数是幂函数的是（

）A． B． C． D．【变式1-2】（23-24高一上·四川广安·期中）（多选）下列选项中哪些是幂函数（

）．A． B． C． D．【变式1-3】（23-24高一上·四川雅安·月考）（多选）下列函数是幂函数的是（

）A． B． C． D．考点二：求幂函数的解析式例2.（23-24高一上·广东湛江·期中）已知幂函数的图象经过点，则（

）A． B．1 C．2 D．3【变式2-1】（23-24高一下·辽宁本溪·开学考试）已知幂函数的图象过点，则（

）A． B． C． D．【变式2-2】（23-24高一上·浙江杭州·期中）若函数是幂函数，且满足，则的值为.【变式2-3】（23-24高一上·浙江杭州·期中）若幂函数的图像过点，则此函数的解析式是.考点三：求幂函数的定义域例3.（23-24高一上·山西吕梁·月考）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（

）A． B． C． D．【变式3-1】（23-24高一上·广东广州·期中）幂函数图象过点，则的定义域为（

）A． B． C． D．【变式3-2】（23-24高一上·福建龙岩·期末）若幂函数的图象过点，则的定义域是（

）A． B． C． D．【变式3-3】（23-24高一上·江苏南京·期中）已知幂函数的定义域为，且，则的值为（

）A． B．0 C．1 D．2考点四：求幂函数的值域例4.（23-24高一下·辽宁·月考）函数的值域为.【变式4-1】（23-24高一上·江苏宿迁·月考）已知函数，则（

）A．的最大值为 B．的最大值为1C．的最小值为1 D．的最小值为0【变式4-2】（22-23高一上·湖北襄阳·期末）下列函数中，值域为的是（

）A． B．C． D．【变式4-3】（23-24高一上·全国·课后作业）函数，其中，则其值域为.考点五：幂函数的图象及应用例5.（23-24高一下·海南省直辖县级单位·月考）幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（

）

A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【变式5-1】（23-24高一上·浙江·期中）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【变式5-2】（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数则的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【变式5-3】（23-24高一上·重庆北碚·期末）（多选）函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为（

）A． B．C． D．考点六：幂函数过定点问题例6.（22-23高一下·山西朔州·月考）幂函数（是常数）的图象一定经过点（

）A． B． C． D．【变式6-1】（22-23高一上·广东东莞·期中）函数的图象过定点．【变式6-2】（23-24高一上·四川广安·期中）函数的图象过定点．【变式6-3】（22-23高一上·上海静安·期中）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是．考点七：利用幂函数解不等式例7.（23-24高一上·天津·期中）若，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【变式7-1】（22-23高一上·重庆万州·月考）若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【变式7-2】（23-24高一上·广东佛山·月考）若，，，则a、b、c的大小关系是（

）A． B． C． D．【变式7-3】（23-24高一上·云南昆明·期中）已知幂函数且，则下列选项中正确的是（

）A． B．C． D．考点八：比较幂值的大小例8.（23-24高一上·云南昆明·月考）若幂函数图象过点，且，则的范围是（

）A． B． C． D．【变式8-1】（22-23高一上·江苏苏州·期中）不等式的解为（

）A． B． C． D．【变式8-2】（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式8-3】（23-24高一上·宁夏吴忠·月考）已知幂函数在上是增函数(1)求的解析式；(2)若，求的取值范围．一、单选题1．（23-24高一上·河南开封·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（

）A． B． C． D．2．（23-24高一上·四川成都·期中）若幂函数的图像经过点，则的图像可能是（

）A．B．C．D．3．（23-24高一上·上海·月考）已知幂函数的图象不经过坐标原点，则（

）A． B．3 C．1或 D．或34．（23-24高一下·河南许昌·开学考试）若幂函数在上是减函数，则实数等于（

）A． B． C． D．5．（23-24高一上·重庆·期中）已知，则（

）A． B． C． D．6．（23-24高一上·吉林延边·期末）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、多选题7．（23-24高一上·福建漳州·期中）关于幂函数，下列结论正确的是（

）A．的定义域为 B．的值域为C．在区间上单调递减 D．的图象关于点对称8．（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的有（

）A．函数为增函数 B．函数为偶函数C．若，则 D．若，则三、填空题9．（22-23高一上·陕西渭南·月考）已知函数（为不等于0的常数）的图象恒过定点P，则P点的坐标为.10．（23-24高一上·云南曲靖·月考）已知幂函数在内是单调递增函数，则实数.11．（23-24高一上·四川南充·期末）若，则实数的取值范围为.四、解答题12．（23-24高一上·广东江门·期中）已知幂函数的图象过点．(1)求此函数的解析式．(2)根据单调性的定义，证明函数在上单调递减．(3)判断函数的奇偶性并说明理由．13．（23-24高一下·辽宁·月考）已知幂函数的图象与坐标轴无交点.(1)求的解析式；(2)解不等式.第12讲幂函数模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．了解幂函数的概念；2．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象，掌握它们的性质；3．能利用幂函数的单调性比较幂的大小.知识点1幂函数的概念1、幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2、幂函数的特征：（1）xα的系数是1；（2）xα的底数x是自变量；（3）xα的指数α为常数．只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．知识点2幂函数的图象与性质1、五个具体幂函数的图象当时，可得到五个幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，，在同一直角坐标系中，通过秒点发得到五个幂函数的图象，如下图所示．2、五个具体幂函数的性质观察上图，可以得到五个幂函数的性质如下：函数定义域值域奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增函数在上递增，在上递减增函数增函数在和上递减过定点点3、一般幂函数的性质（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；（2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；（3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；（4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．知识点3作幂函数图象的步骤第一步：画出第一象限的部分。幂函数在第一象限内的图象类似于“三个代表”的图象：（1）当时，以为代表，；（2）当时，以为代表；（3）当时，以为代表．第二步：求幂函数的定义域。幂函数在第二或第三象限内是否有图象，取决于定义域．第三步：若幂函数在轴左侧有图象，则可以研究函数的奇偶性，根据其奇偶性画出轴左侧的图象．知识点4利用幂函数解不等式的步骤利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量或者幂指数的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题。解题步骤如下：（1）确定可以利用的幂函数；（2）借助相应幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量或幂指数的大小关系；（3）解不等式（组）求参数范围，注意分类讨论思想的应用。考点一：判断是否为幂函数例1．（23-24高一上·新疆·月考）下列函数中幂函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】A：函数为一次函数，故A不符合题意；B：函数为二次函数，故B不符合题意；C：函数为二次函数，故C不符合题意；D：函数为幂函数，故D符合题意.故选：D【变式1-1】（22-23高一下·湖北·月考）下列函数是幂函数的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由幂函数的定义,形如，叫幂函数，对A，，故A正确；B，C，D均不符合.故选：A．【变式1-2】（23-24高一上·四川广安·期中）（多选）下列选项中哪些是幂函数（

）．A． B． C． D．【答案】AC【解析】因为幂函数定义：一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，是常数，又，所以A项、C项正确.故选：AC.【变式1-3】（23-24高一上·四川雅安·月考）（多选）下列函数是幂函数的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】根据幂函数的定义，幂函数的一般形式为，是系数为5的正比例函数，不是幂函数，选项错误；是幂函数，选项B正确；是幂函数，选项C正确；不是幂函数，选项错误；故选：BC.考点二：求幂函数的解析式例2.（23-24高一上·广东湛江·期中）已知幂函数的图象经过点，则（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】设，由，得，，则.故选：D【变式2-1】（23-24高一下·辽宁本溪·开学考试）已知幂函数的图象过点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设幂函数，将点代入得，所以,所以幂函数的解析式为.故选：B.【变式2-2】（23-24高一上·浙江杭州·期中）若函数是幂函数，且满足，则的值为.【答案】16【解析】设，由可得可得.故，则.故答案为：16【变式2-3】（23-24高一上·浙江杭州·期中）若幂函数的图像过点，则此函数的解析式是.【答案】【解析】设，由图像过点可得，解得.故答案为：考点三：求幂函数的定义域例3.（23-24高一上·山西吕梁·月考）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】是幂函数，设，将代入解析式，得，解得，故，则，故，解得故选：B【变式3-1】（23-24高一上·广东广州·期中）幂函数图象过点，则的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设幂函数为，则，故，，则的定义域为，故满足，解得.故选：A【变式3-2】（23-24高一上·福建龙岩·期末）若幂函数的图象过点，则的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，依题意可得，解得，所以，所以的定义域为，值域为，且，对于函数，则，解得，即函数的定义域是.故选：B【变式3-3】（23-24高一上·江苏南京·期中）已知幂函数的定义域为，且，则的值为（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】因为幂函数的定义域为R，故，解得，又，所以，检验，时，，即，满足题意．故选：C考点四：求幂函数的值域例4.（23-24高一下·辽宁·月考）函数的值域为.【答案】【解析】由幂函数性质可知在上单调递增，又易知为偶函数，所以当时，可知在上单调递减，可得.故答案为：【变式4-1】（23-24高一上·江苏宿迁·月考）已知函数，则（

）A．的最大值为 B．的最大值为1C．的最小值为1 D．的最小值为0【答案】B【解析】因为，所以定义域为，由复合函数单调性可知，在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，所以当时，，当时，.故选：B.【变式4-2】（22-23高一上·湖北襄阳·期末）下列函数中，值域为的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由已知值域为，故A错误；时，等号成立，所以的值域是，B错误；因为定义域为，，函数值域为，故C正确；，，，所以，故D错误.故选：C.【变式4-3】（23-24高一上·全国·课后作业）函数，其中，则其值域为.【答案】【解析】设，则.因为，所以.当时，.所以函数的值域为.故答案为：考点五：幂函数的图象及应用例5.（23-24高一下·海南省直辖县级单位·月考）幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（

）

A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】D【解析】根据幂函数的性质可知，在第一象限内的图像，当时，图像递增，且越大，图像递增速度越快，由此可判断是曲线，是曲线；当时，图像递减，且越大，图像越陡，由此可判断是曲线，是曲线；综上所述幂函数，，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线，，，.故选：D.【变式5-1】（23-24高一上·浙江·期中）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】的定义域为R，又，故为偶函数，当时，，结合幂函数的图象可知，C正确.故选：C【变式5-2】（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数则的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】结合题意可得：当时，易知为幂函数，在单调递增；当时，易知为幂函数，在单调递增.故函数,图象如图所示:要得到，只需将的图象沿轴对称即可得到.故选：C.【变式5-3】（23-24高一上·重庆北碚·期末）（多选）函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】因为，，对于A，当时，，其图象开口向下，对称轴为，，其图象关于原点对称，且在上单调递减，故A满足要求；对于B，当开口向上时，，此时在上单调递增，故B不满足要求；对于C，当时，，其图象开口向上，对称轴为，，其图象在上单调递增，且越来越缓，故C满足要求；对于D，当开口向上时，，此时其对称轴为，故D不满足要求.故选：BD.考点六：幂函数过定点问题例6.（22-23高一下·山西朔州·月考）幂函数（是常数）的图象一定经过点（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可知当时，，此时函数值与取何值无关，故幂函数（是常数）的图象一定经过点，故选：B【变式6-1】（22-23高一上·广东东莞·期中）函数的图象过定点．【答案】【解析】当时，，所以定点为.故答案为：【变式6-2】（23-24高一上·四川广安·期中）函数的图象过定点．【答案】【解析】幂函数的图象过，将代入，可得，所以函数的图象过定点.故答案为：.【变式6-3】（22-23高一上·上海静安·期中）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是．【答案】【解析】因为，故当，即时，，即函数恒过定点.故答案为：.考点七：利用幂函数解不等式例7.（23-24高一上·天津·期中）若，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意得函数在上单调递增，因为，所以得：，故A项正确.故选：A.【变式7-1】（22-23高一上·重庆万州·月考）若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】幂函数在上单调递增，值域为，由，则，又，所以.故选：D【变式7-2】（23-24高一上·广东佛山·月考）若，，，则a、b、c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，，又在第一象限内是增函数，，所以，即.故选：D.【变式7-3】（23-24高一上·云南昆明·期中）已知幂函数且，则下列选项中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，所以在上单调递增，又因为，所以，所以.故选：C.考点八：比较幂值的大小例8.（23-24高一上·云南昆明·月考）若幂函数图象过点，且，则的范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知条件可得，解得，则，所以，函数在上为增函数，由可得，解得.故选：B.【变式8-1】（22-23高一上·江苏苏州·期中）不等式的解为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】定义域为，且在与上均为减函数，且当上，恒成立，当上，恒成立，故①或②或③，解①得：，解②得：，解③得：，综上：不等式的解为.故选：D【变式8-2】（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，因为的定义域为关于原点对称，且，所以是上的奇函数，注意到幂函数都是上的增函数，所以是上的增函数，而，所以，解得，综上所述，的取值范围是.故选：A.【变式8-3】（23-24高一上·宁夏吴忠·月考）已知幂函数在上是增函数(1)求的解析式；(2)若，求的取值范围．【答案】(1)；(2)【解析】（1）因为是幂函数，所以，解得或，又在上是增函数，故，，则.（2）由（1）知在上是增函数，又，的定义域为，，解得，的取值范围是．一、单选题1．（23-24高一上·河南开封·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意，设幂函数为，则，故，则，所以的定义域为，故满足，解得.故选：B.2．（23-24高一上·四川成都·期中）若幂函数的图像经过点，则的图像可能是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】设幂函数，因为图像经过点，所以，解得，则此幂函数的表达式为．幂函数，函数定义域为，在上单调递减，，函数为偶函数，图像关于轴对称，只有D选项符合.故选：D3．（23-24高一上·上海·月考）已知幂函数的图象不经过坐标原点，则（

）A． B．3 C．1或 D．或3【答案】A【解析】令，解得或，当时，，图象经过坐标原点，不合要求，当时，，图象不经过坐标原点，满足要求.故选：A4．（23-24高一下·河南许昌·开学考试）若幂函数在上是减函数，则实数等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为幂函数在上是减函数，所以，解得.故选：A5．（23-24高一上·重庆·期中）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由单调递增，则可知，由单调递增，又，可得所以．故选：C．6．（23-24高一上·吉林延边·期末）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为幂函数是上的偶函数，则，解得或，当时，，该函数是定义域为的奇函数，不合乎题意；当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意.所以，则，其对称轴方程为，因为在区间上单调递减，则，解得.故选：C．二、多选题7．（23-24高一上·福建漳州·期中）关于幂函数，下列结论正确的是（

）A．的